초끈이론과 테트락티스

[유토피아]

통일장 이론의 역사

우주는 어떻게 창조되었으며 어떻게 운행되고 있는가? 은하와 별들을 비롯한 삼라만상의 모든 움직임을 설명할 수 있는 궁극의 물리법칙은 존재하는가? 뉴턴이 만유인력을 발견한 이래, 전 우주의 모든 현상을 단 하나의 방정식으로 귀납시켜 이해하고자 하는 것은 거의 대부분의 물리학자들이 가진 공통된 꿈이었다. 과연 그들의 꿈은 타당한가? 우주의 모든 법칙을 유도할 수 있는 최후의 방정식, 또는 궁극의 이론은 정말 존재하고 있는 것일까? 이런 물리학자들의 궁극을 향한 염원은 지난 몇 세기 동안 통일장이론의 탐구를 통해서 표출되어 왔다. 산업화시대 이후 과학은 환원주의의 원칙을 따라 발전해 왔으며, 그 결과 모든 존재는 입자와 그 입자들 간에 상호 작용하는 힘들의 조합으로 이루어졌음이 밝혀졌으므로 당연히 통일장이론도 이들 힘과 입자들의 성질을 규명하고 일관된 하나의 이론체계 아래 이들을 묶는 일과 밀접한 관계가 있게 되었다. 특히 자연에 존재하는 기본적인 4개의 힘(전자기력, 강력, 약력, 중력)을 하나로 설명할 수 있는 이론의 발견은, 곧 통일장이론의 완성이 목전에 임박했음을 알리는 것과 동일한 의미로 받아들여진다.

통일장이론의 역사는 맥스웰의 전자기이론이 그 효시다. 전기와 자기는 본래 다른 힘으로 인식되고 있었는데, 19세기말 맥스웰이 이 두 힘을 통일적으로 기술함에 따라 비로소 하나의 현상으로 이해하는 일이 가능해졌다. 그 다음 통일의 역사는 1960년대에 와서야 이루어졌는데, 스티븐 와인버그와 압두스 살람이 전자기력과 약력을 하나로 묶는데 성공한 것이다. 이에 공헌한 이론은 양자전기역학(QED)으로 알려져 있다. 1970년대 이후에는 이들 두 힘(전자기력과 약력)과 강력을 동일한 하나의 근원에서 비롯된 힘으로 이해하려는 이론적 시도가 집중되었지만, 그 어느 것도 완벽한 성공을 거두지는 못했다. 하지만 가장 그 본질을 이해하기 힘들고, 다른 힘들과 융합이 잘 안 되는 힘은 강력이 아니라 중력이다. 이것은 중력이 가장 이해하기 쉽고, 그에 관한 거의 모든 것이 밝혀져 있을 것이라고 믿기 쉬운 일반의 잘못된 상식과는 완전히 반대의 상황이다. 1976년에 중력을 나머지 다른 힘들과 통합하려는 시도로서 초중력이론이 등장하였지만, 전자기력과 약력, 강력 등을 하나로 묶으려는 대부분의 다른 통일장이론들과 마찬가지로 심각한 문제점들을 내포하고 있었다. 이때 혜성처럼 나타난 것이 초끈이론이다. 초끈이론은 역사상 처음으로 중력을 포함한 4가지 자연의 힘을 완벽하게 설명해줄 수 있을 것으로 기대되는 거의 유일한 이론으로 떠올랐다. 초끈이론에서는 우주의 기초를 이루는 모든 소립자들도 자연스럽게 유도되므로, 사람들은 초끈이론을 가리켜 ‘모든 것의 이론(Theory of Everything)’이라 부르며 궁극의 통일장이론이 출현한 것으로 보고 흥분해마지 않았다.

