러셀의 집합론 역설의 해법.

[한계]

마지막으로 세번째 주제 러셀의 집합론 역설에 대하여입니다.~~

단, 여기서  ‘A∉B'의 의미는 'A가 B에 포함되지 않는다.'입니다. ∉ 기호가 여기선 작은 네모로 밖에 안나오네요.ㅠ

5. 집합론 역설(Russell's paradox)

1) 집합론 역설

칸토어(Georg Cantor)에 따르면 집합은 “우리의 직관 또는 우리의 사고의 대상 M으로서 잘 확정되고 잘 구별될 수 있는 것들의 모임인 M을 하나의 전체로서의 ‘집합’이라고 한다.(이 때 대상을 M의 ‘원소’라 한다.)”으로 정의된다.¹⁾ 칸토어의 정의로부터 암시된 집합론을 보통 ‘소박한 집합론(naive conception of set)’이라고 한다. 하지만 이 소박한 집합론은 러셀이 발견한 역리에 의해 다른 공리체계로 대체되게 된다. 러셀이 1901년경에 발견한 집합론에 대한 역설은 일반적으로 거짓말쟁이 역설과 같은 의미론적 역설(semantic paradox)과 구분되어 집합론적 역설(수학적 역설)이라 불리는데²⁾ 이는 칸토어의 집합론뿐 아니라 프레게의 논리체계에 모순이 존재함을 보여주었다. 러셀의 집합론 역설은 다음과 같다.

어떤 집합도 자기 자신을 원소로 가지지 않는 집합들 모두와 또 이런 집합들만을 원소로 가질 수는 없다. 왜냐 하면, 만약에 이런 집합이 존재한다면, 또 만약에 이 집합이 자기 자신을 원소로 가진다면, 그 집합은 자기 자신을 원소로 가지지 않는 집합들만을 원소로 가지므로, 이 집합은 자기 자신을 원소로 가지지 않을 것이다. 그러나 만약에 이 집합이 자기 자신을 원소로 가지지 않는다면, 이 집합은 자기 자신을 원소로 가지지 않는 모든 집합들을 원소로 가지므로, 이 집합은 자기 자신을 원소로 가지게 될 것이다. 따라서 이런 집합이 자기 자신을 원소로 가질 필요충분조건은 이 집합이 자기 자신을 원소로 가지지 않는 것이다. 결과적으로 어떤 집합도 자기 자신을 원소로 가지지 않는 집합들 모두를 원소로 가지면서 또 이런 집합들만을 원소로 가질 수는 없다.³⁾

이를 다시 정리하면 다음과 같다. Z라는 집합을 "자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들만을 원소로 포함하는 집합"⁴⁾으로 정의하자. 다시 말해, Z의 정의는 “임의의 A에 대하여 A가 Z의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아니다.”⁵⁾이다.

이때 Z는 자신을 원소로 하는가?

분명 집합 Z는 자신을 원소로 하거나 자신을 원소로 하지 않거나 둘 중에 하나일 것이다.

먼저 Z가 자신을 원소로 한다고 가정해보자. 그렇다면 Z는 그 정의에 의해 자신의 원소가 될 수 없다. Z는 정의상 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들만 원소로 포함하는 집합이기 때문이다. 그런데 이는 Z가 자신을 원소로 한다고 가정한 것에 모순이다. 이번엔 Z가 자신을 원소로 하지 않는다고 가정해보자. 그런데 그렇다면 Z는 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들만의 집합이라는 정의에 의해 Z는 자신을 원소로 해야 한다. 이 또한 가정과 모순된 결론이다. 즉, Z는 자신을 원소로 한다고 해도 모순이고 Z는 자신을 원소로 하지 않는다고 해도 모순이다.

