Re:Linear Operator

Operator(연산자) 는 간단히 말해서 이렇게 이렇게 계산(연산)하라는 약속입니다. 가장 먼저 배우는 Operator 가 일차함수를 비롯하여 일변수 함수가 될 것입니다. 예를 들어 f(x) = ax 로 주어진 함수가 있다고 합시다. 이거는 x 를 f 라는 기계(연산자,operator)에 넣었을 때 ax 로 계산(연산)하라는 의미가 됩니다. 그러니까 여기서 operator 는 f 라는 기호가 되지요. 위의 f 라는 operator 에 y 를 대입하면 f(y) =ay z 를 대입하면 f(z) = az 를 산출합니다. 여기서 f 라는 operator 는 다음의 특성을 가집니다.(α, β, γ 는 상수) f(αx + βy + γz) = a(αx + βy + γz) =α(ax) + β(ay) + γ(az) = αf(x) + βf(y) + γf(z) 즉, f(αx + βy + γz) = αf(x) + βf(y) + γf(z) ....(1) 를 만족합니다. 여기서 x,y,z 와 같이 해당하는 Operator 에 집어 넣을 수 있는 인자를 요소라고 합시다. 위의 경우에 f 라는 operator 에 대한 요소는 x,y,z 따위의 스칼라이지요. 벡터,행렬 이런건 위에서 정의한 operator 의 요소가 아닙니다. 즉 해당하는 operator 에 적당한 요소를 대입해야 의미가 있습니다. 한편, g(x) = x^2 이라면 (1) 은 성립하지 않지요. 여기서 선형이라는 것이 정의 됩니다. f(x) = ax 의 operator 'f' 는 (1) 을 만족하고 g(x) =x^2 의 operator 'g' 는 (1) 이 성립하지 않습니다. (1) 의 관계를 만족하는 operator 를 linear operator(선형연산자)라 합니다. cf) h(x) = ax + b 의 h 는 (1) 이 성립하지 않으므로 linear operator 가 아닙니다. 하지만 일차식입니다. 그래서 일차식과 linear operator 는 약간 다른 개념입니다. 원점을 지나는 일차식은 linear operator 이지만 원점을 지나지 않는 직선은 그렇지 않습니다. f(x) =ax 를 homogenious linear equation ,h(x) =ax+b 를 nonhomogenious linear equation 정도로 하면 될거 같네요. (1)식은 요소가 스칼라인 operator 에 대한 linear operator 의 정의 식입니다. (1) 의 관계식을 요소가 벡터, 행렬, 함수 등등으로 확장할 수 있는데 그것이 일반적인 operator 에 대한 linear operator 정의 식이 되겠습니다. ........................................................................ 즉 linear operator 의 정의: 적당한 요소(A,B) 에 대한 Operator 가 요소 A,B에 대해 다음의 관계식을 만족하면 그 Operator 는 A,B 에 대해 linear operator 라 하고 간단히 L 로 표기하자. L[ aA + bB ] = aL[A] + bL[B] 요소가 (A,B,C) 라면 L[aA + bB + cC ] = aL[A] + bL[B] +cL[C] 가 되어야 요소 A,B,C 에 대해 선형이다. (여기서 소문자 a,b,c 는 상수다.) ....................................................................... 미분방정식은 요소가 다변수함수(일변수함수,이변수함수....)이고, operator 가 미분연산자 d/dx , d²/dx²,∂/∂t, ∂²/(∂u∂v) .... 인 경우입니다. 일변수 함수인 경우 d 관련 미분 연산자만 사용하고 이것이 상미분방정식, 다변수 함수인 경우 ∂ 관련 미분 연산자 사용, 편미분 방정식이라고 합니다. 간단히 상미분 방정식을 고려합시다. d²y/dx² + dy/dx + 2*y = 0 ....(2) 여기서 요소를 y 로 두고 operator 를 L = d²/dx² + d/dx + 2 로 둡시다. 그러면 위의 미방은 간단히 다음과 같이 쓸 수 있습니다. L[y] = 0 ( L 은 일변수함수에 대해 linear operator 임을 알 수 있다.) 이렇게 미분방정식에 linear operator 가 쓰인 미분방정식을 선형미분방정식이라 합니다. y'y" + f(x) = 0 ...(3) 인 경우엔 operator 가 y'y" 에 숨어 있는데 위의 경우처럼 끄집어 내기는 어렵고 그냥 ' 이 미방에 대한 operator 'O' 가 있는데, 그 O 는 y 를 넣으면 y' 와 y" 를 계산하고 곱하는 그런 기계덩어리야' 라고 머리속으로 생각하면 됩니다. 이 기계가 linear operator 가 될 조건 L(aA+bB) = aL(A)+bL(B) 을 만족하는지 봅시다. 일변수함수 y1,y2,a*y1+b*y2 를 기계덩어리(O) 에 넣어봅시다. O[y1] = y1'y1" O[y2] = y2'y2" O[a*y1+b*y2] = (a*y1+b*y2)'(a*y1+b*y2)"≠a*O[y1] + b*O[y2] 즉 O 는 linear operator 가 아닙니다. 그래서 (3) 은 비선형 미분방정식입니다. 이제 선형미분방정식이 무엇인지 감이 올 것입니다. y'y" ,(y')^2 ,y^2... 등과 같이 종속변수가 단독으로 존재하지 않고 제곱,세제곱 등으로 존재하면 해당하는 operator 가 linear operator 로 될 수 없습니다. 그래서 비선형 미분 방정식이라 합니다. 이런 선형 미분 방정식의 일반폼은 다음과 같습니다. L[y] = f(x) 여기서 L 은 (2) 를 고계 도함수로 확장 시킨 것입니다. 특히 f(x) = 0 면 L[y] = 0 라고 해서 homogeneous linear different equation 이라고 합니다. 특징은 y1,y2 가 해일 때 a*y1 + b*y2 도 해가 된다는 것,즉 L[a*y1 + b*y2] = a*L[y1] + b*L[y2] = 0 homogeneous linear different equation 인 경우 해들이 중첩의 원리를 따른다는 특징이 있지요. 이것이 linear operator 의 막강한 힘입니다. 독립인 해만 찾으면 나머지 해는 이들의 일차결합으로 표현되어 일반해를 구하게 되는 것이죠. 파동을 포함해 많은 물리 현상이 linear operator 를 가지는 편미분 방정식으로 설명됩니다. 이들은 linear 특성에 의해 해의 중첩 원리가 성립되지요. 물결파, 전자기파 등등이 대표적인 것이고, 미시세계를 기술하는 양자역학으로 들어가면 해당하는 파동방정식이 역시 linear operator 에 의해 기술 되는데 그에 해당하는 해 역시 중첩의 원리를 따릅니다. 양자역학에서 각각의 해는 어떤 상태에 대한 확률파로 해석하는데 그 상태에 대한 확률파가 중첩의 원리를 따른다는 것은 물리량을 측정 하기전 어느정도의 확률로 여러가지 상태로 존재할 수 있다는 것이고 이것이 물리량 측정에 대한 비결정성을 낳는 요인입니다.