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초끈혁명

그 흥분은 1984년에 찾아왔다. 그때까지 아무도 거들떠보지 않던 끈이론에 10년을 넘게 매달려 온 존 슈바르츠는, 마이클 그린과의 공동연구 끝에 기존의 끈이론이 가지고 있던 몇 가지 큰 문제를 해결하고 이를 학회에서 발표하였다. 그것은 대단히 큰 반향을 불러일으켰으며, 곧바로 수많은 물리학자들이 새로운 희망을 안고 초끈이론에 뛰어들게 만드는 계기가 되었다(이를 제1차 초끈혁명이라 한다). 초끈이론은 여러 가지 면에서 기존의 물리이론들과는 차별된다. 무엇보다도, 초끈이론은 위에서 이야기했듯이 역사상 처음으로 제대로 된 통일장이론이 될 가능성이 크며, 따라서 다른 모든 물리이론들의 출발점이 된다. 마이클 그린은 초끈이론에 대해 다음과 같이 말했다. “지난 한 세기 동안 이루어졌던 물리학의 대발견들이 이토록 간단한 출발점에서 모두 유도된다는 것은 정말로 경이로운 일이다. 끈이론은 기존의 어떤 이론보다도 아름다우며, 완벽한 체계를 갖고 있다. 물리학 역사상 이렇게 빼어난 이론은 지금껏 존재하지 않았다.” 초끈이론의 두 번째 특징은 지난 세기 물리학의 양대 산맥으로 군림하면서 20세기 과학혁명을 주도한 양자역학과 일반상대성이론을 별 무리 없이 통합시키고 있다는 것이다. 이것은 놀라운 일이다. 양자역학과 일반상대성이론은 각각 엄청난 성공을 거두었지만, 이 둘은 극미한 세계에서 심각한 충돌을 일으켰으며 많은 물리학자들의 노력에도 불구하고 언제나 이 둘의 통합 시도는 실패해왔기 때문이다. 초끈이론은 양자역학과 일반상대성이론의 대립을 넘어 21세기를 이끌어갈 미래의 물리학으로 주목받고 있다.

세 번째는, 초끈이론의 등장으로 입자에 대한 기존 개념이 혁명적으로 변화되었다는 것이다. 양자역학에서는 물질의 기본단위가 0차원의 점입자로 다루어졌었다. 그러나 초끈이론에 따르면, 이 세상의 모든 물질을 구성하는 기본단위는 점입자도 아니고 구(球) 형태의 둥근 입자도 아닌 1차원의 진동하는 끈이다. 이러한 사실은 양자역학이 중력과 결합할 때 생기는 많은 모순을 일거에 해결할 수 있었다. 그리고 질량이나 스핀, 전하와 같이 서로 다른 입자들이 가지고 있던 다양한 물성들은 실제로는 끈의 진동패턴에 의해 결정되는 물리량일 뿐, 입자들 자체가 근본적으로 서로 다르기 때문에 나타나는 현상은 아님이 밝혀졌다. 즉, 모든 물질은 끈으로 귀결되며, 수많은 종류의 소립자가 있는 것처럼 보이는 것은 단지 끈의 진동패턴이 서로 다르기 때문이다.

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[그림☞모든 물질은 진동하는 끈으로 되어있다]

그 외에도 많은 특징이 있지만, 초끈이론이 혁명적인 또 하나의 이유는 이 이론이 적어도 10차원 이상의 높은 차원을 요구한다는 것이다. 잘 알다시피 우리는 3차원 공간에 살고 있다. 시간을 하나의 차원으로 포함할 경우 그것은 4차원이 된다. 10차원이라니! 그렇다면 이것은 초끈이론이 잘못되었다는 증거가 아니겠는가? 사실, 이 차원 문제 때문에 초기에 초끈이론은 물리학자들로부터 외면을 당하였었다. 그러나 초끈이론의 다른 결함들이 많이 해소되고 이론 자체가 가지고 있은 위력이 드러나면서, 현재는 우주가 4차원에 머물지 않음을 인정하는 물리학자들이 훨씬 더 많아지게 되었다.

보이지 않는 6차원

그럼 왜 우리는 10차원을 보지 못하는가? 4차원 시공을 제외한 나머지 6차원은 도대체 어디로 갔는가? 이 의문에 대한 해답을 초끈이론가들은 칼루자-클라인 이론에서 찾았다. 테오도르 칼루자는 일찍이 전자기력과 중력이 하나의 이론으로 통합될 수 있음을 간파해냈다. 그것은 중력을 기술하는 아인슈타인의 일반상대성이론을 확장시킴으로써 가능한 일이었는데, 다만 이때 4차원으로 기술되던 아인슈타인의 중력장 방정식에 5번째 차원이 추가되어야 했다. 칼루자의 논문을 본 아인슈타인도 이에 매료되어, 이후 평생을 통일장이론(당시 강력과 약력은 아직 발견되지도 않았다)을 찾는데 힘을 쏟았지만 별다른 성과는 얻지 못했다. 한편 칼루자는 5번째 차원이 보이지 않는 이유를 다음과 같이 설명했다. 여기 작은 원의 연속체인 원통형의 긴 관이 있다고 하자. 가느다란 고무호스를 머리에 떠올리면 좋을 것이다. 이 관의 단면은 2차원의 원이지만, 아주 먼 거리에서 본다면 관은 두께가 없는 1차원의 선처럼 보일 것이다. 즉 겉으로 보기에 차원이 하나 사라진 셈이다. 이와 마찬가지 원리로, 5번째 차원은 아주 작은 공간에 말려있기 때문에 검출되지 않는다는 것이 칼루자의 가정이었다.