러셀의 역설에 대한 해결책도 앞에서의 역설들과 동일한 관점에서 그 실마리를 얻을 수 있다. 그것은 전제가 우리가 명백히 참이라고 여기는 자명한 명제(또는 공리)와 모순되지 않는지 확인하는 것이다. 보통 어떠한 개념에 대한 정의가 내려졌을 때 우리가 간과하기 쉬운 것 중 하나는 그 정의가 과연 타당한가를 살펴보는 것이다. 타당하지 않게 내려진 개념으로부턴 역설적인 결론이 도출될 수 있다. 예를 들어 ‘람바’라는 것을 ‘세 변을 가지고 네 개의 내각을 가진 도형’이라고 정의했다고 하자. 일단 현 논의에서 위의 람바에 대한 정의는 절대적인 것으로 받아들이자. 즉, ‘람바=세 변을 가지고 네 개의 내각을 가진 도형’이라는 명제는 항상 참인 명제라고 가정하자. 그렇다면 이제 누군가 ‘람바는 삼각형이 아닌가, 사각형이 아닌가 아니면 둘 다 아닌가?’라고 질문했다고 해보자. 여기에 대한 답변은 무엇일까? 분명 모든 도형은 삼각형이면서 동시에 사각형일 수 없으므로 삼각형이 아니거나 사각형이 아니거나 또는 삼각형, 사각형 둘 다 아니거나 일텐데.⁶⁾ ‘람바’ 역시 정의상 ‘도형’이므로 위에 제시한 세 가지 경우 중 하나일 것임엔 틀림이 없을 것이다. 그렇다면 누군가 위 질문에 대한 답변으로 ‘람바는 삼각형이 아니다.’라고 했다고 해보자. 그런데 이는 ‘세 변을 가지고 네 개의 내각을 가진 도형’이라는 ‘람바’의 정의에 어긋난다. 이제 또 다른 누군가가 답변으로 ‘람바는 사각형이 아니다.’라고 했다고 해보자. 하지만 이 또한 ‘세 변을 가지고 네 개의 내각을 가진 도형’이라는 ‘람바’의 정의에 어긋난다. 그렇다면 마지막 답변으로 누군가가 ‘람바는 삼각형도 아니고 사각형도 아니다.’라고 말했다고 해보자. 그러나 이 역시 ‘세 변을 가지고 네 개의 내각을 가진 도형’이라는 람바의 정의에 어긋난다. 즉, 결국 앞서 정의된 ‘람바’는 삼각형이 아닐 수 없고 사각형도 아닐 수 없으며 더욱이 삼각형, 사각형 둘 모두도 아닐 수 없는 도형이 되는 것인데 이는 분명 모순된 결론이다. 그렇다면 ‘람바’에 대해서 왜 이러한 역설적인 상황이 발생한 것일까? 그것은 당연히 ‘람바’에 대한 처음의 정의가 잘못되었기 때문이다. 람바의 정의는 ‘어떠한 도형도 세 변을 가지고 동시에 네 개의 내각을 가질 수 없다.’는 항상 참인 명제와 모순된다. 즉, 처음부터 우리가 ‘람바’에 대하여 ‘세 변을 가지고 네 개의 내각을 가진 도형’이라는 이율배반적인 정의를 받아들였기 때문에 역설이 발생했던 것이다. 그렇다면 위의 역설적인 상황은 어떻게 ‘해소’될 수 있는가? 그것은 당연히 역설 발생의 전제가 되는 람바의 정의가 잘못되었음을 인지하고 그 가정을(정의) 거부하기만 하면 된다.

필자가 보기엔 러셀이 제기한 집합론 역설도 궁극적으로 위의 ‘람바의 역설’과 다르지 않다고 생각한다.⁷⁾ 다만 집합론 역설이 난공불락의 요새처럼 보이는 것은 집합론 역설의 전제가 지니는 모순점이 람바의 정의가 지니는 모순점처럼 곧바로 눈에 띄지 않기 때문이다. 우리는 이제 다음의 논증을 살펴보면서 집합론 역설의 전제가 함축하고 있는 이율배반성을 살펴볼 것이다. 아래 논증에서 필자는 ‘어떠한 도형도 세 변을 가지고 동시에 네 개의 내각을 가질 수 없다.’와 같이 항상 참인 명제(공리)를 제시할 것이다. 그리고 그 명제가 집합론 역설의 전제와 어떻게 모순이 되는지 살펴봄으로써 집합론 역설의 해결을 시도할 것이다.

<논증III>

① 다음 명제 T는 자명하다.

T= “임의의 집합 A에 대하여 ‘A∈A' ≠ ‘A∉A' 이다.”

