Re:소이데알과 극대 이데알에 관한 문제인데

[topology]

1. 환R 가 PID일 때 다음이 성립함을증명하여라. 1) {0}은 R의 소이데알이다. pf)  (1) {0}≠R   R은 가환환입니다  (2)  a,b ∈ R에 대하여 ab∈{0 }이라고 가정하면, ab=0입니다.      R이 정역이므로 a = 0  또는 b= 0  입니다.   그러므로 {0}은 소이데알 입니다. 2) P≠{0}가 R의 소이데알이면,P는 R의 극대이데알이다.  pf)    P≠{0}가 R의 소이데알이라고 합시다. 그러면   (1) P≠ R     (2) 만약, P⊆M⊆R 인 R의 이데알 M이 존재한다고 가정합시다.       우리는 P=M또는 M=R임을 보이면 되는 것 이지요       R이 주이데알 환이므로  어떤 a∈R에 대하여, M = <a> 입니다.       즉 P≠{0}이고 P ⊆ M= <a> ⊆ R  이조 (a가 P의 원이 아닌원소 라 합시다)       b∈P  이면 b∈M= <a>  이므로  b= ar (r∈R)입니다.        따라서 ar = b∈P  이며  P가 R의 소이데알이므로      a∈P  또는 r ∈P 입니다.     (ㄱ) a∈P 이면 M=P이다     (ㄴ) r ∈P 이면  b= ar 에서 a∈P입니다  따라서  R⊆M 이다   따라서 R=M     그러므로, P는 R의 극대이데알이다 2. 단위원 1을 가진 비가환환 R에서 M이 R의 극대 이데알이더라도 잉여환 R/M은 나눗셈환이 아닐 수 있음을 밝혀라.   =>  R이 단위원을가지지만 비가환환이므로 M이 R의 극대이대알 이더라도 R/M은 나눗셈환이         안되는 것이죠        R이 단위원을 가지는 가환환이라면        R/M은 체(나눗셈환 + 가환)가 되죠

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한때 열심히 했는데 ...   논리가 잘 서지 않는 군요

 정확한 답이 안되지만 조금 도움 되시길....