오스카 클라인은 칼루자의 이론에 양자론을 도입하여 숨겨진 원통의 지름을 계산해냈다. 그 크기는 10-32㎝로 현재 우리가 관측할 수 있는 한계보다도 무려 1020배나 작은 크기였다. 이 크기가 얼마나 작은 크기냐하면, 원자를 현재 알려져 있는 우주의 크기(150억 광년)로 확대했을 경우 겨우 나무 한 그루에 해당하는 정도의 크기에 지나지 않았던 것이다. 따라서 만약 여분의 차원이 존재한다고 해도, 이렇게 작은 크기로 말려있다면 그 존재를 알아채기가 어려울 것이다. 초끈이론에서도 이와 동일한 방법으로 고차원의 문제를 해결한다. 즉 우리가 이미 알고 있는 4차원을 제외한 나머지 6차원은 소립자 내부의 아주 작은 공간 속에 말려져 있어서, 미처 우리가 이를 보지 못하고 지나치고 있다는 것이다. 사실 통일장이론에서 고차원의 존재는 필수라고 할 수 있다. 그것은 이 분야의 선구자 피터 프로인트의 말처럼 “자연법칙은 고차원에서 표현할 때 더 간단하고 강력”해지기 때문이다. 높은 곳에서 보면, 서로 아무 상관없는 듯이 보이는 것들도 새로운 질서 속에서 상호 관련을 맺고 있는 것이 드러난다. 칼루자-클라인 이론이 의도했던 것도 빛(빛은 전자기력의 매개체이다)과 중력의 법칙을 하나 더 높은 차원에서 통일하려는 것이었다.

그러나 칼루자-클라인 이론 이후로 새로운 힘들이 추가로 발견되었으므로, 이들을 모두 통합하기 위해선 더 많은 차원이 필요하였다. 게다가 양자역학에서는 대칭성의 문제가 대두되었는데, 만약 칼루자-클라인 이론이 더 높은 차원을 가지게 된다면 이 대칭성의 문제도 해결될 수 있음이 1960년대에 밝혀졌다. 칼루자-클라인 이론은 곧 대통일이론(TOE)의 하나인 초중력이론과 결합되었고, 최초의 칼루자-클라인 이론이 갖고 있던 많은 문제들을 극복할 수 있었다. 이 초중력이론은 11차원을 가지고 있었다. 하지만 초중력이론 역시 완벽한 것은 아니어서, 몇 가지 심각한 문제점들이 드러나자 그 인기가 다소 시들해졌다. 바로 그때, 수많은 이론물리학자들의 연구 분야를 바꾸게 하며 통일장이론에 새로운 혁명을 몰고 온 이론이 있으니 그것이 바로 앞서 말한 10차원 초끈이론이었다.

10차원의 비밀

(초끈이론이 재평가되고 받아들여지게 됨에 따라) 어느새 물리학자들은 자연스럽게 고차원을 논하게끔 되었다. 마치 아주 오래전부터 이 우주의 실체가 고차원임을 알고 있었다는 듯이. 이 얼마나 격세지감인가? 불과 몇 십 년 전만 하더라도 4차원이나 혹은 5차원이란 말에 알레르기 반응을 보이곤 하던 그들이, 이제는 거꾸로 고차원의 존재를 고려하지 않은 우주 모델은 아예 상상할 수조차 없을 정도로 뒤바뀌게 된 것이다. 그런데 왜 하필 10차원인가? 9차원이나 11차원, 12차원, 혹은 13차원이나 14차원은 왜 안 되는가? 이에 대한 해답은 없다. 초끈이론가들도 그 심오한 이유를 모른다. 다만 초끈이 자기모순 없이 진동하기 위해선 10차원이나 26차원이 필요하고, 그에 따라 초끈이론이 10차원에서 정의되고 있을 뿐이다. 일반인들이 왜 자연은 10차원으로 존재하느냐고 물었을 때, 물리학자들 역시 “우리는 알지 못한다.”는 대답밖에 할 수 없음을 「초공간」의 저자 미치오 가쿠는 고백한 바 있다.

