<P>안녕하세요.</P>
<P>솔직히 질문할 만한 문제는 아니라고 생각하는데요.</P>
<P>궁금해서 그러니깐 답변 주세요.</P>
<P>피보나치 수열시 즉 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3........an=an-1+an-2 ,n=1,2,3...............</P>
<P>이럴때 모든 자연수에서 이 수열이 성립된다는걸 수학적 귀납법으로 보이는 거거든요</P>
<P>(1)n=1일때 당연히 a1=1로써 피보나치 수열이 성립된다.</P>
<P>(2)그럼 만약 n=k일때 이 피보나치 수열이 가능하다고 한다면 n=k+1일때도 성립한다.</P>
<P>따라서 모든 자연수에 대해서 이 수열이 성립한다. </P>
<P>이 과정 모두 이해가 됩니다. 그런데 (2)를 사용하기 위해서 n=k-1,n=k-2................이건 당연히 성립된다고 교수님이 말씀하시고 지나가셨습니다. 다른 분이 질문을 했었지만 대충 넘어가셨거든요.</P>
<P>물론 하나하나 대입해보면 된다고 할수도 있겠지만 n=k일때 성립된다고 가정만 했을뿐인데 그 밑의 자연수로는 다 성립된다고 하니 왜 그런지 수학적으로 명쾌히 알고 싶어서요.</P>
<P> 명쾌한 답변 바랍니다.</P>
<P> </P>
<!-- -->
귀납법의 증명은 우선 정수의 정렬성을 아셔야 하구요. 정수의 정렬성이란 S(공집합이아닌)가 양의 정수의 집합 P의 부분집합이면 S는 최소원 l 을 가진다. S는 P의 부분집합이고 모든 s가S의 원소에 대하여 l=<s인 정수 l이S의원소로 존재한다. 귀납법의 원리는 양의 정수의 집합 P의 부분집합 S에 대하여 다음 주건이 성립하면 S=P이다 1.1은S의 원소이다. 2.n의 S의 원소이면 n+1도 S의 원소이다
증명)P-S=A라 하자 A가 공집합이 아니면 정렬성에 의해 집합 A는 최소원 x를 가진다 그러면 1은 S의 원소이므로 1은 A의 원소가 아니기때문에 x는 1이 아니다. 따라서 x의 정의에 의해 x는A의 원소 x-1은 A의 원소가 아니다 즉 x-1이 S의 원소이므로 조건 2.에 의해 x가 S원소이다. 이것은 모순이므로 A=P-S=공집합이고 S=P이다 이걸 이용하셔서 조건을 조금만 바꾸면 S={n은P의원소ㅣP(n)은 참이다} 라고 하면 조건 1. 1은 S의 원소 2. n이 S의 원소이면 n+1도 S의 원소이다. 에 의하여 S=P이다 그러므로 모둔 양의정수 n에 대하여 P(n)은 참이다
첫댓글 당연한건데염...도미노 세워서 넘어뜨렸잖아요...
귀납법의 증명은 우선 정수의 정렬성을 아셔야 하구요. 정수의 정렬성이란 S(공집합이아닌)가 양의 정수의 집합 P의 부분집합이면 S는 최소원 l 을 가진다. S는 P의 부분집합이고 모든 s가S의 원소에 대하여 l=<s인 정수 l이S의원소로 존재한다. 귀납법의 원리는 양의 정수의 집합 P의 부분집합 S에 대하여 다음 주건이 성립하면 S=P이다 1.1은S의 원소이다. 2.n의 S의 원소이면 n+1도 S의 원소이다
증명)P-S=A라 하자 A가 공집합이 아니면 정렬성에 의해 집합 A는 최소원 x를 가진다 그러면 1은 S의 원소이므로 1은 A의 원소가 아니기때문에 x는 1이 아니다. 따라서 x의 정의에 의해 x는A의 원소 x-1은 A의 원소가 아니다 즉 x-1이 S의 원소이므로 조건 2.에 의해 x가 S원소이다. 이것은 모순이므로 A=P-S=공집합이고 S=P이다 이걸 이용하셔서 조건을 조금만 바꾸면 S={n은P의원소ㅣP(n)은 참이다} 라고 하면 조건 1. 1은 S의 원소 2. n이 S의 원소이면 n+1도 S의 원소이다. 에 의하여 S=P이다 그러므로 모둔 양의정수 n에 대하여 P(n)은 참이다
어떻게 되는지 대충 알겠습니다. 1학기때 집합론에서 배운기억이 나네요.. 역시 수학은 한분야에서만 머물면 안되는군요..감사합니다~