프랙탈 이론에 대하여

[샬롬]

질문자인사 ㄳ

              

라이프니쯔(1646-1716)                                모나드에 관한 그의 원고(1714)

17세기의 저명한 철학자이자 수학자, 물리학자인 라이프니쯔(Gottfried Wilhelm Leibniz)는 모나드론(Monadology) 이라는 독특한 사상을 발표하였습니다.

그것은, 우주는 무수한 단자(monad)로 이루어져 있고 개개의 단자 속에는 하나의 완전한 우주가 구현되어 있다는 사상입니다.

'프랙탈'(fractal) 이란 이름은 1975년 만델브로트(Benoit. B. Mandelbrot, 1924-  )에 의해 지어졌으나, 이러한 형상들에 관한 추상적 논의는 훨씬 이전부터 있었습니다. 칸토르 입자(Cantor's dust), 코흐 눈송이(Koch snowflake), 시어핀스키 판(Sierpinski's Gasket) 등이 그 예 입니다.

      

칸토르 입자 (Cantor's Dust)                  칸토르(Georg Cantor, 1845-1918) 

프랑스의 수학자인 만델브로트(Mandelbrot)는 1967년 영국에서 발행되는 과학 잡지인 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 제목의 글을 발표했습니다.

간단하게 생각하면 바보같은 질문 같은데 이 글에서 만델브로트는 영국의 해안선의 길이는 어떤 자로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했습니다. 1m 단위의 자로 재었을때와 1cm 단위의 자로 재었을때는 둘레의 길이가 엄청난 차이를 낳을 것이라는 것이죠.

                   

코흐눈송이                             코흐(Helge von Koch,1870-1924)

당시 큰 관심을 가지고 있지 않던 과학자들도 이후 그가 프랙탈 이론의 선구자로 알려진 후에는 해묵은 '사이언스' 誌를 뒤적거렸다는 우스운 이야기도 전해지고 있습니다.

  

시어핀스키 판(Sierpinski's Gasket)    시어핀스키(W. Sierpinski, 1882-1969) 

'프랙탈' 이라는 용어는 만델브로트가 IBM에서 연구원으로 근무하던중 자신이 연구하던 것들을 책으로 출간하기 위해 책의 제목을 생각하다가 라틴어의 Fractus(부서진)라는 낱말을 발견하여 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있고, 프랙탈 기하학이 정수가 아닌 분수(Fractional)차원을 가진다는 의미에서 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있습니다.

  프랙탈의 속성은 자기 유사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursiveness)이라는 특징을 가지고 있습니다. 이 아이디어를 잘 생각해 보면 그것은 우주의 프랙탈(fractal)구조를 표현하고 있음을 알 수 있습니다.

즉, 하나의 입자가 그 속에 다른 또 하나의 완전한 우주를 담고 있다면 그 우주는 더욱 더 작은 무수한 입자들로 구성되어 있을 것이고, 또 그 하나하나의 입자 속에는 또 다른 더 작은 우주가 재현될 것입니다.

이러한 과정은 끝없이 반복될 것이며 따라서 이것을 프랙탈 구조라고 말할 수 있을 것입니다. 만약 우주가 프랙탈 구조로 이루어져 있는 것이 진실이라면, 우리가 속해 있는 이 거대한 우주 또한 하나의 입자라고 말할 수 있을 것입니다.

 

우리는 하나의 입자에 지나지 않는 세계 속에 살고 있는지도 모릅니다. 그리고 우주와 같은 입자들이 무수히 많이 있는지도 모릅니다. 그렇다면 그 모든 우주 입자들을 포함하는 거대한 존재가 있을 것입니다.

그리고 그 거대한 존재가 모든 것의 끝일 리가 없습니다. 그 거대한 존재 또한 그 보다 더욱 거대한 우주 속의 입자 하나에 지나지 않을 것입니다. 프랙탈 구조 속에서는 이러한 과정 역시 끝없이 반복될 것입니다.