그러면 우리는 10차원의 비밀에 대한 궁금증을 접고 언젠가 우리 물리학자들이 해답을 내주기만을 마냥 고대하고 있을 것인가? 아니다. 그렇지 않다. 방법이 전혀 없는 것은 아니다. 독자 여러분은 생명나무의 세피로트가 10개로 되어있으며, 10은 곧 우주를 나타내는 수라고 앞장에서 언급했던 것을 기억할 것이다. 바로 이 사실을 단서로 해서, 우리는 10차원의 비밀을 우리 나름대로의 방식으로 한번 풀어볼 것이다. 우주가 10차원인 데에는 단순한 우연 이상의 그 어떤 깊은 의미가 내포되어 있음이 틀림없다.

그러나 먼저, 우리는 ‘만물의 근원은 수’라고 주장했던 피타고라스의 수비학을 체험할 필요가 있다. 앞서도 말했듯이, 피타고라스학파는 10을 완전수라 하여 신성시하였다. 10은 모든 수를 포함하며, 완성과 새로운 시작의 상징이자 질서정연한 우주의 구조를 이해하는데 필요한 모든 것을 그 안에 담고 있었다. 피타고라스학파는 또 수를 기하학적인 형태로도 표현될 수 있는 성질의 것으로 보았는데, 대표적인 것이 삼각수나 사각수, 또는 오각수라고 부르는 것들이었다.

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위의 그림에서 보듯이 1, 3, 6, 10, 15 등의 수는 삼각형 형태로 배열할 수 있고, 따라서 이를 삼각수라 부른다. 또 1, 4, 9, 16, 25는 사각형 형태로 배열이 되며, 1, 5, 12, 22, 35 등은 오각형 형태로 배열할 수 있다. 마찬가지로 육각수는 1, 6, 15, 28, 45, 칠각수는 1, 7, 18, 34, 55 등으로 무한히 확장될 수 있다. 그런데 이 모든 형태의 수 중에서도 피타고라스학파가 가장 중요하게 여긴 것은 삼각수에 속하는 네 번째 숫자, 바로 10이었다. 이 삼각수 10을 ‘테트락티스(τετρακτύς)’라고 부른다. 테트락티스의 10은 모든 물질적인 형태의 기본이 되는 점, 선, 면, 입체를 포함하고 있는 가장 작은 수이다. 즉 점은 1, 선은 2, 그리고 삼각형에서 처음 나타나는 평면은 3, 또 네 개의 평면으로 만들어진 입체(정사면체)는 4로서 그 합은 1＋2＋3＋4 〓 10 이 된다. 10은 곧 이 최초의 네 정수의 합인 것이다. 이는 또 0차원, 1차원, 2차원, 3차원의 합이기도 하다. 테트락티스는 그 이름처럼 네 개의 정수가 네 개의 층으로 된 정삼각형 피라미드 구조를 가지고 있다. 각각의 수는 형태적인 의미뿐만 아니라 형이상학적인 의미 또한 지니고 있는데, 첫 번째 정수인 1은 모나드(monad)로서 만물의 근원, 전체로서의 하나, 합일의 원리를 나타낸다. 두 번째 정수인 2는 듀어드(duad 또는 dyad)로 불리며, 만물의 분화를 뜻하는 이중성을 상징하고 있다. 세 번째 정수 3은 트리아드(triad)인데, 분화되지 않은 모나드와 무한분열하려는 듀어드의 양극성을 제어하고 조화시키는 수이다. 최초의 입체를 만드는 4는 테트라드(tetrad)로서 물질의 기초가 된다.

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음계(音階)의 간격 역시 이 최초의 네 정수로 표현되는데, 음계의 간격은 진동하는 현(絃)의 길이에 상응하며 이러한 관계는 1:2, 2:3, 3:4라는 수의 비율로 표현될 수 있다. 다른 현의 절반의 길이를 가진 현은 한 옥타브 위의 같은 음을 내며, 이때 두 음의 주파수 차이는 2:1의 비율이 된다. 한 옥타브의 차이는 8도 음정의 차이이다. 주요 3화음을 이루는 나머지 5도 음정과 4도 음정은 각각 3:2, 4:3 비율의 주파수 차이와 이와 동일한 비율의 현의 길이를 가지고 있다. 피타고라스가 음악을 수에 못지않게 중요시 했으며, 우주 그 자체를 수학적 조화로 가득 찬 광대한 악기로 보았던 사실을 되새겨볼 때 이 또한 테트락티스의 풍부한 상징성과 함께 실제 현상과 결합된 우주적 도형으로서의 한 가능성을 보여주고 있다. 바로 이 도형 속에서 피타고라스의 제자들은 수를 통해 만물을 이해할 수 있는 가능성을 보았고, 나아가 이 단순해 보이는 도형을 앞에 두고 입문자들은 명예와 목숨을 건 신성한 맹세를 하였다고 한다.

