2번은 어렵게 생각할 것 없이 식 전체에 transpose를 씌워주면 A가 A^T로 바뀐 형태가 되겠지요..
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3번. A가 diagonaliable인 n×n 행렬이면 항상 n개의 linearly independent한 eigenvectors가 존재합니다. 이 때, A가 0을 multiplicity가 k인 eigenvalue를 갖는다고 합시다.(우리말로 어떻게 표현하는지 모르겠네요..^^;;) 이 때, 만약 0에 속하는 eigenvector의 수가 k보다 작으면 n개의 linearly independent한 eigenvectors가 존재한다는 것에 모순이 생깁니다. 따라서 0에 속하는 eigenvector의 수는 k개이고, Ax = 0 의 linearly independent한 해가 k가 존재하므로 N(A) = k입니다. 따라서 rank(A) = n - k로 이는 eigenvalue들의 개수 중 0의 개수를 뺀 것과 동일합니다.
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4번. 퇴화차수는 뭔지 모르겠네요..;;
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rank에 대한 것은 다음 성질을 이용하면 쉽게 됩니다.
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If A is an invertiable square matrix and B is any square one, then rank(AB) = rank(BA) = rank B.
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만약 QA = BQ (Q는 invertiable square matrix) 이고 A의 임의의 eigenvector를 x라 하면
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λ{Qx} = Q(λx) = Q(Ax) = (BQ)x = B(Qx)
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이므로 λ에 대한 B의 eigenvector는 Qx가 됩니다. 즉, A의 모든 eigenvector들이 B에서는 아에 Q를 곱한 형태와 같다는 것입니다. 이는 각 벡터들의 linearly independent property에 영향을 미치지 않으므로 고유공간의 차원 역시 변하지 않습니다.
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그럼...
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3번은 λ의 multiplicity가 k일 경우 이에 속하는 eigenvector의 개수가 k개 되어야 한다는 사실을 이용하면 됩니다.(A가 diagonaliable인 경우) 0의 multiplicity가 k일 경우 이에 속하는 eigenvector의 개수가 k개 이므로 N(A) = k이고, 따라서 rank(A) = n-k = (0이 아닌 eigenvalue의 개수)
고유공간의 차원. x -> Qx (Q는 invertiable square matrix)로 바뀌었다는 것은 그저 같은 벡터를 basis를 달리하여 표현했다는 것입니다(similar라는 게 결국 그런 의미죠). 그렇기 때문에 각 벡터들이 linearly independent하다는 것에는 변함이 없습니다.
Nullity(퇴화차수)가 같다는 것은 아마도 3번의 풀이와 비슷하게 하면 될 듯 합니다. Eigenspace의 차원이 모두 같고 같은 Eigenvalue를 가지기 때문에, eigenvalue가 0인 경우를 살펴보면 서로 같은 차원을 가지겠지요. 여기서 λ=0에 대한 차원이 곧 Nullity가 되기 때문에 두 행렬은 서로 같은 Nullity를 가집니다.
아마추어 수학자님의 3번풀이를 이제야 이해 했습니다. 그런데 말입니다. A가 nxn인 행렬일때[A가 대각화 가능하므로 A는 항상 n개의 서로다른 고유값을 갖는다] 라고 하였는데, [A가 n개의 서로다른 고유값을 갖을때 A는 대각화가능이다. ] 는 참이지만 역은 참이 아니지 않나요?
rank(AB) = rank(BA) 일 때라고 쓴 것은 A가 invertiable일 때의 이야기입니다. 다른 경우는 일반적으로 안 되겠죠.. A가 invertiable일 때 rank(AB) = rank(BA) = rank B가 되는 것은 A, B가 n×n 행렬이므로 AB와 BA와 B의 nullity가 같다는 것만 보이면 되겠죠 ^^
x ≠ 0일 때 Bx = 0이면 (AB)x = A(Bx) = 0, (BA)(A^(-1)x) = 0 → nullity of B ≤ nullity of AB, nullity of BA, (AB)x = 0이면 Bx = A^(-1)(ABx) = 0, (BA)x = 0이면 Bx = (BA)(A^(-1)x) = 0 → nullity of B ≥ nullity of AB, nullity of BA
첫댓글 퇴화차수 is nulltiy of A
multiplicity 에는 2가지가 있습니다. (한국말로 대수적 중복도와 기하적 중복도) 여기서는 대각화 가능하니까 두 값이 같겠네요. 답변 감사드립니다. ^^ 사랑해요
님의 3번,4번 풀이가 잘 이해가 안갑니다. 조금만 자세히 설명해 주시면 안될까요? 표현이 불편하시다면 영어로 표현하서도 됩니다^^ 감사합니다.
