필기이론 라플라스 변환의 정의 및 기본정리

[땜신]

라플라스 변환의 정의 및 기본정리

라플라스 변환(Laplace Transform)

       - 미분방정식과 그 것에 대응하는 초기치 및 경계치 문제를 푸는 한 방법

       - 구동력이 불연속점을 가질 때

          힘이 짧은 시간동안 작용

          주기적이나, 단순 sin, cos함수가 아닐 때 유용

       - 방법

           ⅰ) 복잡한 미분 방정식을 대수방정식(보조방정식)으로 변환 - 라플라스변환

           ⅱ) 순수한 대수적 연산으로 보조방정식 풀이

           ⅲ) 보조방정식의 해를 역으로 변환 - 역변환  

 

    1. 라플라스 변환의 정의

        -  라플라스 변환(Laplace transform)

            0〈 t〈∞로 정의된 시간의 함수 f(t)에  를 곱하고 t에 대하여 0∼∞까지 적분

                          

                       라플라스연산자:    

       - 역변환(inverse transform)

                         

   2. 간단한 함수의 라플라스 변환

        ⅰ) 단위 계단함수, 단위치 함수(상수)
             

               

              

        ⅱ) 지수함수

            

           

             

        ⅲ) 삼각함수

                    

                    

                    

                                      

                               

                               

        ⅳ) f(t) = At

                 cf : (부분 적분법)

                       u= t,  v=로 놓으면

                   

                          
                          

        ⅴ) f(t) =

                      

                             

                             

                             

                             

        ⅵ) f(t) = tn ,  f(t) = tn e^-at

                       

                       

    3. 신호파형의 라플라스 변환

      ⅰ) 단위계단함수(unit-step function) - u(t)

                                                                               

                                                                 u(t) =  1   t ≥0
                                                                           0   t ＜0

                                                                         
                                                                    u(t-a) = 1   t ≥a
                                                                                0   t ＜a

                                                           
                                                                         u(t+a)

                                                     

                                                                          u(a-t)  
             

                 

                        

                  

                         

       ⅱ) 추이 단위계단함수

         - 시간함수 f(t)도 단위계단함수 적용이 가능하며  t=a 인 시간지연을  갖는 시간함수는 f(t-a)u(t-a)

            로 표현

         - t=a의 시간 지연을 갖는 시간함수의 라플라스 변환은 t=0에서 시작하는 함수의 라플라스 변환에

            e^-as 를 곱한 것과 같다.(추이정리)

       ⅲ) 단위구형파(unit pulse)  

               

                           

                                 

             
       ⅳ) ramp 및 impulse 함수

          램프함수 : 시간에 따라 직선적 증가

          단위램프함수 : 기울기가 1로 직선적증가

          임펄스함수: 짧은 시간에 무한대의 값을 갖는 함수

          단위임펄스함수 : 폭이 ε, 높이가 1/ε일 때 ε가 무한대로 갈 때 면적은 1을 유지하는 함수

 

                                                        

               

               

               

       ⅴ) 톱니파

           

           

                    

[예제] 그림과 같은 파형의 라플라스 변환을 구하여라.

                          

                그림으로부터

              

                     

                     

                     

                 단위계단 함수로 표시하여 구하면

                    

                 이므로, 라플라스 변환하면

                    

                           

[예제] 그림과 같은 파형의 라플라스 변환을 구하여라.

         

(풀이) 를 그림과 같이 , , 로 분해할 수 있으므로

                 

                 이며, 여기서

                 

                 

                    

                  이므로

                 

                        

                        

       ⅵ) 주기함수의 라플라스 변환

                     f(t) = f(t+nT)        n= 0, 1, 2, …

          f(t)가 주기 T인 주기함수이면 라플라스변환은

                

                       

[예제] 그림과 같은 주기함수 톱니파의 라플라스 변환을 구하여라.

      

 (풀이) 0< t < T 일 때 이며

                

                

                             

             따라서 식 (14-37)을 적용하면

                

             혹은

                 

                   

                 ∴