저번에 벡터의 n차원 공간 확장에 대해 배웠는데요,,
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코시 슈바르츠 부등식의 일반형을 증명하는 문제가 나왔습니다.
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(Σxy)^2 =< Σ(x^2) Σ(y^2) (등호조건 생략;)
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뭐 아시다시피, 이것은 내적을 이용해서 증명합니다. 물론 대수적인 방법도 있지만...
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즉, a . b = lal lbl cos(t)인데 lcos(t)l=<1이므로
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a . b =< lal lbl
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양변 제곱하면 증명 끝.
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예를들어 코시 슈바르츠 부등식을 증명해주라고 누가 물어왔다 칩시다.
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그때 과연 저런 방법을 쓸수 있을것인가에 대한 의문이 들었습니다...;
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왜냐하면 과연 대수적 문제를 저렇게 풀어도 되는것인가(???-_ㅠ 내가 각의 삼등분선 작도를 증명했다는 최모씨와 같은 것을 이해못할줄이야......)
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여기서 따져본게...
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n차원에서 두 벡터의 내적을 정의할 수 있다.
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(대수적 연산일 뿐이니까! a.b =a1b1+a2b2+a3b3+....+anbn)
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우선, 우리가 직관적으로(흠........) 이해가 가능한 3차원공간 상에서는 벡터의 크기를 정의할 수 있고 두 벡터의 사잇각이라는 것을 이야기할 수 있다.
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--->>>>그럼 여기서, n차원 공간상에서 직관적 이해가 어려운것??
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일단, 벡터가 선분이다?
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벡터에 크기가 있다??
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벡터의 사잇각을 생각할 수 있다???
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a, b, a-b가 삼각형을 이룰 수 있다?
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n차원 공간이 시각적으로 보이지도 않고 이해하기도 애매한 점이 있기때문에... 위와 같은것들이 과연 정말 옳은가?? 에 대한 의문이 생기고요..
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어쨌든 위의 문제로 a . b = lal lbl cos(t) 를 제2코사인법칙을 통해 증명하기가 애매하다는게 ... 제 생각입니다. 만약 이게 증명되지 않는다면 내적에는 아무런 의미가 없겠죠.
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교수님은 이 확장을 가르쳐주실 때 자연스러운 확장이라는 용어를 사용했는데요...(일단 크기의 정의부터;;) 이것이 엄밀하게 논리적인가?
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그러니까... 제 생각엔 이 n차원 공간으로의 확장이 대수적 공리와 '완전히 통하게' 되었냐는 것입니다.
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기초적인 정의 공리 같은 밑바닥부터 따져보지 않았지만 어쨌든 3차원공간에서 대수적 공리와 기하학적 공리가 서로 통한다고 생각하는데, 일단 직관적으로도 그러하고 ; 뭔가 이에대한 정리가 있다는 생각이 든다는??? (휴 제가 무슨말을 하는지 저도 잘 ㅠㅠㅠ)
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ㅠㅠㅠㅠ
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그러니까 예를들어서...
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코시 슈바르츠 부등식을 증명하는데, 자연스러운 확장이라는 용어를 빙자하여,, n=2,3이정도에서만 코시 슈바르츠 부등식을 대수적으로 증명한 후,
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정의. (Σxy)^2 =< Σ(x^2) Σ(y^2)이다.
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라고 자연스럽게 정의를 하고, ""그러므로"" 코시 슈바르츠 부등식은 증명되었다!라고 말하는 느낌이 들어요...
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개념을 상실한거 같아요 ㅠ 설명좀 해주세요~
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뭐가 문제인지는 정확하게 모르겠는데, n차원에서 두 벡터 사이의 사잇각이 가장 덜 직관적으로 보이겠네요. 내적은 각 성분끼리를 곱해서 더한다는 아주 자연스런 개념인데 말이죠. 함수공간에서 내적을 저런 개념을 이용해서 정의하기도 하구요. 뭐가 답인지야 잘 모르겠지만, 제가 보기에는 n차원에서의 내적은 성분끼리의 곱의 합으로 정의하고 수학적 귀납법 등을 이용해서 n차원 공간에서의 코시슈바르트 정리를 증명하는게 자연스럽겠네요. 사잇각은 내적을 저런 식으로 정의하면 그걸 이용해서 정의할 수 있는 문제겠구요.
n 차원 공간에서 사잇각 개념 cos(theta) 는 코시-슈와르츠 부등식으로 부터 나옵니다. 즉 ,<a,b> ≤ |a|||b| 이므로, <a,b>/|a||b|≤ 1 입니다. <a,b>/|a||b| 이 1보다 작다는 특성때문에 적당한 cos(theta) 가 존재할거란 아이디어인거죠. 3차원,2차원일 땐 진짜 사잇각이 되구요. 그러니까 사잇각을 먼저 정의해서 코시슈바르츠를 증명하면 안되죠.
