<소수의 무한성>

[㈜★孝子뽕삼☆™]

이번엔 약간 수학같은 듯

어쨋든 시작 합니다

1이 아닌 자연수가 1과 자신 이외의 자연수 약수를 갖지 않으면 소수(素數)라고 부르는 것은 잘 알고 있을 것이다. 이러한 소수가 무한히 많다고 하는데 왜 그럴까? 무한히 많다면서 왜 가끔씩 세상에서 가장 큰 소수를 찾아냈다는 기사는 나는 것일까?

소수가 무한히 많다는 걸 당연하게 여기는 사람도 많고, 0.1, 0.01, 0.001, …이 무한 개라는 것은 당연하지 않냐며 소수(素數)와 소수(小數)를 구별하지 않아 실소를 자아내게 하는 사람도 있지만, 소수의 개수가 무한하다는 사실은 결코 당연한 것만은 아니다. 소수의 무한성에 대한 증명은 현재 열 가지가 넘게 알려져 있는데, 가장 오래된 것은 ‘기하학의 아버지’ 유클리드(Euclid, BC 330?~BC275?)가 ‘기하학 원본’(Elements, 원론) 9권 명제 20에 기록한 증명이다. 이미 2천3백 년 전에 소수가 무한하다는 것은 증명이 된 셈인데, 원본에 실린 명제를 현대적인 표기로 바꿔 써보면 아래와 같이 쓸 수 있다.

유클리드가 기록한 증명을 현대적으로 표현해 보자. p₁, p₂, · · · , p_n이 소수일 때, p₁, p₂, · · · , p_n의 공배수를 하나 골라 N이라고 해 보자. 예를 들어 N = p₁×p₂×· · ·×p_n이라 하면 무난하다. 이 때 N+1은 p₁, p₂,· · · , p_n 중 어떤 것으로 나누어도 나머지가 1이다. 따라서 N+1의 소인수는 p₁, p₂,· · · , p_n과는 다르다. 이 소인수가 원하는 새로운 소수다.

고작 서너 문장으로 증명하다니 놀랍다! 신께서 아름다운 증명을 모아 ‘책’(The book)을 쓴다면, 당당히 실릴만한 증명이 아닐까? 증명이 무슨 뜻인지 예를 들어 설명하자. 우리가 아는 소수가 2, 3, 5, 7이라고 하자. 그러면 이걸 몽땅 곱하면 210이 나온다. 여기에 1을 더한 211은 소수이므로, 2, 3, 5, 7과는 다른 소수를 하나 얻는다. 많은 책이나 웹사이트에서는 위에 제시한 유클리드의 증명을 귀류법으로 변형한 형태로 싣고 있는데, 그 증명을 보고 오해하는 사람이 적지 않아 지나가는 길에 언급해 두고 싶다. 증명에 나온 N+1이 기존의 소수로 나눠 떨어지지 않으므로, 그 자체가 소수여야 한다고 생각하는 것이 가장 흔한 오해에 속한다. 조금 전의 예에서는 N+1이 우연히도 소수였지만, 일반적으로는 N+1은 소수가 아니다. 예를 들어 2, 3, 5, 7, 11, 13은 소수지만, 이들을 모두 곱한 뒤 1을 더한 30031은 59 x 509이므로 소수가 아님을 알 수 있다. 하지만 59도 509도 2, 3, 5, 7, 11, 13과는 다른 새로운 소수라는 것은 여전히 변하지 않는다.

그런데 유클리드의 증명을 보고 있노라면, 소수가 몇 개 있을 때 소수를 하나 더 찾아내는 것은 아주 쉬워 보인다. 정말 그럴지 실험해 보자. 수학에서는 종이와 연필만 있으면, 혹은 계산기의 도움을 받아 실험을 할 수 있다. p₁= 2라고 하고, p₁×p₂×· · ·×p_n+1의 가장 작은 소인수를 p_n+1이라 정의하면, 서로 다른 소수로 이루어진 수열일 것이다. 유클리드-뮬린(Mullin) 수열이라 부르는 데, 몇 개 구해 보자. 2+1 = 3의 가장 작은 소인수는 3이므로 p₂ = 3이고, 2 × 3 + 1 = 7의 가장 작은 소인수가 7이므로 p₃ = 7이다. 2 × 3 × 7 + 1 = 43의 가장 작은 소인수는 43이므로 p₄ = 43이다. 다섯 번째 항을 구할 때는 상황이 조금 다르다. 2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807 = 13 × 139의 가장 작은 소인수는 13이므로, p₅ = 13임을 알 수 있다. 이런 식으로 계산하여, 수열을 43개 구해 보면 다음과 같다.

