Re:라그랑주 미정 승수법

[단무깡]

옛날에 쓴건데 올려 볼께요. 이를 바탕으로 스스로 연구해서 진정한 이해를 도모하길 바랍니다.
...............................................................................

독립변수의 수는 몇개라도 상관없지만 다루기 쉽다는 점 때문에 여기선 3 개로 제한한다.

f(x,y,z) 라는 함수를 생각해보자. x,y,z 는 서로 독립적인 변수이기 때문에 서로서로 영향을 미치지 않고 변할 수 있다. 이때 f 의 극값은 어떻게 구할까? 만약 f 가 극값이라면 그 극값 주위로 미소 변동 dx,dy,dz 에 의해 f 의 변화 df 는 0 이 된다.

즉 df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + (∂f/∂z) dz = 0

여기서 dx,dy,dz 는 서로가 독립이기 때문에 df = 0 이기 위한 필요충분조건은

(∂f/∂x)=(∂f/∂y)=(∂f/∂z)=0 이다.

바로 이 조건으로서 극값이 되는 x,y,z 를 구할 수 있다.

만약 구속 조건 'g(x,y,z) = 일정' 인 조건이 부과 된다면?

df = 0 이어야 한다는 것은 변함없지면 이제 더이상 dx,dy,dz 는 독립이 아니기에

(∂f/∂x)=(∂f/∂y)=(∂f/∂z)=0 라는 조건은 유용하지 못하다.

이때 새로운 함수 W(x,y,z) = f - λg 를 도입하면 df =0 이기 위해선 단순히 dW =0 임을 조사하면 되는데 이 때 x,y,z 는 서로 독립으로 치부해버리고 다음의 조건이 성립한다.(λ 는 임의로 도입하는 상수로 미정계수라고 합니다.)


∂W/∂x = ∂W/∂y = ∂W/∂z = 0 (해석: f 가 'g= 일정' 이라는 구속에 의해 dx,dy,dz 가 독립이 아닌반면 W 는 구속 조건이 없어서 dx,dy.dz 는 마치 독립처럼 행동한다.)

즉 요약하면 f(x,y,z) 가 구속 'g(x,y,z)= 일정' 을 만족하면서 변할 때 구속이 없는 새로운 함수 W 를 도입하여 단순히 W 의 극값 구하는 문제로 변환 할 수 있다는 것이 핵심입니다.

직육면체 각 변의 길이를 x,y,z 로 표기하면 겉넓이 S = 2(xy+yz+zx) = 일정 이라고 둘 수 있습니다. 여기서

g(x,y,z) = xy+yz+zx = c(일정)

으로 두면 편리합니다. g 가 일정할 때 부피(V) =xyz 의 최대값을 구하기 위해서 가장 편리한 방법은 Lagrange-multiplier 입니다.

새로운 함수 W(x,y,z) = xyz - λ(xy+yz+zx) 로 두면 W 가 극값을 가지기 위해선

dW = (∂W/∂x) dx + (∂W/∂y) dy + (∂W/∂z) dz = 0

즉, ∂W/∂x = ∂W/∂y = ∂W/∂z = 0 이어야 합니다. ( W 는 구속조건이 없으므로)

∂W/∂x = yz - λ(y + z) = 0
∂W/∂y = xz - λ(x + z) = 0
∂W/∂z = xy - λ(y + x) = 0

그리고 하나의 조건

g= xy+yz+zx = c

어떻습니까? 미지수 4개(x,y,z,λ) 에 방정식 4 개로서 유일한 x,y,z,λ 를 결정할 수 있습니다.
위의 연립방정식을 풀면 x = y =z 이어야 하고 이는 곳 W 의 극값 조건을 말해줍니다. 이것은 g 의 구속이 있을 때 f 가 극값을 가질 조건에 해당합니다. 극값이므로 최대 아니면 최소인데 이 경우는 f 가 최대가 되는 것을 확인할 수 있습니다.

''''''''''''''''''''''''''''''

만약 f 가 'g(x,y,z) = 일정' 이외에 또다른 구속 'h(x,y,z) = 일정'이 있다면 ? 우선 f,g 만 생각하면 W = f- λg 를 도입하므로써 g에 대한 구속없는 W 를 생각하게 되고 ,

E = W - μh 를 도입하므로써 g,h 모두에 구속없는 E 를 생각할 수 있습니다.

