잉여환에서의 아이디얼

[15조건우]

기입형이라서 아주 간단한 문제인거 같은데
어떻게 구하나요?ㅠ

[평범]

A가 잉여환 R/I의 아이디얼이면 I⊆J⊆R을 만족하는 적당한 R의 아이디얼 J가 존재해서 A=J/I입니다. 이걸 이용해서 풀면 되지 않을까요..? 쓸데없는 참견이였다면 죄송합니다 (__)

[쿨여누]

네, 가능합니다.

다른풀이로 Z/18Z=Z_18 이므로
환 (Z_18, +, • )에서의 이데알개수를 구하면 충분합니다.
J⊴Z_18 ⇔ J는 덧셈군 (Z_18,+) 의 부분군 이므로
Z_18의 모든부분군을 구하면 충분합니다.
Z_18의 모든 부분군은
Z_18, 2Z_18, 3Z_18, 6Z_18, 9Z_18, 18Z_18 이므로

<1>=Z_18, <2>=2Z_18, <3>=3Z_18, <6>=6Z_18, <9>=9Z_18, <18>=18Z_18 가 Z_18의 모든 이데알이됩니다.

참고로 18=2×3² 이므로 Z_18의 부분군의 개수는 2×3=6개. 즉, Z_18의 모든 이데알의 개수는 6개 임을 알수가있습니다.