공통수학 켤레 복소수에 관한 질문 하나!

[여하]

두 복소수 a, b와 그 각각의 켤레복소수 A, B에 대하여

aA = 1, bB = 1, a + b = 2i

가 성립할때, a^2 + b^2의 값을 구하여라.



원래 알파와 베타로 나오구, 켤레복소수의 표시, 아시지요? 복소수위의 작대기 긋는거요. 그렇게 되어 있는데,

어떻게 쓰는지 몰라서 나름대로 적어봅니다.~

답이 두가지 경우가 나오는 것 같아서, 맞는지 확인해주십사 이렇게 글올립니다.



일단,

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab라는 것을 기본으로.

a + b가 2i라는 것을 감안하여 식을 완성하여 계산해보면.

결국 이 문제는 ab의 값을 알아내는 것이 포인트라고 할 수 있을 것 같습니다.

그런데.

풀이를 해놓은 것을 보니.

aA=1 ~~~> A=1/a
bB=1 ~~~> B=1/b

A+B= 1/a + 1/b = a+b/ab

A+B는 a+b의 켤레복소수들의 합이기때문에 -2i라고 했고

따라서 위식에 대입해보면,

-2i = 2i / ab

ab는 -1 이라고 설명을 해놨습니다. 답은 -2구요.



근데요...만약 이것을 아래와 같이 뒤집어서 생각해보면요.


aA=1 ~~~> a=1/A
bB=1 ~~~> b=1/B

라고 하여.

a+b= 1/A + 1/B = A+B/AB = 2i

위의 풀이에서처럼 A+B는 a+b의 켤레복소수들의 합이기 때문에 -2i라고

하면 AB의 값은 역시 마찬가지로 -1이 나오지 않습니까?

그럼.

AB의 켤레복소수들의 곱인 ab는 1이 되는 것 아닌가요?


두개의 경우를 종합해보면, ab=AB=1 or -1

-_-;;
ab를 어떻게 구하느냐에 따라서 -1이 되느냐, 1이 되느냐 인것 같은데.

그럼 답이 달라지잖아요.


제 추론이 잘못된건가요?

제 추론과정에서 잘못된 부분이 있는지, 검증좀 해주세요~

(_ _)오네가이~

[밝히리]

a,b 는 복소수 이지만, 두 수의 곱인 ab 는 실수로 나왔지요? 실수는 자신과 켤레 복소수가 같은 수입니다. -1 의 켤레 복소수는 -1 입니다. 그래서 ab = AB = -1 이 됩니다. 1 + i 의 결레 복소수는 1 - i 입니다. 3i 의 켤레 복소수는 -3i 입니다. 켤레 복소수의 정의를 다시 한번 생각해 보세요.

[여하]

오오~!!그렇군요! 감사합니다.^^; 원츄>_<;;~~~