3번은 λ의 multiplicity가 k일 경우 이에 속하는 eigenvector의 개수가 k개 되어야 한다는 사실을 이용하면 됩니다.(A가 diagonaliable인 경우) 0의 multiplicity가 k일 경우 이에 속하는 eigenvector의 개수가 k개 이므로 N(A) = k이고, 따라서 rank(A) = n-k = (0이 아닌 eigenvalue의 개수)
4번 A = Q^(-1)BQ 라 하면 rank A = rank(Q^(-1)BQ) = rank (BQQ^(-1)) = rank B. 여기서 Q와 Q^(-1)이 invertiable이라는 점을 이용하여 rank(Q^(-1)(BQ)) = rank((BQ)Q^(-1)).
고유공간의 차원. x -> Qx (Q는 invertiable square matrix)로 바뀌었다는 것은 그저 같은 벡터를 basis를 달리하여 표현했다는 것입니다(similar라는 게 결국 그런 의미죠). 그렇기 때문에 각 벡터들이 linearly independent하다는 것에는 변함이 없습니다.
따라서 고유공간의 basis들은 여전히 서로 linearly independent하고, 따라서 차원에는 변화가 없게 됩니다.
Nullity(퇴화차수)가 같다는 것은 아마도 3번의 풀이와 비슷하게 하면 될 듯 합니다. Eigenspace의 차원이 모두 같고 같은 Eigenvalue를 가지기 때문에, eigenvalue가 0인 경우를 살펴보면 서로 같은 차원을 가지겠지요. 여기서 λ=0에 대한 차원이 곧 Nullity가 되기 때문에 두 행렬은 서로 같은 Nullity를 가집니다.
아마추어 수학자님의 3번풀이를 이제야 이해 했습니다. 그런데 말입니다. A가 nxn인 행렬일때[A가 대각화 가능하므로 A는 항상 n개의 서로다른 고유값을 갖는다] 라고 하였는데, [A가 n개의 서로다른 고유값을 갖을때 A는 대각화가능이다. ] 는 참이지만 역은 참이 아니지 않나요?
실제로 A가 3x3행렬이고 고유값이 2개 이지만 대각화 가능한 행렬이 존재 하니 말입니다.(이경우는 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같은 경우) nxn인 대각행렬이라고 해서 고유값이 항상 n개는 아닌것 같아서 말입니다.
에구구, 자꾸 물어서 죄송합니다. 4번.rank(Q^(-1)(BQ)) = rank((BQ)Q^(-1)). 어떻게 성립하는지 이해가 잘 안갑니다. rank도 det(AB)=det(A)det(B) 이런식으로 연산이 가능한가요???
3번은 '서로다른 eigenvalues'의 개수가 아니라 linearly independent한 eigenvectors'의 개수가 n개라고 썼습니다. 잘못 보신 것 같네요 ^^;
네.. 그렇군요..^^;;
rank(AB) = rank(BA) 일 때라고 쓴 것은 A가 invertiable일 때의 이야기입니다. 다른 경우는 일반적으로 안 되겠죠.. A가 invertiable일 때 rank(AB) = rank(BA) = rank B가 되는 것은 A, B가 n×n 행렬이므로 AB와 BA와 B의 nullity가 같다는 것만 보이면 되겠죠 ^^
x ≠ 0일 때 Bx = 0이면 (AB)x = A(Bx) = 0, (BA)(A^(-1)x) = 0 → nullity of B ≤ nullity of AB, nullity of BA, (AB)x = 0이면 Bx = A^(-1)(ABx) = 0, (BA)x = 0이면 Bx = (BA)(A^(-1)x) = 0 → nullity of B ≥ nullity of AB, nullity of BA
네.. 감사합니다^^