“신과 인간의 근원인 신성한 수여, 우리를 축복하소서. 오, 신성한 테트락티스여, 영원히 흘러가는 창조의 뿌리여!”

피타고라스학파가 만물의 본질을 설명하고 있다고 보았던 이 테트락티스의 10개의 점은 10차원 초끈이론의 차원수와 일치한다. 신기한 우연의 일치이다. 테트락티스도, 초끈이론도, 생명나무의 세피로트도 모두 10개이다. 아니 잠깐, 이것이 정말 우연의 일치일까? 우연이라고 하기에는 10이라는 숫자가 너무 자주 모습을 드러내는 것 같지는 않은가? 그렇다면 여기에는 우연이 아닌, 필연적인 관계가 상호간에 존재하고 있는 것은 아닌지 모르겠다. 하지만 어떻게 그 상호관련성을 입증할 수 있단 말인가?

초끈이론과 테트락티스

이 문제를 영국의 한 물리학자가 깊게 숙고하였다. 그는 테트락티스와 초끈이론의 관련성을 다음과 같이 풀이하였다. 테트락티스의 한 가운데 있는 점을 놔두고, 그 중앙의 점을 둘러싸고 있는 6개의 점을 육각형 모양으로 연결하여보자. 그러면 테트락티스 대삼각형의 꼭지점에 해당하는 3개의 점이 육각형의 외곽에 쓸쓸하게 남겨진다. 여기서 육각형으로 연결된 테트락티스 내부의 여섯 점은 초끈이론의 응축된 내부 6차원이다. 즉 소립자의 내부공간에 말려져 있어서 우리 눈에는 띄지 않는 6차원 초끈의 극미세계에 해당하는 것으로 보는 것이다. 육각형 외부의 세 점은 이 6차원 초끈이 움직여나가는 외부의 3차원, 즉 일상적으로 우리가 인식하는 거시세계의 3차원 공간을 나타낸다. 이 3차원 공간은 내부의 응축된 6차원 초끈의 현실적 활동무대이다. 그렇다면 가운데 홀로 남겨진 나머지 한 점은 무엇인가? 그것은 공간과 함께 우주의 틀을 이루는 또 하나의 차원, 즉 시간을 의미하는 것으로 볼 수 있다.

<v:shapetype id=_x0000_t75 jQuery1338866566437="1898" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke jQuery1338866566437="1902" joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas jQuery1338866566437="1903"><v:f jQuery1338866566437="1906" eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1907" eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1908" eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1909" eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1910" eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1911" eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1912" eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1913" eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1914" eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1915" eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1916" eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="1917" eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path jQuery1338866566437="1904" o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path><o:lock jQuery1338866566437="1905" v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>[테트락티스와 초끈의 차원]

이번에는 테트락티스의 모든 점들을 아래와 같이 연결해 보자. 모두 아홉 개의 작은 삼각형이 형성되는데, 내부의 삼각형 여섯 개와 외부의 삼각형 세 개가 각각 초끈 내부의 6차원 공간과 외부의 3차원 공간 등 모두 아홉 개의 공간차원을 상징하고 있다. 또 내부의 여섯 점들과 중앙의 한 점을 연결하면 정육면체 형상이 도출이 되며, 여섯 개의 점들을 서로 엇갈리게 연결하면 육각형의 별이 만들어진다. 고대의 신비철학자들은 정육면체와 육각별을 만드는 데 쓰인 이 일곱 개의 점들을 창조의 일곱 날에 나오는 엘로힘으로 보았으며, 중앙의 점을 창조의 제7일, 즉 안식일에 해당하는 것으로 여겼다. 한편 외곽에 있는 세 개의 점은 겉으로 드러나지 않은 원인적 우주를 상징했다. 어떻게 보면 여섯 개의 응축된 차원이 물질의 기초가 되는 초끈 구조를 만들어, 우주만물의 현현을 주도했다는 점에서 이런 유추가 전혀 일리 없어보이진 않는다.

[정육면체와 육각별의 형성]

한편 앞장에서 신성한 신의 이름(테트라그라마톤)을 나타내는 수로 소개했었고, 10이라는 숫자와 함께 초끈이론에 필연적으로 등장하는 수 26이 테트락티스에도 내포되어 있다. 우선, 테트락티스의 네 개의 층에 있는 1, 2, 3, 4는 각각 0차원, 1차원, 2차원, 3차원의 도형을 만들어가면서 가장 기본적인 입체형상인 정사면체에 도달한다고 했는데, 이때 이 도형들을 구성하는 모든 기하학적 요소들을 더하면 26이라는 수가 도출되는 것을 알 수 있다.

