문제와 제가 생각한 풀이를 써 보겠습니다.
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1) A와B가 행동치이다. iff A와B가 같은 기약행제형행렬을 가진다.
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2) A³+4A²-2A+7I=O (I는 항등행렬)이면 A^T (A의 전치행렬)도 만족함을 보여라.
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3) A가 대각화가능행렬이면 A의 rank(계수)는 A의 영이 아닌 고유값의 개수임을 보여라.
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4) A와 B가 상사인 행렬이면(similar ,책에 따라서는 유사라고도함) A와B의 계수,퇴화차수,고유공간의 차원은 같음을 보여라.
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5) x,sinx는 일차독립임을 보여라.
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제 생각은 이렇습니다.
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1) A와 B가 행동치이므로 A의 기약행제형 행렬은 B이고 B의 기약행제형 행렬은 A이다??? 문제의 의미를 잘 모르겠습니다.
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2) 케일리 헤밀턴 정리에 의하여 λ³+4λ²-2λ+7I=O 이 되고 이것이 det(λI-A)=det(λI-A^T) 이므로 같은 다항식을 가지므로 A^T도 A³+4A²-2A+7I=O를 만족한다. 이렇게 생각했는데요. 궁금한것은 A에 관한 어떤 식 A³+4A²-2A+7I=O 가 λ³+4λ²-2λ+7I=O 인 필요 충분 조건이 되느냐 이거든요. 위 풀이가 맞는지도 확인 좀 해주세요.
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3)
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4) 상사인 두행렬의 행렬식,특성화다항식,고유합,고유값 은 같음을 보였는데 계수,퇴화차수,고유공간의 차원은 시작을 못하겠습니다.
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5) 론스키안 행력식을 이용하려 하면 되는데 질문을 올린 이유는 론스키안 행렬식이 xcos(x)-sin(x) 이거든요. 이값이 0이 아니어야 일차독립인데요. f(x)=xcos(x)-sin(x)라 하면 f(-ㅠ/2)와 f(ㅠ/2) 사이에 f(k)=0 인 값이 존재하거든요. 중간값 정리에 의하여. 그래서 xcos(x)-sin(x)=0인 값이 존재하므로 항등적으로 0이 아닌것 같은데 그렇다면 일차독립이 아니되는데 어디서 잘못 된것인지 모르겠네요.
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마찬가지로, sin(x),cos(x),s sin(x)가 일차독립임을 보이려고 하는데 론스키안 행렬식이 -2cos(x)가 나와 버렸어요. 이것도 0이 아니어야 하는데 2cos(x)가 0인 경우가 있잖아요.어찌 된일이죠?? 지적 좀 해주세요. 감사합니다.(--)(__)
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첫댓글 5번은 론스키안 W(f, g)가 '항등적으로 0일때' 일차종속이 됩니다. 항등적으로 0이 아니므로 당연히 xcosx와 sinx는 일차 독립이 되겠지요.
네 그것은 압니다만, 그값이 왜 영이 아니냐 말입니다. 영이 아님을 어떤 계산으로 보이냐 거든요. xcos(x)-sinx ==not 0 임을 말이예요. 답변 감사합니다.
한 값만 0이 아님을 보이기만 해도 충분하지 않을까요?