Re:삼각법의 아버지, 기원전 150년 경의 히파르코스

[폭풍속으로]

[답변1] 삼각함수의역사는 처음에 누가 발견을 했는지는 아무도 모릅니다 (며느리도).
처음에는 옛날사람들이 토지를 관리하다, 또는 항해를 하다가 얻은 지식들이 하나씩 쌓여 오늘날의 내용으로 발전이 된것입니다.

물론 그때는 함수의 개념이 없어서 우리가 중학교때 배우는 것처럼 순수하게 직각삼각형으로만 설명을 하였죠.

그러나 수학이 발전함에따라 함수의 개념이 중요해지고 좌표평면으로 수학의 내용을 표현하다보니 삼각형(예각에 대한)을 이용한 sin, cos뿐만 아니라 직각보다 큰 각에대해서도 sin, cos, tan 등 을 생각하게된것입니다.

그러나 기본적인 개념은 항상 직각삼각형이죠. 좌표평면에서 각이 얼마이든지간에 각의 동경이 걸쳐있는 사분면에 삼각형을 그려서 그 삼각비의 값을 절대값으로 하고 동경위의 점 (x,y) 의 각 좌표 x, y의 부호에따라 삼각비의 부호를 결정하잖아요.

이렇게 하여 임의의 각에(360도보다 큰 각에도)대한 삼각비의 값을 결정할수 있고 그 값들을 대응시킨 삼각함수가 생기는 것이죠.

그리고 이 함수들의 그래프를 그리고 나니 우연인지 아닌지.... 여러가지 분야에 응용이 많이 되더라는 것입니다.

오히려 수학자들보다도 물리나 공학쪽에....
예를들어 음파를 측정하는것도 삼각함수로 나타낼수가 있죠,
바다에서 파도가 밀려오는것도 (실제로는 오차가 크지만...)삼각함수로 표현이되죠....
이래저래 처음부터 위의 것들을 연구하기 위해서 삼각함수를 만든것은 아니지만 만들어 놓고 보니까 쓸모가 많더라는 것입니다.

[답변2] 일단 삼각비가 등장하된 배경에 관해서는 특별히 누가 '이제부터 삼각비는 이런 것이고 이러 이러하게 공부하자!' 라고 주장해서 나온 것은 아닌것 같습니다.

삼각비의 정의에서 보면 단위원의 중심과 원주상의 두점을 이어 만든 부채꼴에서 부채꼴의 호의 길이는 중심각에 대해 비례하므로 어떤 각에 대해서든지 호의 길이를 잴 수 있습니다.

이에 관해서는 이미 배우셨을 것이라 생각합니다. 그런데 이 부채꼴의 현의 길이는 각과 비례하지 않아서 일일이 각에 대한 현의 길이를 구해야 하는 부담이 있습니다.

그래서 주어진 각에 대한 부채꼴의 현의 길이의 절반(사인)을 표로 작성하는 일이 진짜 일인데 이 표를 최초로 작성한 사람은 기원전 150년전 고대 아시아 지역인 미노아(Minor)의 니케아(Nicaea)에서 활동했던 히파르코스(Hipparchus)입니다.

그를 가리켜 '삼각법의 아버지'라고 부르게 된 것도 이때문이 아닌가 합니다.

지금은 이 표가 사라지고 없다고 합니다.

모든 천문학적인 계산의 정확도는 이 표(사인표)가 얼마나 정확한 가에 달려 있습니다. 먼 별의 거리를 재려면 삼각비를 잘 이용해야 합니다.

그리고 정확한 사인표의 작성은 바로 각의 삼등분 문제와 연관되어 있습니다.

또한 알콰라즈미는 사인표를 작성한 최초의 아라비아 수학자였습니다. 아래 어떤 분이 각의 삼등분 문제가 해결되었다고 하셨는데 이것은 작도로서 해결된 것이 아니라 이런 사인표 같은 것에 의해 도움을 받아 해결했다는 뜻일 것입니다.

알콰라즈미 직후에 하바시 알하시브가 탄젠트를 발명했습니다.

하바시 알하시브는 '계산하는 사람'이란 뜻입니다. 탄젠트는 물체의 높이를 측정하기 위한 아주 유용한 도구입니다.

탄젠트를 이용해서 피라미드의 높이를 바로 측정할 수 있지만 최초로 피라미드의 높이를 측정한 탈레스는 단지 삼각형의 닮음에 의존해 풀었습니다.

아래 그림을 보시면 삼각비중 중요한 사인,코사인, 탄젠트를 부채꼴과 연관지어 그려보았습니다.

톨레미(Ptolemy)는 기원전 150년대 사람인데 지금은 고등학교에서 배우는 삼각함수의 덧셈정리라는 것을 증명했습니다.
sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny
cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny

지금부터 모든 각은 단위가 "도"입니다. 그당시 계산에 의해서 sin15, cos15, sin18, cos18 의 값을 삼각형이나 오각형을 관찰해서 얻을 수 있었는데 톨레미는 위의 공식을 이용해서 sin3, cos3, sin1.5, cos1.5, sin0.75, cos0.75 의 값을 계산해 내게 됩니다.

그러나 sin1은 계산해 낼수 없었는데 그는 기하적인 추측을 통해 그 값이 sin0.75*(4/3)이라는 것을 알아내었습니다.

sin1의 정확한 값은 역시 알콰라즈미에 희해 계산되었는데 다음 방정식의 근이 바로 sin1라는 사실로 부터 알 수 있었습니다.
-4x3+3x=sin3
이 값을 소수값으로 써보면 0.0174524064373... 입니다.
대충 삼각비에 초점을 맞추어 역사적인 사실들을 나열해 보았습니다.

그림을 그렸는데 이상하게 4분의 1원이 안나오네요.

탄젠트변의 제일 밑에점과 사인변의 제일 위의 점, 코탄젠트의 제일 왼쪽의 점을 지나는 원의 일부를 그려보세요...///

출처 ; 수학사랑 ; http://www.mathlove.org

[얼버리버리]

역시 수학사랑~!!!

[폭풍속으로]

수학사랑에는 엄청나게 다양하고 많은 자료가 있습니다. 그 중에서 대수학에 관련된 부분만을 엄선해서 퍼 올려고 하는데 좀처럼 시간이 나질 않네요. 개학까지 해버려서 더 어려울 것 같구요... ㅡ.ㅡ; 아이들 원서나 마무리되면 그때 한번 시도를 해봐야 할 듯...