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<v:shapetype id=_x0000_t75 jQuery1338866566437="2060" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><o:lock jQuery1338866566437="2061" v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>

이번에는 테트락티스의 각 점들에 대해서 수학적 조작을 가해보자. 테트락티스의 각 층에 있는 점들에 대해서 조합의 수를 구하고, 그 결과를 모두 더해보기 바란다. 또 26이라는 숫자가 나왔다!

<v:shapetype id=_x0000_t75 jQuery1338866566437="2082" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke jQuery1338866566437="2083" joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas jQuery1338866566437="2084"><v:f jQuery1338866566437="2087" eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2088" eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2089" eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2090" eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2091" eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2092" eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2093" eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2094" eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2095" eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2096" eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2097" eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2098" eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path jQuery1338866566437="2085" o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path><o:lock jQuery1338866566437="2086" v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>

[테트락티스를 구성하는 점들의 조합의 수]

이것은 숫자 2(컴퓨터의 비트에 해당하는 숫자)를 테트락티스의 형태로 배열하고, 각 층별로 그 첫 네 승수(0승~3승)까지를 구하여 더했을 때와 그 결과가 같다.(아래 그림의 ⒜ 참조) 또 맨 아래층은 2의 0승, 세 번째 층은 2의 1승, 두 번째 층은 2의 2승, 맨 위층은 2의 3승 식으로 배열하여도 최종 결과는 26이 얻어진다.(아래 그림의 ⒝ 참조)

<v:shapetype id=_x0000_t75 jQuery1338866566437="2205" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke jQuery1338866566437="2206" joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas jQuery1338866566437="2207"><v:f jQuery1338866566437="2210" eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2211" eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2212" eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2213" eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2214" eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2215" eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2216" eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2217" eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2218" eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2219" eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2220" eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2221" eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path jQuery1338866566437="2208" o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path><o:lock jQuery1338866566437="2209" v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>

(a)

<v:shapetype id=_x0000_t75 jQuery1338866566437="2226" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke jQuery1338866566437="2227" joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas jQuery1338866566437="2228"><v:f jQuery1338866566437="2231" eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2232" eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2233" eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2234" eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2235" eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2236" eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2237" eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2238" eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2239" eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2240" eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2241" eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="2242" eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path jQuery1338866566437="2229" o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path><o:lock jQuery1338866566437="2230" v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>

(b)

[2의 승수의 테트락티스 배열]

26은 본래의 끈이론이 가지고 있던 26차원을 나타낸다. 여기서 잠시 끈이론의 역사를 살펴보기로 하자. 끈이론의 기원은 1968년 가브리엘 베네치아노가 핵자들(양성자와 중성자) 사이에 작용하는 강력을 설명하기 위해 창안한 이중공명이론에서 비롯되었다. 그는 강력을 주고받는 입자들의 성질을 수학적으로 기술하기 위해 애를 썼는데, 놀랍게도 그 결과가 이미 200여 년 전 레온하르트 오일러라는 수학자가 찾아낸 ‘오일러 베타함수’와 정확하게 일치하고 있다는 사실을 발견했다. 그러나 이중공명이론 자체는 끈과 아무런 관련이 없었으며, 사람들은 왜 오일러 베타함수가 실험 데이터들과 잘 들어맞는지 그 이유를 알지 못했다. 그러다가 1970년에 비로소, 남부 요이치로와 레너드 서스킨트, 홀거 닐슨 등이 베네치아노의 이중공명 이론이 끈의 양자화된 운동을 설명하고 있다는 사실을 알아차렸다. 즉 소립자를 진동하는 1차원의 끈으로 간주했을 때, 소립자 사이의 상호작용을 수학적으로 표현한 것이 바로 오일러의 베타함수였던 것이다. 남부는 이를 핵자의 모형에 적용시켰다. 당시는 이미 모든 양성자와 중성자가 쿼크라고 부르는 더욱 기본적인 소립자의 복합체에 지나지 않는다는 가설이 정설로서 받아들여지고 있었다. 양성자와 중성자 모두 세 개의 쿼크로 이루어져 있으며, 다만 이때 쿼크의 종류에 약간 차이가 있을 뿐이다. 또 하나의 핵자인 중간자는 쿼크와 반쿼크, 두 개의 입자로 이루어져 있다. 그런데 남부의 끈 모형에 따르면, 쿼크는 일종의 고무끈과 같은 것으로 서로 연결되어 있다. 즉 이 끈의 양쪽 끝에 쿼크가 달려 있어서 양성자나 중성자, 중간자 같은 보다 큰 핵자를 이루는 것이다. 이 중 중간자의 경우는 양쪽 끝에 각각 쿼크와 반쿼크가 매달린 하나의 끈으로 설명할 수 있고, 양성자와 중성자는 Y자 형태로 갈라진 끈의 끝에 붙어 있는 세 개의 쿼크로서 설명할 수 있다. 끈이라는 개념 하에서 처음으로 탄생한 이 이론은, 정확하게 말하자면 ‘보존 끈이론(bosonic string theory)’이었다. 여기서 ‘보존’이라 함은 이 이론에 등장하는 모든 끈들이 정수의 스핀(0, 1, 2 등)값을 갖는다는 것을 의미한다.