② 러셀의 역리를 일으키는 집합 Z는 다음과 같이 정의된다.

“임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”⁸⁾

그리고 집합 Z를 정의하는 위 명제를 Y라 하자.

즉, Y= “임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”

③ 러셀의 역리에서 명제 Y는 전제이다. 명제 Y가 참이라고 가정하자.

④ 그런데 Y= “임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”에서의 ‘임의의 A에 대하여’는 A가 Z가 되는 가능성을 배재하지 않았다는 것에 주목해야 한다.

다시 말해 다음의 추론이 성립한다.

【ⓐ 명제 Y 즉, “임의의 집합 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”는 참이다.(③에서)

ⓑ 집합 Z는 명제 Y에 대하여 정의되어지고 있다. 그러므로 명제 Y가 참이라면 집합 Z의 정의는 유효하다.

ⓒ ‘임의의 집합에 대해서 성립하는 명제는 모순 없이 정의되는⁹⁾ 모든 집합에 대해서도 성립한다.¹⁰⁾

고로 임의의 집합 A에 대해서 성립하는 명제는 -참인 명제 Y에 의해 올바르게 정의되고 있는 - 집합 Z에 대해서도 성립한다.

ⓓ 그런데 다음의 명제 Y가 참이므로(③에서)

Y=“임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”

모순 없이 정의되고 있는 집합 Z에 대하여도 다음의 명제(E)가 참이다.

E=“집합 Z에 대하여 ‘Z∈Z' = ‘Z∉Z' 이다.”¹¹⁾】

⑤ 즉, ④번 추론의 결론은 Y->E이다.(Y가 참이면 E도 참이다.)

(단, E = “(명제 Y에 의해 정의되는) 집합 Z에 대하여 ‘Z∈Z' = ‘Z∉Z' 이다.”)

⑥ 그런데 “(명제 Y에 의해 정의되는) 집합 Z에 대하여 ‘Z∈Z' = ‘Z∉Z' 이다.”는 명제 E는 ①의 항상 참인 명제(T)와 모순된 명제로 명백히 거짓이다.¹²⁾ (￢E는 항상 참)

⑦ 이처럼 명제 Y를 참이라고 가정했을 때 항상 거짓인 명제 E가 참이라는 모순된 결론이 나오므로 명제 Y는 참이라고 할 수 없다.

⑧ 고로 러셀의 역리를 일으키는 전제 Y는 거짓이다.

⑨ 즉, 러셀의 집합론 역리는 잘못된 전제(또는 잘못된 집합 Z의 정의)를 참인 명제로 가정했기 때문에 발생했던 것이다.

이처럼 러셀의 역설 또한 그 전제가 거짓이기 때문에 발생한 것이다. 고로 역설을 피하기 위해선 전제 Y는 다음과 같이 수정해야할 것이다.

Y* = “임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”(단, A≠Z)

즉, 항상 성립하는 명제 T와 충돌을 피하기 위해서 집합 Z는 “Z를 제외한 임의의 집합에 대해서 자기 자신을 원소로 하는 집합들만을 원소로 하는 집합”으로 정의되어야한다. 이렇게 Z를 정의하면 명제 T와의 충돌을 피할 수 있으며 그렇게 집합 Z를 정의함으로써 자기 자신을 원소로 하지 않는다는 모순 없는 결론을 얻을 수 있는 것이다. 그런데 여기서 주목할 것은 명제 Y가 거짓이라고 가정하는 것이 논리상 아무런 문제가 없다는 것이다. 명제 Y가 참이라고 가정했을 때 발생했던 역설과 같은 역설이 명제 Y가 거짓이라고 가정했을 때는 일어나지 않는다. 우리는 앞에서 우리가 항상 성립한다고 생각하는 자명한 명제와 명제 Y로부터 추론된 명제가 모순됨을 보였다. 그리고 명제 Y가 거짓이라고 가정했을 때 아무런 새로운 역설도 발생하지 않음을 알고 있다. 그렇다면 이제 우리가 해야 할 일은 무엇인가? 그것은 앞서 ‘람바’의 정의를 부정했듯이 명제 Y 또한 간단히 부정하기만 하면 되는 것이다. 