프랙탈 구조로 된 우주에서는 '무한' 만이 유일한 답이 됩니다. '무한' 은 수평적으로 무한할 뿐만 아니라 수직적으로도 무한합니다. 이와 같은 생각은 철학적인 관점에서는 상당히 평가될 만하지만, 아직까지는 과학적인 관점에서 본다면 '공허한 논리' 가 아닌가 합니다.

프랙탈이란?
  

   프랙탈은 만델브로트가 1975년 라틴어 'fractus'로부터 만들어낸 단어이다. 만델브로트는 자연에서 발견되는 복잡한 대상을 표현하는 데 있어서 유클리트 기하로는 충분하지 않으며, 새로운 기하학이 필요하다고 인식하고 프랙탈 기하학을 창시하였다. 실제로 프랙탈이 출현한 것은 19세기였으며, 칸토르 집합, 페아노 곡선, 코흐 곡선, 코흐 눈송이, 시어핀스키 삼각형 등을 들 수 있다. 하지만 당시 유클리드기하의 관점으로는 매우 이상한 병적인 대상으로 취급되어 '괴물곡선'이라고 불리웠고, 수학이나 과학에서 중요하지 않은 것으로 여겨졌다.

  그러나, 오늘날에는 수학에서는 물론 물리, 생물, 화학, 기상학, 의학, 컴퓨터 과학, 카오스 현상의 연구 등 여러 분야에서 활발히 논의되고 있다. 프랙탈은 해안선의 구조, 구름의 모습, 산의 모습, 지진의 분포, 고사리 잎의 모습, 은하계의 분포, 달의 분하구, 혈관조직, 뇌조직, 신경조직, 인구동향 등 자연 속에서 쉽게 발견된다.

자연은 멀티프랙탈 구조

일반적인 프랙탈 도형들은 전체를 보아도 그 일부분을 보아도 프랙탈 차원은 똑같다.  코흐곡선 전체의 차원은 약 1.26 이고 그 일부분의 차원도 역시 약 1.26 이다.  이처럼 보통의 프랙탈 도형은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 일치한다.  그것은 생성자가 하나였으므로 당연한 일이다.  그러나 만델브로 집합은 대역적인 차원과 국소적인 차원이 다르다.  국소적으로 1.5 차원인 것들을 모아서 만들 전체의 차원은 1.3 이 되는 것이다.  이러한 프랙탈을 멀티프랙탈이라고 한다.  자연의 형태는 대부분 이러한 멀티 프랙탈 구조를 가지고 있다.

번개의 전파는 습도, 기압, 온도, 이온화의 경향 등 여러 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 결정되기 때문에 일직선이 아니고 구불구블 진행하며 가지치기를 한다.  그 모습은 불규칙하지만 전체와 가지의 비슷한 구조를 하고 있다.

강은 프랙탈 적이다.  큰 강줄기나 그 지류는 서로 비슷한 분기상태를 하고 있다.  한강의 일부 지류를 큰 강줄기와 비교하면 금방 닯음의 관계을 알 수 있다.

구름의 모양은 다양하지만 공통적으로 통게적인 프랙탈 구조를 갖는다. 뭉게구름도 마찬가리로 프랙탈의 입장에서 볼 수 있으며 실제로 그 차원은 대략 1.35 정도가 된다.  

뇌에는 커달란 주름을 자세히 들여다 보면 다시 더 작은 주름이 계속되어 간다.  뇌가 프랙탈 구조를 갖는 이유는 좁은 공간안에 되도록 많은 뇌세포를 배치하기 위해서이다.  뇌의 구조는 2.72~2.79의 차원을 갖는다.

주가의 그래프를 하루 단위 또는 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화한다.  이것은 시간을 확대 또는 축소해 보아도 변화의 상태가 같다는 것인데 이것은 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙탈 적임을 의미한다.  하루동안의 주가 변동이 1개월 후의 주가 변동과 동계적으로 닯은 꼴이라는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼이다 어려운 일임을 똣한다.