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그러나 남부의 끈이론은 몇 가지 심각한 결함을 가지고 있었는데, 끈이론이 모순 없이 잘 작동하기 위해서는 무려 26차원의 시공을 요구한다는 것이 그 중 하나였다. 그건 물리학자들이 마음 편히 받아들일 수 있는 성질의 것이 아니었다. 더욱이 당시의 끈이론은 강한 상호작용을 설명하는 여러 이론중의 하나일 뿐이었으므로, 양자색역학이라는 더 나은 강력 이론이 등장하자 끈이론은 더 이상의 설자리를 잃고 학자들의 관심으로부터 멀어지고 말았다. 그러나 끈이론에 대해 강한 신념을 갖고 있던 존 슈바르츠는, 1974년에 조엘 셔크와 함께 끈이론이 모든 것의 이론(TOE)이 될 수 있음을 제안하는 논문을 발표하였다. 이는 끈이론이 단순히 강한 상호작용만의 이론이 아니며, 중력까지 포함하는 진정한 의미의 통일장이론이 될 수 있다는 것을 의미한다. 존 슈바르츠는 또 1971년에 피에르 라몽, 앙드레 느뵈와 함께 기존의 끈이론을 개선하여 26차원의 시공을 10차원의 시공으로 줄였는데, 나중에 유행하게 된 초끈이론은 이 10차원 끈이론의 변형이라 할 수 있다. 이어 1976년에는 이 끈이론을 1970년대 초반에 발견된 초대칭과 결합하여 초끈이론(초끈이론의 ‘초끈’은 초대칭의 ‘초’와 끈이론의 ‘끈’이 결합된 말이다)을 만드는 것이 가능할지도 모른다는 견해가 제시되었고, 마침내 1984년에 존 슈바르츠는 마이클 그린과 함께 초끈이론의 몇 가지 커다란 문제들을 해결하고 제1차 초끈혁명의 불을 댕기며 콜로라도의 아스펜을 흥분의 도가니로 몰아넣는데 성공했던 것이다.

그런데 제1차 초끈혁명기를 지나는 동안 끈이론에는 5가지 유형이 있다는 것이 밝혀졌다. 그것은 끈이론에 초대칭을 도입하는 방법이 5가지나 되었기 때문인데, 그 각각의 이론에는 ‘Ⅰ형 이론’, ‘ⅡA형 이론’, ‘ⅡB형 이론’, ‘이형(異形) O(32) 이론’, ‘이형 E8×E8 이론’이라는 이름이 붙어있다. 이들은 초대칭이 적용되는 방법 외에도 끈의 구체적인 진동패턴에서 차이가 난다. 예를 들면 Ⅰ형 이론은, 나머지 이론들과 달리 열린 끈의 존재를 허용하고 있다. 그런가하면 두 개의 이형 끈이론(이형 O(32) 이론과 이형 E8×E8 이론)은, 끈의 진동패턴이 반시계방향으로 진행될 경우 원래의 보존 끈이론과 동일한 결과를 나타낸다. 앞서도 말했듯이, 보존형 끈은 26차원의 시공간을 요구하는 반면 초끈이론은 10차원의 시공간에 살고 있다. 그러나 여분의 16차원은 아주 견고하게 감겨져 있기 때문에, 외형상으론 이형 끈이론 역시 10차원 이론의 형태를 갖추고 있다고 할 수 있다.

