해석학 문풀 연습문제 6-28(1)

[ABCD]

1. 저 별표 부분이 어떻게 넘어가는 건지 잘 모르겠습니다ㅜ
리만적분에서는 |f|가 적분 가능하다고 해서 f도 적분 가능한 것이 아닌데, 저 적분에서 알파가 0보다 같거나 클 때 리만적분 아닌가요??

2. 적분판정법이 함수가 [1,무한대)에서 감소함수일 때 사용가능 한거잖아요, 그런데 지금 g의 함수가 구간(알파,무한대) 에서 감소한다고 했는데 알파의 범위가 -2보다 크다이니까 만약 알파가 2인 경우 g함수가 [1,무한대)에서 감소한다고 말할 수 없는거 아닌가요.?? [1,2] 이 부분에서는 감소인지 모르니까요... 그러면 적분판정법도 사용못하는거 아닌가 해서 질문합니다..ㅜ

3. 화살표 부분에서 부분에서 발산하니까 무한대 적분했을때도 발산한다고 했는데, 지금 함수가 양의 함수가 아니니까 부분에서 발산하더라도 다른 부분이랑 이렇게 + - 해서 상쇄되고 해서 수렴하거나 할 거라는 생각은 안해도 되는 건가요..?

[김성희]

1. 특이적분에서는 |f|가 적분가능하면 f도 적분가능합니다. 알파 범위에 따라 리만적분인 경우엔 절댓값 안의 함수가 양이므로 절댓값 빼도 적분가능합니다.

2. 꼭 [1, ∞)가 아니더라도 [a, ∞) (a>0)에서 감소함수이면 적분판정법 가능합니다. 시작점이 중요한 건 아닙니다.

3. 0에서 ∞까지의 적분은 0에서 1까지의 적분과 1에서 ∞까지의 적분의 합으로 정의할 수 있는데 두 적분이 모두 수렴할 때만 0에서 ∞까지의 적분이 수렴한다 정의합니다. 둘 중에 하나라도 발산하면 발산으로 정의하고요.

[ABCD]

이해됐습니다! 감사합니다~!

[ABCD]

저 궁금한 것이 있습니다..! 2번에서 꼭 1부터가 아니더라도 양수a부터 감소함수면 된다고 하셨는데, 그렇게 했을때 정리결과도 이렇게 수정되는거 맞나요~??
아니면 결과는 그대로 1부터 인가요~?

[김성희]

네, 감소함수가 되는 a부터로 시작점을 다 바꿔주면 됩니다. 만약 정의역이 1부터인데 3부터 감소이면 3부터는 적분판정법 이용하고 1부터 2까지는 유한급수로 보면 됩니다.

[ABCD]

아 알겠습니다!! 감사합니다🙂