그런데, 현대의 컴퓨터로도 이 수열의 44번째 항은 구하지 못하고 있다. 저 43개를 모두 곱해 1을 더하면 180자리 수가 나오는데, 소수가 아니라는 것은 알려져 있지만 소인수는 하나도 못 구하고 있다. 누군가가 컴퓨터를 돌려서 몇 년 내에 44번째 항은 구해낼 것으로 예상하지만, (필자도 일주일간 돌려본 경험이 있다) 그렇다 해도 45, 46, … 번째 항을 구하는 것은 또 다른 문제이다. 큰 수를 소인수 분해하는 것은 일반적으로 매우 어렵기 때문이다. 참고 삼아 덧붙이자면, 저 수열에 모든 소수가 들어있을지는 현재까지도 풀리지 않은 문제이다. 예를 들어 저 수열 중에 소수 31은 나오는지, 41은 나올지 등등을 모른다는 얘기다.

소수의 개수가 무한하다는 것을 열 가지가 넘는 다른 방법으로 증명했으니, 천지가 개벽해도 가장 큰 소수라는 것은 있을 수 없다. 그런데도 가끔씩 가장 큰 소수를 발견했다는 기사가 뜨곤 하는데 어찌된 일일까? 알고 보면 답은 간단하다. 이는 ‘현재까지 발견한 소수’ 중에 가장 큰 소수라는 뜻일 뿐이다. 현재 발견한 것 중 가장 자릿수가 큰 소수들은 대부분 메르센 소수가 차지하고 있는데, 메르센 수 중에 소수가 무한 개인지는 아무도 모르기 때문에 당분간 가장 큰 소수를 찾기 위한 경쟁은 메르센 수에 초점이 맞춰질 것 같다.

소수가 무한 개라는 증명 중에, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)의 증명은 눈여겨볼 만하다. 오일러는 모든 소수의 역수의 합, 즉,

을 생각하고 이 값이 무한임을 증명했다. 소수의 개수가 유한 개였다면 저 합도 당연히 유한 값이어야 하므로, 이 사실로부터 소수의 개수가 무한 개라는 사실이 나오는 것이다. 오일러의 증명은 유클리드의 증명보다는 다소 어려워 이 글에 소개하기에는 무리인데, 증명은 더 어려워졌지만 이런 발상이 현대 수학에서 가장 알고 싶어 하는 함수 중 하나인 ‘리만 제타 함수’에 대한 이론의 출발점이 됐다는 점에서 중요한 의미를 지닌다.

어떤 수 p가 소수이고, p+2도 소수일 때, (p, p+2)를 쌍둥이 소수라고 부른다. 예를 들어 (3, 5), (5, 7), (11, 13), … 은 쌍둥이 소수이다. 이러한 쌍둥이 소수가 무한 쌍이냐는 질문은 아직까지 해결되지 않은 유명한 문제이다. 가만 있자. 쌍둥이 소수의 역수의 합을 구하는 것은 어떨까? 다시 말해 다음이 무한임을 증명할 수 있다면 쌍둥이 소수는 무한 쌍일 것이다.

 

이 안타깝게도 저 합은 유한하다는 사실을 기미년에 노르웨이 수학자 브룬(브륀, Viggo Brun, 1885-1978)이 증명했다. 그렇다고 해서 쌍둥이 소수가 유한 개라는 뜻은 아님을 덧붙여 말해 둔다. 오히려 쌍둥이 소수는 무한히 많을 것으로 예상하고 있으니 하는 말이다.

쌍둥이 소수에 얽힌 에피소드를 하나 예로 들면서 글을 마치겠다. 1994년 미국 수학자 토마스 나이슬리(Thomas R. Nicely)는 쌍둥이 소수의 역수의 합을 계산하던 중, 인텔 펜티엄 마이크로프로세서 칩이 나눗셈을 할 때 오류를 일으킴을 발견했다. 비록 오류 가능성은 대단히 작았지만, 계산을 많이 쓰는 분야에 파장이 일 수도 있는 문제였으므로, 인텔 사에서는 결함이 있는 칩을 회수하고 개선해야만 했다. 윈도 95/98의 계산기나 마이크로소프트 엑셀에서 ‘4195835*3145727/3145727’을 계산하여 ‘4195579’가 나온다면(답은 무엇이어야 할까?) 결함이 있는 칩이라고 하는데 요즘은 발견하기 힘들다. 아무튼 뜻하지 않은 곳에서 소수가 역할을 했다는 재미있는 사례를 남긴 경우이다.

[孝女미나리(유림)]

어렵다ㅠㅠ 근데 배워 나가 야지 어쩌겠니......

[㈜★孝子뽕삼☆™]

난 그저 과학을 연재한다고 했고 연재하는 것 뿐이다.

[☆효녀얌순☆]

지금 알아 두는것은 좋지남 어렵다.그리고 감사