공통수학 10-나 평면좌표 부분에서 나오는 삼각형의 무게중심에 관련된 문제예요^^

[아름다운나라 한국!]

삼각형 ABC 의 무게중심이 (3,1)이고 각 변 AB, BC, CA를 2:1로 내분하는 점을 각각 P,Q,R라고 할 때, 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표를 구하여라.

여기까지가 문젠데요.
답은 (3,1)이라고 나와있거든요.
왜 그런지 이유를 가르쳐 주세요.^^


그리고, 각 변 AB, BC, CA를 1:2, 1:3...로 내분할때는 무게중심이 어떻게 변하는지도 가르쳐 주세요.^^

[이동민]

A의 좌표를 (x1,y1), B의 좌표를 (x2,y2),C의 좌표를 (x3,y3)라고 합시다. 그럼 내분점 구하는 공식에 의하여 1:m으로 내분하는 P의 좌표는 (x2+mx3/3,y2+my3/3),Q의 좌표는 (x3+mx1/3,y3+my1/3),R의 좌표는 (x1+mx2/3,y1+my2/3) 됩니다. 따라서 삼각형 PQR의 좌표를 구하면

[이동민]

((1+m)(x1+x2+x3)/9,(1+m)(y1+y2+y3)/9) 가됩니다. 삼각형의 무게중심이 (3,1)이므로, (x1+x2+x3)/3=3, (y1+y2+y3)/3=1이므로 삼각형 PQR의 무게중심은 ((1+m),(1+m)/3) 이 됩니다. 따라서 m=2일때는 (3,1)이 되겠죠? 무게중심과 내분점이라는 단어를 보았을때 관련 공식이 떠오른다면 풀수있을것입니다 기초많이반복하세요