밤하늘 에 있는 별들의 수는 거의 무한대에 가깝다.  다라서 밤하늘은 대낮보다 밝아야 한다.  그런대 왜 밤하늘은 칠흙처럼 어두운가?  이문제가 바로 '올버스의 역설' 이다. 그 해답은 별의 분포가 프랙탈 구조이기 때문이다.  별군은 여기저기 산재되어 있고 그 별군을 확대해 보면 그와 유사한 구조로 별군이 나타난다.  그리고 확대를 계속하여도 그 유사구조는 한없이 나타난다.

프랙탈의 특징
 

   프랙탈은 자기 유사성과 소수 차원이라는 두 가지의 큰 특징을 갖는다.
  

1) 자기 유사성 : 어떤 도형의 부분이 전체의 도형과 같은 성질을 말한다. 즉, 도형의 일부를 확대하면 다시 전체의 모습이 되는 성질이다. 나무가지나 구름의 모습, 해안선 등 우리 주변에서 자기 유사성을 갖는 것을 쉽게 관찰할 수 있다.즉 나무가지의 일부는 전체 나무가지와 유사하고, 일부 해안선은 전체 해안선의 모습과 유사하다. 꽃양배추라고 불리는 컬리플라워의 작은 부분을 확대하고 다시 작은 부분을 확대해 가면서 전체와 비교해 보면 모양이 유사함을 알 수 있다. 흔히 수학에서 도형이 닮았다고 하는 것은 크기는 다르더라도 모양이 같을 때를 말한다. 프랙탈 도형은 아래 그림과 같이 각 단계 도형의 일부분이 바로 전 단계의 도형과 유사하다. 단계가 커지게 될수록 도형의 부분과 전체가 더욱 닮아간다. 아래 그림은 코흐 곡선과 시어핀스키 삼각형의 구성과정을 보이는 것으로 이러한 과정이 무한히 반복되었을 때 코흐 곡선과 시어핀스키 삼각형이 된다.

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  2) 소수차원 : 유클리드 기하의 차원에서는 점은 0차원, 직선은 1차원, 평면은 2차원, 공간은 3차원이다. 현재 우리는 3차원에 살고 있다고 말하며, 또한 시간을 넘나드는 4차원의 세계를 그려보기도 한다. 그렇다면 면을 가득 채우는 선은 1차원인가 아니면 2차원인가? 또는 공과 같이 구겨진 종이는 평면인 2차원인가 아니면 3차원인가? 이러한 질문에 대하여 유클리드 기하는 불규칙한 모습의 본질을 나타낼 수 없기 때문에 답하기 어렵다. 프랙탈 기하에서는 위의 질문에 대하여 면을 가득 채우는 선은 선이 채워진 정도에 따라 1과 2사이의 소수로, 공과 같이 구겨진 종이는 구겨진 정도에 따라 2와 3사이의 소수로 그 차원을 나타낼 수 있다. 이와 같이 소수 차원은 거칠은 정도, 불규칙의 정도, 공간을 채우는 정도까지도 나타낼 수 있는 측도이다. 그리스 유클리드 이래 2천년 이상이나 차원의 개념은 거의 변화가 없었으나 19세기말 칸토르로 인하여 차원 개념의 연구는 새롭게 진행된 것이다. 프랙탈의 차원을 계산하는 방법은 자기 유사성 차원, 상자 차원 등 여러 가지 방법이 있다. 이때의 프랙탈 차원은 기존 차원을 부정하는 개념이 아니라 기존 차원의 의미를 확장시키는 것으로 보아야 한다. 유클리드 도형을 프랙탈 차원으로 계산하면 유클리드 기하에서와 같은 차원을 같게 되며, 프랙탈 차원은 기존 차원을 포괄하고 있다. 프랙탈은 소수 차원으로 특정 도형의 넓이, 부피의 측도 뿐아니라 복잡한 형태의 도형까지도 수학적으로 다룰 수 있게 된 것이다.

출처: http://kin.naver.com/detail/detail.php?d1id=11&dir_id=110203&eid=I6SUrMcIis7O4AJeI69YSh6kHsomMBhv&qb=x8G3osW7IMDMt9A=&pid=f738pwoi5ThssbCr%2BPZsss--506077&sid=SL36VbvmvUgAAEor7FU