수학질문 함수와 역함수가 y=x 이외에 교점을 갖는 경우에 대한 이야기 입니다.

[꿈꾸고잇는]

무리함수가 감소함수 일 때 역함수와의 교점을 구하려면 y=x 그래프와 교점을 구하는 방식으로는 풀 수 없다고 하는데요.

그냥 함수와 역함수를 직접 구해서 방정식으로 풀이할 수 있기는 한데

왜 그런 현상이 일어나는지 이론상으로 설명하기가 난해하네요.

그래프를 컴퓨터로 정확하게 그려서 보여주는 방법 말고 다른 방법은 없을까요?

고수님들의 답변을 부탁드립니다.

[한량]

정의역과 치역의 범위를 가지고 설명하면 될거같습니다

[성지훈]

간단히 무리함수가 어떤 실수 a,b에 대해 (a,b)와 (b,a)를 동시에 지날 경우 이 점은 원함수와 역함수의 교점이 됩니다. a=b일 때가 y=x와의 교점이 될 것이고 a=b가 아닌 경우는 y=x와의 교점이 아닌셈이죠. 증가함수에서 이런 교점은 존재하지 않고 감소함수에서는 존재할 수 있습니다.

[정희여봉]

무리함수에서만 그런 경우가 생기는 건가요? 아님.. 일반적인 감소함수에서도 생길 수가 있는 건가요?

[성지훈]

일반적인 감소함수에서 생길 수 있습니다. 간단한 예로 기울기가 -1인 직선은 원함수=역함수 이므로 이 직선 위의 모든 점이 원함수와 역함수의 교점입니다.