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테트락티스에 이 26이라는 숫자가 내포되어 있는 것은 여러 가지 면에서 의미심장하다. 특히 2의 승수를 테트락티스 배열로 나타낸 앞의 그림 두 번째 형태(b)에서, 4차원 시공간과 6차원 초끈, 그리고 보존 끈이론에 나타나는 여분의 16차원이 차례대로 모습을 보이는 것은 흥미로운 결과라 아니 할 수 없다. 게다가 첫 번째와 두 번째 층은 8＋8 = 16으로서, 이형 끈이론의 E8×E8 예외무리(exceptional group)와 상응하고 있는 것을 볼 수 있다. 또 네 번째 삼각수인 10이 초끈이론의 10차원 시공간에 해당되듯이, 보존 끈이론의 추가 16차원은 네 번째 사각수인 16에 해당하고 있다. 10차원과 16차원의 분리는, 2의 승수로 된 테트락티스 배열을 외곽의 세 꼭지점과 내부 육각형을 포함한 일곱 점으로 나눌 때 더욱 명쾌하게 드러난다.

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이러한 사실들은 초끈이론의 10차원이 테트락티스의 10개의 점과 일치하는 것이 단순한 우연이 아님을 뒷받침한다. 더불어 초끈이론은 비록 10차원에서 기술되지만, 보다 깊은 수준에서는 26차원의 원리가 동시에 작용하고 있음을 암시하는 것이기도 하다. 26이 신의 이름(테트라그라마톤)을 나타내는 숫자값임은 이미 앞에서도 언급했거니와, 카발리스트들이 신의 이름을 72가지라고 했던 근거를 우리는 또한 테트락티스에서 쉽게 발견할 수 있다. 72는 유대의 성서와 카발라에서 가장 신성시했던 숫자중의 하나였다. 자 다음을 보자. 테트락티스는 때로는 아래 그림처럼 히브리어의 열 번째 알파벳이면서 점 모양을 닮은 י (요드)로 표현된다. 요드는 그 자체가 10의 숫자값을 갖고 있기도 하다.

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요드는 알다시피 테트라그라마톤, 즉 신성한 네 문자의 첫 번째 문자이다. 이제 테트라그라마톤의 네 문자는 다음과 같이 테트락티스의 형태로 배열될 수 있으며, 이 문자들의 숫자값을 모두 더하면 72가 된다.

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[테트락티스와 테트라그라마톤]

10

5 10

6 5 10

5 6 5 10

10 ＋ 15 ＋ 21 ＋ 26 = 72

[테트라그라마톤을 구성하는 숫자들의 합]

<v:shapetype id=_x0000_t75 jQuery1338866566437="3110" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke jQuery1338866566437="3159" joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas jQuery1338866566437="3160"><v:f jQuery1338866566437="3163" eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3164" eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3165" eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3166" eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3167" eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3168" eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3169" eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3170" eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3171" eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3172" eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3173" eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f jQuery1338866566437="3174" eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path jQuery1338866566437="3161" o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path><o:lock jQuery1338866566437="3162" v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock></v:shapetype>그러므로 테트락티스는 우주를 상징하는 도형일 뿐만 아니라 신성의 본질까지도 수로서 규정하고 있다. 섣부른 비약인지는 모르겠지만, 어쩌면 우리는 테트락티스를 통해서 아인슈타인이 그토록 원했던 신의 마음을 일부나마 들여다보는 일이 가능한지도 모르는 일이다. (만약 그럴 수만 있다면 얼마나 가슴 떨리는 일이겠는가!) 어찌되었든, 테트락티스가 단순한 산술과 기하의 의미를 넘어 자연의 깊은 비밀을 간직하고 있다는 것만큼은 틀림없는 사실인 것 같다. 4차원과 10차원, 보존형 끈의 16차원과 26차원 등, 초끈이론의 중요한 숫자들이 모두 하나의 도형에서 유도된다는 것은 그 도형이 무언가 심오한 원리를 내포하고 있다는 심증과 더불어 동시에 그러한 차원들이 나투어지게 된 것이 결코 우연의 산물이 아니었음을 강변해주고 있는 것이다. 무려 2,500년 전에, 현대의 첨단 초끈이론과도 비교될 수 있는 우주론 모형이 있었다는 사실이 그저 놀라울 따름이다. 아직은 우리가 그 몇 가지 단초를 살펴보는데 그쳤을 뿐이지만, 이제 곧 우리는 2,500년 전 과거로 돌아가 “(우리가 가진) 모든 지혜의 원천이자, 자연의 영원한 샘물이고 뿌리인” 테트락티스에 대한 인식을 새롭게 한 후 더 많은 (수와 우주와 차원과 신과 그리고 생명나무의) 비밀을 찾아 신비의 모험을 계속하게 될 것이다.