그리하여 단순히 dE = 0 .즉 dx,dy,dz 를 독립으로 치부하고

∂E/∂x = ∂E/∂y = ∂E/∂z = 0 인 상황을 생각하면 됩니다. 이 세개의 방정식과

g = 일정 ,h= 일정 총 5개의 방정식이 생깁니다. 그리고 미지수는 5개 (x,y,z,λ,μ) 가 되지요.

이런식으로 계속 나가면 일반적으로 다음과 같이 됩니다.

f(x1,x2,x3.....xn) 이 i개의 구속 g_1(x1,x2,x3...xn) , g_2(x1,x2,x3....xn) ,,,,, g_i(x1,x2,x3....xn) 인 상황에서의 극값 구하는 문제는 i개의 미정계수 λ_j 를 준비하여 단순히

E =f - ∑ λ_j*g_j ( 시그마는 j =1 에서 i 까지 ) 의 극값 구하는 문제와 동일합니다.

dE =0 으로 부터

∂E/∂x = ∂E/∂y = ∂E/∂z = 0 (3개의 방정식) 을 얻고,

g_j = 일정 ( i 개 방정식)

즉 미지수 (x,y,z,λ_1,λ_2....λ_i) = i+3 개 , 방정식도 i+3 개 , 원리적으로 풀립니다

[knight]

아 답변 감사합니다...책에 있는 내용에 충실하고 알찬 내용감사해요^^;;;그런데 제가 원하는 건 이식을 이용하는 곳...예를 들어 제가 전자과라서 전자기학의 전자파의 흐름을 아는것...이건 맥스웰방정식으로도 충분한데(오차허용) 구지 식을만족하지만 극값이 될지 안될지도 모르는 약간은 부족한 식 같은데...

[knight]

어디에 어떤방식으로 쓰이는지를 알고 싶어서요^^;;;편미분에서 이식의 조건은 유용할거 같은데 이 조건도 보통 문제를 풀때 어느정도 염두에 두고 하는 그런 내용이다 싶어서요.....제가 보는책에는 장장4페이지에 걸쳐 설명해놔서 중요한가? 하는 의문이 들기도 하구요^^ 답변 감사했습니다.

[knight]

이 라그랑주 미정 승수법의 정확한 이용처와 사용법 그리고 왜 쓰는지, 그리고 이식을 이용하여 일상생활에서 해결할수있는 문제는 뭐가 있는지..아시는분의 제보를 기다립니다~

[푸른하늘]

라그랑지 멀티플라이어는 해밀톤 이퀘이션으로 동역학 문제를 해결할때 사용됩니다. 일종의 구속조건이라 멀티플라이어 하나당 변수 하나를 제거해주는 효과를 가져오지요. 해밀토니안을 안써서 해결하는 경우엔 쓰는걸 못봤네요

[knight]

아 구속조건....그럼 이 식 자체만으론 풀지 못한다는것....구속조건이란게 이식이 성립함을 보일수는 있어도 식에 맞다고해서 무조건 성립하지는 않는다...대략 이런 말씀이시죠?

[푸른하늘]

뭐, 대충 비슷한거 같은데, 예를 들어 구 위를 미끄러내려오는 공의 움직임을 해밀톤 이퀘이션으로 풀어라~ 하면 r과 theta에 대한 해밀톤 방정식이 나오고, 거기에 r=a, 즉, 공과 중심으로부터의 거리가 구의 반지름과 계속 같아야 한다는 "구속조건"이 라그랑지 멀티플라이어입니다.

[푸른하늘]

r과 theta에 대한 해밀톤 이퀘이션 하나에, r=a라는 라그랑지 멀티플라이어가 또 하나의 식을 제공해서 문자 2개, 식 2개가 되어 동역학 문제를 해결할 수 있습니다.

[푸른하늘]

중고삐리때 배우는 걸로 "비유"를 해보자면, x+y=3인 제한조건 하에서 x^2+y^2의 최대값이 얼마겠니? 하는 문제에서 x+y=3이 하는 역할이 바로 라그랑지 멀티플라이어.

[체 게바라]

아하! 생각해보니 그렇네요^^

[푸른하늘]

저걸 양자역학의 브라켓 계산에 응용하면 그렇게 단순하지는 않습니디만... 고전역학 범위에서의 계산은 대충 이 수준이라고 생각해도 됩니다. ^^

[knight]

ㅋ 푸른하늘님이 리플달아주신거 참고해서 다시읽으니 많은 도움이 되었습니다^^ㄳㄳ