2) 결론의 의미

여기에서는 위에서 추론된 결론들과 러셀의 역설의 발생과정을 비교해 보고자 한다. 먼저 위에서의 논의의 핵심부분을 정리하면 아래와 같다. 각 단계에서 핵심 되는 부분에는 번호를 부여하였음에 유의하자.

【주지하다시피 러셀의 역설의 전제이자 러셀의 역설의 집합(Z)에 대한 정의는 “자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들만을 원소로 포함하는 집합”이다. 그리고 이는 다음과 같이 기호화 할 수 있다.

① Y= “임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”

또 이는 간단히 다음과 같이 바꿀 수 있다.

Y= “‘□∈Z' = ‘□∉□'”(단, □에는 어떠한 집합도 올 수 있다.)

□에는 어떠한 집합도 올 수 있으므로

② 이미 명제 Y에 의해서 정의된 집합 Z를 □에 대입해서 우리는 다음의 명제를 얻을 수 있었다.

E=“‘Z∈Z' = ‘Z∉Z'”(단, Z는 명제 Y에 의해 정의되는 집합이다.)

Y가 참이면 E도 참이다. 그런데 Y가 참이므로(러셀 역설의 전제) E는 참이다.

그런데 여기서 “‘Z∈Z' = ‘Z∉Z'” -> “‘Z∈Z' -> ‘Z∉Z'”가 성립하므로

③ “‘Z∈Z' -> ‘Z∉Z'”가 참이다.

또한 “‘Z∈Z' = ‘Z∉Z'” -> “‘Z∉Z' -> ‘Z∈Z'”도 성립하므로

④ “‘Z∉Z' -> ‘Z∈Z'”도 참이다.】¹³⁾

이제 러셀의 역설의 발생과정이 위의 각 단계 어디에 해당되는지 살펴보자. 러셀의 역설은 다음과 같았다.

【Z라는 집합을 “자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들만을 원소로 포함하는 집합”으로 정의하자.

Ⓐ 다시 말해, Z에 대한 정의는 “임의의 A에 대하여 A가 Z의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아니다.”이다.

Ⓑ 이때 Z는 자신을 원소로 하는가?

분명 집합 Z는 자신을 원소로 하거나 자신을 원소로 하지 않거나 둘 중에 하나일 것이다.

Ⓒ 먼저 Z가 자신을 원소로 한다고 가정해보자.(Z∈Z) 그렇다면 Z는 그 정의에 의해 자신의 원소가 될 수 없다.(Z∉Z) Z는 정의상 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들만 원소로 포함하는 집합이기 때문이다. 그런데 이는 Z가 자신을 원소로 한다고 가정한 것에 모순이다.

Ⓓ 이번엔 Z가 자신을 원소로 하지 않는다고 가정해보자.(Z∉Z) 그런데 그렇다면 Z는 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들만의 집합이라는 정의에 의해 Z는 자신을 원소로 해야 한다.(Z∈Z) 이 또한 가정과 모순된 결론이다.

즉, Z는 자신을 원소로 한다고 해도 모순이고 Z는 자신을 원소로 하지 않는다고 해도 모순이다.】

여기서 ①-Ⓐ, ②-Ⓑ, ③-Ⓒ, ④-Ⓓ로 연결되고 있음에 유의하자. 러셀의 역설은 이처럼 Z를 정의하는 전제 Y에서 □에 적용될 수 있는 집합 가운데 ‘Z’를 제외하지 않았기 때문에 발생한 역설이었던 것이다.

