둘레의 길이가 일정한 도형중에서 넓이가 최대인것은 원이라는 것을 알고있습니다.
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그런데 대부분의 증명이 정삼각형,정사각형,원의 넓이를 직접구한다음에 원의 넓이가
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최대이다라고 결론을 내리고 있는데 일반적으로 어떠한 도형보다도 원의 넓이가
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최대이다라는것을 증명하는 아이디어가 무엇일까요?
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isoperimetric inequality (등주부등식(?))라는 것이 있는데.. 일정한 둘레를 갖는 폐곡선 중에서 최대의 넓이를 갖는것이 원이다라는 것을 알수있게해주죠. Differential Geometry of Curves and Surfaces(Carmo)라는 책에서 정리로 나와있던 것을 살짝 본듯하네요.
첫댓글 극한을 쓰세요....ㅎㅎ 한변의 길이를 c라 하면 n각형의 넓이는 c*cos(180/n)이 되고 n을 무한대로 보내면 원이 되고 이게 최대값이 되지요.....
이때 180/n은 정다각형의 중심에서 옆에있는 두 꼭지점과의 각입니다...
그리고 정n각형이 n각형보다 항상 넓으므로 이는 생략합니다
isoperimetric inequality (등주부등식(?))라는 것이 있는데.. 일정한 둘레를 갖는 폐곡선 중에서 최대의 넓이를 갖는것이 원이다라는 것을 알수있게해주죠. Differential Geometry of Curves and Surfaces(Carmo)라는 책에서 정리로 나와있던 것을 살짝 본듯하네요.
좀 더 직관적인 아이디어를 보고 싶으시면, 쿠랑 & 로빈스, 수학이란 무엇인가(경문사 수학산책 시리즈 몇 번)을 참고하세요. 엄밀한 증명은 쉽지 않고, 일반적인 공간 안에서는 아직도 왕성한 연구가 이루어지고 있는 문제입니다.
그리고 정 n각형이 둘레의 길이가 같은 n각형보다 항상 넓다는 것은 은근히(!) 보이기 힘들 수도 있을 것 같습니다.
모두다 답변 감사합니다. 'CB걸면死귄다'님께서 말씀한 등주부등식을 적용하니 쉽게 해결이 되는군요..흠.. 근데 등주부등식 증명이 너무 어렵네요...ㅎㅎ