로그 비례배분에 대하여

[박살샘]

 

우선, 답변이 늦어서 쏘리~~~

사실 핑계를 대자면  새 책  작업 땜에 생각을 깊게 해야 하는 여유가 없었거든.

각설하고, 본론으로 들어가자면...

수학 실력이 보통인 학생이 만일 그 질문을 했다면, 별 상관없는 내용이니까, 그냥 무시하라고 했을 거야. 시험 문제에 안 나오거든.

(물론, 수학 실력이 보통인 애들을 무시해서가 아니라는 건 알고 있지? 아주 작은 일 때문에 큰 거가 헷갈리면 안 되기 때문에, 의미없는 내용은 과감히 무시하자가 내 스타일이야. 개념없니에 비례배분 일부러 안 쓴 이유도 여기에 있지.)

지금의 교육환경은 입시에 모든 초점이 맞추어져 있지만, 당연하다는 거, 그냥 외우라는 거에 대해서 한번쯤 고민하는 건 아주 좋은 태도라고 본다.

사실, 난 정석을 갖고 있지 않거든. 보지도 않고. 왜 인지는 알아서들 판단해.

오늘 교보문고에 가서 정석도 보고, 다른 책도 보고, 대학 수학책도 보고...

결론은 별로 해 줄 얘기가 없다는 거야. 그 내용에 대해서 언급한 책이 없어.

그래서 나의 생각을 쭈욱 쓰기로 했다.

모든 학문이 그러하듯이 수학도 마찬가지로 실생활과 연관이 되어 있어. 때문에 실생활의 필요에 의해 생기기도 하고, 없어지기도 하겠지.

초딩때를 생각해 보자. 원의 넓이를 구하는 법을 알게 되었어.

어떻게? 반지름×반지름×3.14 근데, 이게 정확한 값일까? 아니지? 3.14는 작은 오차를 무시한 근사값이기 때문이야. 3.141592...가 정확한 값이지.

그런데, 왜 굳이 정확하지 않은 3.14를 쓸까? 그건 3.14로 계산해도 실생활에서는 거의 차이가 없기 때문이야. 또한, 원의 넓이를 숫자화함으로써 대충 그 크기나 양을 가늠할 수 있게 된 거지.

중딩때로 넘어가 보자. 3.14는 부정확한 값이라는 걸 알기에 정확한 값인 π를 쓰게 돼. 대충 원의 넓이를 알게 되었으니까, 이제는 좀 더 정확한 값으로 나타내자는 것이지.

이런 근사값을 쓰는 대표적인 게 뭐가 있을까? 가 있지? =1.414 역시 근사값이잖아. 근데, 대충 1.4구나 라고만 알고 있어도 아무 지장이 없어.

고딩때로 넘어가 보자. 고딩 때 처음 배우는 근사값이 바로 로그야. 비례배분 역시 근사값으로 계산하는 것이고, 너가 질문한 게 바로 이 내용이야. 근데, 비례배분 전에 로그 역시 근사값이야. log2=0.3010이라고 주어지지만, 역시 근사값이지? 왜, 근사값을 쓸까? 요즘 말로 아~~무 차이가 없기 때문이야.

그러면, 비례배분의 원리에 대해서 잠깐 생각해 보자.

log2=x라고 하면, log8=4x라고 할 수 있을까? 곧, 8은 2의 4배이므로, 로그값도 4배가 된다고 할 수 있을까? 할 수 없지. 그런데, 아주 작은 숫자이면, 이게 거의 일치한다는 게 비례배분의 핵심이야.

를 예로 들자. (정석에 잠깐 언급되어 있더구만.)

는 의 몇 배일까? 64가 2의 32배이니까 도 의 32배일까? 아니지?

=8이므로, 의 4배, 약 5.6배가 돼.

이 내용을 정리해 보자.

는 의 32배가 아니라 약 5.6배

는 의 16배가 아니라 4배

은 의 8배가 아니라 약 2.8배

은 의 4배가 아니라 2배

는 의 2배가 아니라 약 1.4배

이처럼 숫자가 점점 작아지면, 루트 안에 있는 배수의 크기와 루트값의 배수의 크기가 점점 근접한다는 걸 알 수가 있어.

이와 같이 x의 변화가 함수의 변화와 거의 일치한다는 것의 한 예가 비례배분인 거야.

그렇다면, 왜 굳이 비례배분을 교과서도 언급하는 것일까?

여기가 중요해.

소수 둘째 자리까지만, 구해도 되는데, 왜 굳이 시험에도 안 나오는 소수 셋째 자리까지 비례배분을 통해서 구하려고 하는 것일까?

이건 내 생각이야.

곡선을 직선으로 만들고 싶은 거야. 어떤 수학 공식도 곡선으로는 그 값을 숫자화시킬 수가 없어. 넓이, 길이. 모두...

하지만, 우리의 수학에 대한 욕구와 호기심은 그걸 용납하지 않지. 최대한 근접한 값이라도 구하고 싶은 거야.

비례배분도 그렇고, 곡선을 직선화시켜서 값을 구하겠다는 거야.

그러면, 이건 왜 필요할까? 수학의 정말 중요한 분야인 적분을 위해서야. 적분은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 부피를 구할 수 있어. 그런데, 그 원리는 곡선을 무수히 작은 직선의 연결로 보는 거야. 물론, 오차는 있겠지만, 그 오차는 거의 무시할 정도라는 거지.

근데, 이거 역시 우리에게는 이해가 안 가는 부분일 수 있어. 곡선을 아무리 작게 나눈다고 해도 그게 직선이 될 수 있을까...

이 개념을 살짝 보여줘서 이해시키려고 한 게 아닐까라는 생각을 해.

내가 말하고 싶은 거의 핵심은 바로 이거야. 곡선을 무수히 많은 직선의 연결로 본다는 걸 미리 알려 주기 위한 거라는 게 내 생각이야. 그래야 정말 중요한 내용인 적분을 공부할 때, 덜 고민할 거라는 뜻에서.

너의 글을 보고, 그러면 리미트로 나타내 볼까? 고민했는데, 별로 모양이 이쁘지가 않더구만... 리미트를 사용해서 좀 더 정확한 표현으로 나타낼 수도 있지만, 그게 고딩 과정에서는 의미가 없다는 것이지. 초딩 때, 파이 대신 3.14를 쓴 것처럼...

너는 좀 더 정확한 표현이 되어야 한다는 게 질문의 핵심이었던 거 같아. 근데, 그거에 대한 건 정말 해 줄 말이 없어서... 그건 너도 알거라 믿는다. 그래서 나는 접근 방향을 왜 언급했을까로 맞췄다.

난 수학과를 나오지 않아서 또다른 어떤 의미가 있는 지는 잘 모르겠어. 그냥 내 생각을 얘기했다.

너의 질문을 통해서 고등교육에서 강조하려는 것 중의 하나가 곡선의 직선화일 거라는 좋은 교훈을 얻었다. 고민하다 더 좋은 내용을 보거나, 생각이 떠오르면, 첨삭하마.

주위 샘들에게도 물어보고 해서, 너가 판단을 하렴... 좋은 질문 고맙고, 책 나오면 연락 줄게. 안녕~~~

[루카스]

감사합니다 쌤 정말 많은 도움이 되네요.