6. 결론

이제까지 우리는 거짓말쟁이 역설과 결정불가능명제, 그리고 러셀의 역설을 살펴보고 각각의 해결방법에 대해서 생각해보았다. 세 가지 문제들이 저마다 다른 모양을 하고 있었고 때문에 필자가 제시한 그에 대한 해결방법도 약간씩 차이가 있었다. 하지만 위 세 가지 역설들이 본질적인 부분에선 서로 긴밀히 연관되어 있듯이 필자가 제시한 해결법들도 본질적인 면에선 사실상 동일하다고 할 수 있는데 이는 ‘각 역설의 전제’ 또는 ‘전제로부터 직접 추론된 결론’이 명백히 참인 명제와 모순됨을 보임으로써 위 역설들 모두의 해결을 꾀했다는 점에서 그러하다. 이렇게 각 역설별로 전제의 타당성을 논했던 본 논문에서의 필자의 주장은 “위 역설들의 전제가 성립한다고 가정했을 때 각각 배중률에 위배¹⁴⁾되는 결론을 가져오는 이유가 사실 위 역설들의 전제들이 성립한다고 가정한다는 것 자체가 논리학의 ’모순율’¹⁵⁾에 위배되기 때문이다.”로 간단히 요약할 수 있을 것이다. 배중률은 직관주의 등의 학파에서 종종 부정되기도 하지만 보통의 형식논리학에서 모순율은 절대적인 근본법칙이다. 그러므로 어떠한 명제가 모순율에 위배된다는 것은 바로 그 명제가 거짓임을 의미한다. 그런데 본문에서 살펴 본 바에 의하면 거짓말쟁이 문장의 정의 등의 전제들은 모두 모순율에 위배되는 명제들이었다. 역설이란 정당하다고 생각되어지는 전제와 잘못 없는 추론에서 이율배반적인(모순된) 결론이 발생하는 과정 혹은 결론을 의미하는데 지금까지 필자의 고찰에 큰 오류가 없다면 거짓말쟁이 역설과 본문에서 다룬 여러 역설들은 모두 그 전제가 정당하지 못한 명제였으며 그렇기에 이에 따른다면 이들은 ‘진정한 의미’에서의 역설이라고 할 수 없을 것이다.

주석

1)“Unter einer ‘Menge' verstehen wir jede Zusmmenfassung M von bestimmten wohlunterschiedene Objekten m unserer Anschauung order unseres Denkens(welche die ‘Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganwen”

    (Cantor, G., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Edited by E. Zermelo. Berlin: Springer; reprinted, Hildesheim: Olms, 1962. p. 282.)

2) Ramsey, F. P., “The Foundations of Mathematics”, Ramsey 1926, p. 183-184.

3) 포올베나세랖, 힐러리 퍼트남/박세희 옮김, 󰡔수학의 철학󰡕, 대우학술총서, 2002, p. 754-755.

4) “Z는 자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들을 원소로 포함한다. 그리고 오직 그러한 집합들만(자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들) 원소로 포함한다.”의 의미이다.

5) Z의 정의가 “자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들만의 집합”이기 때문에 다음의 두 명제 “임의의 A에 대하여 A가 A의 원소가 아니면 A는 Z의 원소다.” 그리고 “임의의 A에 대하여 A가 Z의 원소이면 A는 A의 원소가 아니다.”가 모두 성립한다.(위의 인용문 참고)

6) 이것은 항상 참인 사실로 ‘벤다이어그램’을 이용해 생각하면 쉽게 확인할 수 있다.

7) 앞에서 논한 ‘거짓말쟁이 역설’과 ‘결정 불가능 명제’또한 마찬가지로 생각할 수 있다.

8) 임의의 A에 대하여 A가 Z의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아니다.

9) 여기서 ‘모순 없이 정의되는 집합’이란 ‘참인 명제’ 또는 ‘참이라고 가정할 수 있는 명제’에 의해 정의되고 있는 집합을 의미한다.

10) 임의의 집합에 대하여 성립하는 명제가 모순되는 정의에 의해 정의된 집합에 대하여도 성립하는가에 대해선 의문이 갈 수 있을지 모르겠으나 임의의 집합에 대하여 성립하는 명제가 모순 없이 정의된 집합에 대해서도 성립하는 것은 자명하다.

11) 명제 Y에서 A대신 Z를 대입한 것으로 물론 그 역은 성립하지 않는다. 즉,

    “‘Z∈Z' = ‘Z∉Z' 이다.” -/-> “임의의 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”

12) 이는 직관상 명백하지만 또한 앞에서의 추론에서와 동일한 과정을 거쳐서도 알 수 있다. 다음 추론을 살펴보자. 

   【ⓐ 명제 Y “임의의 집합 A에 대하여 ‘A∈Z' = ‘A∉A' 이다.”가 참이라고 가정하자.

    ⓑ 집합 Z는 명제 Y에 대하여 정의되어지고 있다. 그러므로 명제 Y가 참이라면 집합 Z의 정의는 유효하다.

