강의록 정의 4.2 주아이디얼 질문입니다!

[똥그리]

1. 정의 4.2에 의하면
<c>=c를 포함하는 최소의 아이디얼 (1)
= c에 의해 생성된 주아이디얼 (2)
인데 여기서 (1)과 (2)가 어떻게 같을 수 있죠...?
이해가 안돼요...ㅠㅠ

2. 정리 4.2는 주아이디얼의 정의아닌가요?

[쿨여누]

1. <c>의 정의는 다음과 같습니다.
환R, c∈R 에 대하여
<c>의 정의는 "c를 포함하는 최소의 R의 이데알" 입니다.

엄밀하게 표현하면,
c를 포함하는 R의 이데알 전부를 A_{i} (i∈I)라 할때,
<c>=∩A_{i} (i∈I) 가 성립합니다.


그리고 단항이데알의 정의는 다음과 같습니다.
환R, I⊴R 에 대하여
I는 단항이데알 ⇔ I=<a> 인 a∈R 가 존재.

즉, 정리하면,
환R에 대해서 c∈R 일때,
<c>는 "c를 포함하는 최소의 R의 이데알" 이고(정의)
이때 <c>를 "c로 생성된 R에서의 단항이데알" 이라고 읽습니다.(같은것입니다)


2. <정리4.2>는 환R이 단위원을 갖는 가환환이라는 조건이 없을 경우 일반적으로 성립하지않습니다. 정리입니다.

[똥그리]

답변 감사합니다! 그럼 1에서 c에 의해 생성되는 이라는 말은 빼도 되나요?

[쿨여누]

답변수정했습니다. 참고해보세요~
예를들어 덧셈군 (Z, +)에서
<1>가 무엇인지 생각해봅시다.
<1>은 1에의해 생성된 Z의 순환부분군. 이기도하고,
<1>은 1을 포함하는 Z의 최소의 부분군. 이기도 합니다.
이데알에서도 거의 비슷한 개념입니다.

[똥그리]

아,,, 이해되었어요!!ㅠㅠ 자세하게 설명해주셔서 감사합니다ㅎㅎ