선형대수에서 증명하는 것 중에서 finite-dimensional vector space는 항상 basis를 가진다는 정리가 있는데, (당연한 이야기지만) infinite-dimensional에서도 basis를 가지겠지요. 그럼 infinite-dimensional vector space가 basis를 가진다는 것은 어떻게 보이나요?
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보통 우리가 infinite-dimensional vector space의 예로 드는 것이 어떤 Field의 원소를 계수로 가지는 다항식들의 집합 F[x]인데, 이 경우에는 basis를 {1, x, x^2, ...}과 같이 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 경우에는 basis가 countable set이기 때문에 비교적 쉽게 찾을 수 있는것 같은데요, 그렇다면 구간 [a, b]에서 연속한 모든 함수의 집합 C[a, b]와 같은 것에서는 basis를 어떻게 찾을 수 있나요?
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덧) 푸리에 전개를 배울때 이걸로 되지 않을까 생각했는데, 역시 푸리에 급수는 무한합이 되기 때문에 basis라 볼 수 없더군요.
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The existence of a 'Hamel' basis for C[a,b] (in fact, for all vector spaces) can be proved by Zorn's lemma, which is not a constructive argument. There is an explicit example of a Schauder basis for C[a,b] involving so called the Rademacher functions though.
You canNOT find a countable (Hamel/algebraic) basis for an infinite dimensional Banach space (a consequence of the Baire Category Theorem). Therefore, trig polynomials, etc, cannot be a Hamel/algebraic basis for C[0,1].
Could you give me some reference about constructive Schauder basis for C[a, b]? I heard someone made it, but I cannot find good information about it. Have you heard anything about 'constructive' algebraic basis for R?
첫댓글 제가 알기로는 푸리에 급수의 기저는 sin과 cos이라고 알고있습니다...무한합일지라도 두개의 기저로 생성해 내잖아염..^^
The existence of a 'Hamel' basis for C[a,b] (in fact, for all vector spaces) can be proved by Zorn's lemma, which is not a constructive argument. There is an explicit example of a Schauder basis for C[a,b] involving so called the Rademacher functions though.
푸리에 급수의 sin,cos 은 당연히 1순위고요,베셀함수,legendre 다항식, 아무튼 많을 겁니다.
You canNOT find a countable (Hamel/algebraic) basis for an infinite dimensional Banach space (a consequence of the Baire Category Theorem). Therefore, trig polynomials, etc, cannot be a Hamel/algebraic basis for C[0,1].
Could you give me some reference about constructive Schauder basis for C[a, b]? I heard someone made it, but I cannot find good information about it. Have you heard anything about 'constructive' algebraic basis for R?
infinite dimensional vector space가 항상 basis를 가진다는 것은 axiom of choice가 필요합니다.
"Banach Spaces for Analysts" by P. Wojtaszczyk for example.