사잇각을 정의해서 코시 부등식을 정의하려면 결국 cos(theta)<=1 임을 증명해야 하는건데, n차원에서 저걸 증명하는게 가능한가요? 3차원까지에서야 눈에 보이는 각이다보니 가능한데, 일반적인 n차원에서도 그렇게 됨을 보이는게 가능할지 의문이네요. 그런 이유때문에 결국 코시 부등식을 증명해놓고 나서 그걸 이용해서 사잇각을 정의하고 cos(theta)<=1임을 써먹을 수 있는거겠죠.
뭐 사람마다 관점이 다를 수 있지만, 저는 개인적으로 cos theta = <a. b>/|a||b|를 cosine의 정의로 봅니다. 이 관점에서라면 cos <= 1이라는 것은 Cauchy-Schwarz 정리의 결과죠. 자연스러운 확장이란 건 결과론적인 얘기구요. 무턱대고 확장된다는 것은 이상하지요.
오호 그렇군요!! 그럼 교수님이 잘못 설명한거 같네요 ^^ㅋㅋㅋ 그런데 약간 의문인건, 단무깡님께서 말씀하신 "3차원,2차원일땐 진짜 사잇각이 되구요"하구 푸른하늘님께서 말씀하신 "3차원까지에서야 눈에 보이는 각이다보니 가능한데,"에서... ;; 우리가 수학적 직관(?)으로 각의 존재 여부를 확인하는게 과연 몇차원까지일까요... 2,3차원에서는 코사인을 따로 정의하고, n(>3)차원에서는 코시슈발츠로 코사인을 정의해야 하는건가요?? 아니면 아예 클라인님처럼 2,3차원부터 코시슈발츠로 코사인을 정의하는건지... 그러면 거기서 theta란 과연 어떤식으로 되어야하는가... 전체적 흐름이 딱 뚫리게 보이질 않네요 이러면 찜찜한데 ㅠ
마치 로그함수를 1/x의 적분으로 정의하는 거랑 비슷한겁니다. 로그함수를 쉬운 방식으로 지수함수의 역함수로 정의해버리면 유리수 영역에서 정의하는건 자연스럽지만, 실수에서 정의하기 위해 결국에 일반적으로 정의하기 위해 적분을 도입하는 겁니다. 그리고 나면 유리수에서도 자연스레 정의되지요. n차원 공간에서의 각도 마찬가지입니다. 3차원까지는 그냥 해도 자연스러운데, 그 이상 가려면 코시 부등식을 동원해야 하고, 그렇게 하면 2, 3차원에서도 자연스럽게 사잇각이 정의되지요.
^^..괜찮은 질문이네염...다른 분들..좋은 의견입니다..님의 그 의문은 당연한 거지만 정의를 정의로 받아들이시면 교수님 설명대로 자연스러워집니다..추상적인 뭔가를 분명히 하자는것이 수학하는 사람의 욕심이겠지만 시간이 지날 수록 많이 수학을 접할 수록 그 의문이나 욕심은 사라집니다..
첫댓글 2차원에서 증명할때 기하학적으로 편하게 증명해서 생긴 의문점인거 같은데요. 보통 코시슈바르츠증명은 차원에 관계없이 내적의 기본 성질만으로 증명합니다. 그것을 이용하면 차원이 무엇이든간에 일반적인 얘기를 할수 있는것지요^^
그리고 제가 말한 내적의 성질이란, COS이 들어가는 식을 말하는게 아니고 순수하게 내적의 정의에서 나타나는 식만을 의미합니다.
대수적 증명을 의미하시는 건가요?? 어떻게 증명한다는건지.../// 어쨋든 그러면 cos을 이용한 증명은 엄밀한 증명이 아니다고 볼 수 있는건지...
뭐가 문제인지는 정확하게 모르겠는데, n차원에서 두 벡터 사이의 사잇각이 가장 덜 직관적으로 보이겠네요. 내적은 각 성분끼리를 곱해서 더한다는 아주 자연스런 개념인데 말이죠. 함수공간에서 내적을 저런 개념을 이용해서 정의하기도 하구요. 뭐가 답인지야 잘 모르겠지만, 제가 보기에는 n차원에서의 내적은 성분끼리의 곱의 합으로 정의하고 수학적 귀납법 등을 이용해서 n차원 공간에서의 코시슈바르트 정리를 증명하는게 자연스럽겠네요. 사잇각은 내적을 저런 식으로 정의하면 그걸 이용해서 정의할 수 있는 문제겠구요.