     ⓒ 임의의 집합에 대해서 성립하는 명제는 모순 없이 정의되는 모든 집합에 대해서도 성립한다.

     고로 임의의 집합 A에 대해서 성립하는 명제는 -참인 명제 Y에 의해 올바르게 정의되고 있는 - 집합 Z에 대해서도 성립한다.

     ⓓ 그런데 다음의 명제(T)는 항상 참이다.

     T= “임의의 집합 A에 대하여 ‘A∈A' ≠ ‘A∉A' 이다.”

     고로 모순 없이 정의되는 집합 Z에 대하여도 다음의 명제(J)가 참이다.

     J=“(명제 Y에 의해 정의되는) 집합 Z에 대하여 ‘Z∈Z' ≠ ‘Z∉Z' 이다.” 그런데 J는 명제 E 즉, “(명제 Y에 의해 정의되는) 집합 Z에 대하여 ‘Z∈Z' = ‘Z∉Z' 이다.”와 명백히 모순된다. 그런데 명제 J는 명백히 항상 참인 명제 T로부터 추론된 명제이므로 다음이 성립한다. ‘T->J' 또한 이것의 대우인 ‘￢J->￢T'도 역시 성립한다. 즉, J가 거짓이면 T도 거짓이라는 말이다. 그런데 T가 거짓일리는 없으므로 J는 거짓일 수 없다. 반면 J가 거짓일 수 없다면 명제 E가 거짓이 되어야하는 것이다.

13) 이처럼 러셀 역설의 전제(Y)를 가정하면 역설이 발생한다.

14) 거짓말쟁이 역설 등 위에서 설명한 역설들은 그것들의 전제가 논리학의 ‘배중률’에 어긋나는 결론을 이끌어내기 때문에 역설이라고 생각되어지는 것들이다. 거짓말쟁이 역설은 그 전제가 참일 수도 거짓일 수도 없다는 결론에 빠지게 되는 역설이고 결정불능명제는 결정불능명제 자신이 참임도 또는 거짓임도 증명할 수 없다는 것을 이야기하고 있으며 러셀의 역설 역시 러셀의 집합이 자기 자신을 포함할 수도 포함하지 않을 수도 없음을 추론해 내고 있는 것이다

15) 위 역설들의 전제가 우리가 자명하다고 여기는 명제들 즉, ‘A≠ ￢A, ‘A는 증명 가능하다. -> A', ‘A∈A' ≠ ‘A∉A' 등과 같은 명제들과 모순관계에 있기 때문이다.

참고문헌

김준섭, 󰡔논리학󰡕, 문학과지성사, 1995.

박정일, “열린 해석과 타르스키의 진리 정의”, 한국철학회, 61권, p. 165-194, 1999.

엄정식, “에피메니데스의 역설”, 철학연구, 제19집, 철학연구회, 1984.

이운형, 󰡔거짓말쟁이 역설󰡕, 한국학술정보(주), 2006.

포올베나세랖, 힐러리 퍼트남/박세희 옮김, 󰡔수학의 철학󰡕, 대우학술총서, 2002.

Cantor, G., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Edited by E. Zermelo. Berlin: Springer; reprinted, Hildesheim: Olms, 1962.

I. Kant, Kritic der reinen Vernunft, Felix Meiner Verlag, Hamburg, 1956.

JcBeall, “A neglected deflationist approach to the liar”, Analysis61. 2001.

Kripke, S., “Outline of a Theory of Truth”, Journal of Philosophy 72, 1975.

Ramsey, F. P., “Facts and Propositions”, Proceedings of the Aristotelian Society, supp. vol., 1927.

_________, “The Foundations of Mathematics”, Ramsey, 1926.

Tarski, A., “The Semantic Conception of Truth and the Foundations of Semantics”; in Linsky, 1944.

_________, “The Concept of Truth in Formalized Languages” in Trans. Woodger, J. H., Logic, Semantics, Metamathematics, oxford, 1956.

_________, “Truth and Proof”; in Givant and Mckenzie, 1986.

Van Fraassen. B. C., “Presupposition, implication, and self-reference”, Journal of philosophy, vol. 65. No.5. p. 150.