아는데까지 한번 설명해볼께요.
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복잡해 보이는 슈뢰딩거의 파동방정식은 에너지 보존이라는 절대불변의 법칙 E=K+U 가 내포되어 있습니다. F=Ma 라는 고전적 운동방정식은 뉴턴이 '유도' 해낸 방정식이지만 슈뢰딩거의 파동방정식은 어떻게해서도 유도될수 없는 그런방정식이죠. 하지만 슈뢰딩거의 파동방정식을 그럴듯하게 유도하기 위해 연산자라는 것을 도입합니다.즉 E=K+U 의 각각의 항을 연산자로 대치하는 것이죠. E 연산자는 ih/2ㅠ ∂/∂t 이고, 운동량 p의 연산자는 -ih/2ㅠ ∂/∂x 입니다.
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이제 E=K+U 을 연산자로 대체해 봅시다.
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K=P²/2m 이란걸 염두해 두시고.
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ih/2ㅠ ∂/∂t =[-(h/2ㅠ)²/2m]∂²/∂²x +U 가 됩니다.[-(h/2ㅠ)²/2m]∂²/∂²x +U 을 통틀어 하밀토니안 연산자라고 하는데 H로 표시합니다.
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양변에 Ψ곱하면
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ih/2ㅠ ∂Ψ/∂t =[-(h/2ㅠ)²/2m]∂²Ψ/∂²x +UΨ
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이것이 슈뢰딩거의 파동방정식입니다. 이경우는
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Ψ가 x와 t 의 함수이죠. 즉 공간의존성이 1차원이란 예깁니다. 3차원으로 확장하면 운동량 P²=P벡터내적 P...에고 이해못하실것 같다. 운동량은 더이상 스칼라가 아니기 때문에 운동량은 x.y.z 성분이 있을테고 그것은 벡터인데 내적하므로해서 스칼라가 되며 결국 3차원에선 P²=P(x)²+P(y)²+P(z)²를 사용해서 각각의 연산자를 도입해서 유도하면... 다이버젠스를 이용해서
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[-(h/2ㅠ)²/2m]∇²Ψ +UΨ=ih/2ㅠ ∂Ψ/∂t 가 됩니다. 우리의 출발은 E=K+U ,즉 비상대론으로부터 출발했기에 슈뢰딩거의 파동방정식은 속력이 빠른 경우는 쓸수 없게 됩니다. 디렉은 상대론적 에너지 보존법칙,즉
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E={√(PC)²+(mc²)²}+U 로 부터 출발하여 연산자로 대치해서 상대론 효과를 보정한 방정식을 세웠죠.
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슈뢰딩거 파동방정식을 공부하다보면 또하나의 방정식 시간에 무관한 슈뢰딩거 파동방정식이라는 것이 나오는데 이것은 이경우의 편미분방정식이 변수분리되어 x에만 관계되는 상미분방정식과 t에 관한 상미분방정식으로 분리되기 때문입니다. 시간에 관한 상미방의 해는e^(-iEt/h) 가 됩니다. x에 관한 상미분방정식은 [-(h/2ㅠ)²/2m]d²Ψ/d²x +UΨ=EΨ
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이것이 시간에 무관한 슈뢰딩거 파동방정식입니다. 알아둘것은 변수 분리되기전의 파동방정식의 프사이는 =변수분리된후의 프사이 곱하기 e^(-iEt/h)라는 것이고요.
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