그러니까 사잇각을 먼저 '정의'해서 내적 성질을 밝히고 코시슈바르츠의 일반형을 증명하는것이 가능한건지..??// 설명을 잘 못해 죄송합니다 ㅠ
n 차원 공간에서 사잇각 개념 cos(theta) 는 코시-슈와르츠 부등식으로 부터 나옵니다. 즉 ,<a,b> ≤ |a|||b| 이므로, <a,b>/|a||b|≤ 1 입니다. <a,b>/|a||b| 이 1보다 작다는 특성때문에 적당한 cos(theta) 가 존재할거란 아이디어인거죠. 3차원,2차원일 땐 진짜 사잇각이 되구요. 그러니까 사잇각을 먼저 정의해서 코시슈바르츠를 증명하면 안되죠.
사잇각을 정의해서 코시 부등식을 정의하려면 결국 cos(theta)<=1 임을 증명해야 하는건데, n차원에서 저걸 증명하는게 가능한가요? 3차원까지에서야 눈에 보이는 각이다보니 가능한데, 일반적인 n차원에서도 그렇게 됨을 보이는게 가능할지 의문이네요. 그런 이유때문에 결국 코시 부등식을 증명해놓고 나서 그걸 이용해서 사잇각을 정의하고 cos(theta)<=1임을 써먹을 수 있는거겠죠.
뭐 사람마다 관점이 다를 수 있지만, 저는 개인적으로 cos theta = <a. b>/|a||b|를 cosine의 정의로 봅니다. 이 관점에서라면 cos <= 1이라는 것은 Cauchy-Schwarz 정리의 결과죠. 자연스러운 확장이란 건 결과론적인 얘기구요. 무턱대고 확장된다는 것은 이상하지요.
오호 그렇군요!! 그럼 교수님이 잘못 설명한거 같네요 ^^ㅋㅋㅋ 그런데 약간 의문인건, 단무깡님께서 말씀하신 "3차원,2차원일땐 진짜 사잇각이 되구요"하구 푸른하늘님께서 말씀하신 "3차원까지에서야 눈에 보이는 각이다보니 가능한데,"에서... ;; 우리가 수학적 직관(?)으로 각의 존재 여부를 확인하는게 과연 몇차원까지일까요... 2,3차원에서는 코사인을 따로 정의하고, n(>3)차원에서는 코시슈발츠로 코사인을 정의해야 하는건가요?? 아니면 아예 클라인님처럼 2,3차원부터 코시슈발츠로 코사인을 정의하는건지... 그러면 거기서 theta란 과연 어떤식으로 되어야하는가... 전체적 흐름이 딱 뚫리게 보이질 않네요 이러면 찜찜한데 ㅠ
마치 로그함수를 1/x의 적분으로 정의하는 거랑 비슷한겁니다. 로그함수를 쉬운 방식으로 지수함수의 역함수로 정의해버리면 유리수 영역에서 정의하는건 자연스럽지만, 실수에서 정의하기 위해 결국에 일반적으로 정의하기 위해 적분을 도입하는 겁니다. 그리고 나면 유리수에서도 자연스레 정의되지요. n차원 공간에서의 각도 마찬가지입니다. 3차원까지는 그냥 해도 자연스러운데, 그 이상 가려면 코시 부등식을 동원해야 하고, 그렇게 하면 2, 3차원에서도 자연스럽게 사잇각이 정의되지요.
그렇게 cos theta를 정의한다면, theta는 어떻게 정의하나요? //그리고 처음부터 그런식으로 정의해서 논리를 전개하는 참고문헌을 알려주시면 감사하겠습니다...
^^..괜찮은 질문이네염...다른 분들..좋은 의견입니다..님의 그 의문은 당연한 거지만 정의를 정의로 받아들이시면 교수님 설명대로 자연스러워집니다..추상적인 뭔가를 분명히 하자는것이 수학하는 사람의 욕심이겠지만 시간이 지날 수록 많이 수학을 접할 수록 그 의문이나 욕심은 사라집니다..
아...중요한 걸 얘기 안했군요..내적의 정의는 어떤 교재에도 같습니다..다른 교재는 그 동치조건을 정의로 택하기 떄문에 그게 그겁니다..그걸로 모든게 자연스러워 집니다..