[적성검사 나만의 비법] 최댓값 최솟값 (작성자 : 키키킥)

최댓값과 최솟값에 대해 정리해보자. 최댓값과 최솟값의 경우 크게 두가지 문제로 나뉠 수 있다. 1) 대입문제 2) 공식문제 대입문제의 경우 말그대로 임의의 값을 대입해서 최댓값 최솟값을 도출하는 문제이다. 예를들어 1~10까지의 수 중 두가지를 선택하여 어떤 수를 만드려고 한다. 최댓값은? 이 경우 미지수가 필요하지 않은 경우가 많다. 또다른 경우인 공식문제의 경우 미지수의 갯수와 미지수끼리의 연산에 따라 다른데 필자의 경우 두가지 경우로 생각하고 문제에 접근한다. (1) 이차방정식(이차함수)의 최대최소      - 미지수가 이차식일 때        (ex) x² + 5x - 6의 최솟값은? (2) 산술기하평균      - 미지수의 개수가 2개 이상이고, 미지수 사이의 관계가 합 혹은 곱일 경우         (ex) x+y = 3 일 때 xy의 최댓값은? (1)의 경우 답이보인다에 설명되어 있는 부분이므로 자세히 설명은 안하겠지만, 몇 문제 같이 풀어보자면 x²+8x+9 의 최솟값을 구하라 = x²+8x+16-16+9  ( x항의 계수의 절반을 제곱하여 더해주고, 다시 빼준다) = x²+8x+16-7 = (x+4)² - 7 (x²+8x+16을 완전제곱식 형식으로 고쳐준다) 즉, x가 -4일 때 최솟값 -7을 갖는다. -x²-8x+10 의 최댓값을 구하라 = -(x²+8x)+10 (계산을 쉽게하기 위해 -를 앞으로 빼준다) = -(x²+8x+16-16)+10 (x항의 계수의 절반을 제곱하여 더해주고, 다시 빼준다)) = -(x²+8x+16) + 26 (-16은 앞의 -와 곱해져 +로 빠져나온다) = -(x+4)² + 26 즉, x가 -4일 때 최댓값 26을 갖는다. (2) 산술기하평균 산술기하평균의 공식은 x+y ≥ 2√xy x+y+z ≥ 3√xyz a+b+c+....+z ≥ 26√abc...z 로 정의된다. 산술기하평균의 경우 쓰임새가 굉장히 많은데, 우선 간단한 문제를 풀어보자. x+y의 값이 6일때 xy의 최댓값은? 이 경우 미지수가 2개이고 미지수 사이의 관계가 합과 곱이므로 산술기하평균을 사용한다. 6 ≥ 2√xy 3 ≥ √xy 9 ≥ xy 즉, xy는 아무리 커봐야 9보다 작거나 같으므로 최댓값은 9가 된다. 원의 지름이 10cm일 때, 이 원에 접하는 사각형의 넓이의 최댓값은? 이 경우에 원에 접하는 사각형의 한 변의 길이조차 알 수 없으므로 가로 길이를 x, 세로길이를 y라 하면 결국 구하고자 하는것은 xy의 최댓값. 따라서 산술기하평균을 사용한다. 지름이 10cm이므로 x²+y² = 100이라는 식이 나온다. 자, 이제 x대신에 x² , y대신에 y²을 대입해보자 x²+y² ≥ 2√x²y² 100 ≥ 2xy 50 ≥ xy 따라서 xy의 최댓값은 50이 된다. 3^x+ 3^-x 의 최솟값을 구하라 3^x를 a로 치환하면 결국 (a + 1/a) 의 최솟값을 구하는 것 이므로 산술기하평균을 사용한다. a + 1/a ≥ 2√a*1/a a + 1/a ≥ 2 따라서 최솟값은 2가 된다. 이 경우 미지수는 한개지만, 형태가 다르고 두 사이의 형태가 합 형태이므로 산술기하를 사용했다. 마지막으로 정리를 하면 최댓값 최솟값을 구하는 문제는 크게 두가지로 나뉘는데, 대입문제와 공식문제로 나뉜다. 대입문제의 경우 말그대로 대입하는 문제로, 미지수가 필요하지 않는다. 공식문제의 경우 두가지로 또 나뉘는데, 한가지는 이차방정식의 최대최소공식을 사용하는 경우 나머지 한가지는 산술기하평균이다. 미지항이 이차항일 경우 이차방정식의 최대최소를 사용하고, 미지수가 2개 이상이고 두개 사이의 연산이 곱이나 합일경우 산술기하평균을 사용한다. 자 그렇다면 마지막으로 문제를 풀어보자. x≤0이고 y ≥ x²일 때 x+y의 최솟값은?