대학에 와서 여러 입자가 뭉쳐있는 크기가 있는 물체의 운동을 다루게 됬습니다. 아무튼 이게 너무 어렵습니다. 우선 질량 중심을 구하는 식이~
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(예를 들어) 2개의 입자 m1과 m2가 좌표계에서 벡터r1과 벡터r2에 있을때, 물론 2입자 모두 아무힘도 안받고 있는 상태죠.
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이때 두 입자의 질량중심위치벡터는 (m1r1+m2r2)/(m1+m2) 라고 합니다.
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왜 이렇게 정의했는지 모르겠습니다... 아무튼 이런식으로 하면 물체들의 질량의 중심이라고 생각되는 위치가 딱 나오긴 합니다.
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또 다른 의문점은, 질량중심 구하는 것을 저 위의 식대로 한다고 했을때입니다. 교수님께서 말씀해주신거구요.
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어떤 물체의 각 입자에 각각의 힘들이 작용할때 그 물체의 질량중심점만의 운동은, 우선 그 작용점들이 다른 힘들의 작용점을 질량중심점으로 옮긴후 그 힘들을 다 더 합니다. 그럼 하나의 힘벡터가 나오게 되는데, 그것으로 질량중심의 가속도를 구합니다. 질량중심의 질량은 그 입자들의 총합입니다.
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즉, F(작용점이 다르지만 그냥 합친 힘)=m(입자질량총합)a(질량중심의 가속도)
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이렇게 된다고 합니다. 어떻게 이렇게 될수 있나가 매우매우 궁금합니다. 아주 미치겠습니다..ㅋ;;
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이것에 대한 예로 교수님께서 막대기 위끝 아래끝에 같은 크기의 힘을
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계속 막대기에 수직되게 준다면 막대기는 질량중심을 회전중심으로 빙빙돌겠죠? 물론 질량중심만 본다면 위의 F=ma 의 의하여 가속도는 0이 되고 뭔가 딱딱 들어 맞는 것 같습니다.
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여기서 의문이 생긴것이 만약 막대기에 힘을
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이렇게만 준다면 막대기의 운동은 어떠할까요? 각 입자의 힘은 막대기 위끝의 힘밖에 없고 교수님 말씀대로 그힘을 질량중심으로 옮기면 질량중심은 어떤 가속도를 갖게됩니다. 그렇게 되면 막대기의 운동은
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이렇게 힘을 줄때와 같은 상황이 발생합니다. 그러므로 첨에 교수님께서 말하신 각입자에 작용하는 모든 힘을 질량중심점으로 옮겨 그점의 운동이 어떠한가 알수 있다는 게 틀린것 같습니다. 아무튼 질량중심 너무 어렵습니다. 위에 왜 그러한가를 모르는 게 2개있구요 마지막으로 교수님 말씀틀린것 같은거 질문드립니다!
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첫댓글아래의 두 예제에 대한 답변은 다음과 같습니다. 위의 경우 막대는 토크를 받아 회전하기 때문에 힘의 방향역시 회전함에 따라서 바뀌게 됩니다.(막대에 수직한 힘이라고 하셨으니 막대가 회전하면 힘의 방향이 바뀌는 것입니다.) 하지만 두 번째 그림에서는 힘은 오른쪽으로만 작용하기 때문에 두 경우 질량중심 운동이
다릅니다. 그리고 항상 질량중심을 놓고서 생각할 때에, 작용하는 힘의 크기는 같더라도 작용하는 토크가 다른 경우는 얼마든지 있습니다. 토크의 작용으로 물체의 geometry와 orientation이 변할 경우 작용하는 힘의 크기와 방향을 다시 고려해 주셔야 할 것입니다.
말씀 정말 감사합니다. 정말 윗분 말씀대로 아래두예제중 윗것은 힘의 방향이 계속 변하므로 그 변하는 힘을 질량중심에 넣으면 질량중심점의 운동또한 맨아래 막대기의 것과 달라질것이 확실하거군요. 이제 질량중심을 사용하는 방법은 어느정도 알게 되었습니다. 교수님 말씀도 틀리지 않았다는 것두요.
(일단 말에 어패가 있겠지만) 막대의 질량이 한곳(질량중심)에만 있다고 했을 때도 첫번째 두번째 경우에 저런 각도로 힘을 줄수 있다고 생각해 봤을 때(물론 현실적으로 불가능하겠죠.....다만 생각으로....) 대강 실제 물체가 움직이는 것 하고 질량중심이 움직이는 것 하고 비슷할듯 해요....
jys34님 말씀이 제 책에 비슷하게 나와있습니다. 그런데 전개과정이 반대입니다. 입자계안에 많은 입자들이 있고 그 입자에 각각 힘이 제멋대로 작용하고 있습니다. F1, F2, F3.....이 많은 힘들을 합칩니다.(갑자기 합침!) 그래서 ΣF=Σma 이것이고 Σma여기서 a를 두번 미분해서 d²r/dt² 이렇게 바꾼후~
ΣF= Σma = Σ(d²/dt²(mr)) = d²/dt²(Σmr) 이렇게 바꿉니다. 물론 시그마 1부터 n까지 구요. m,a,r같은거 다 m1, m2.... m n까지 이런식으로 되있습니다. 여기서 또 갑자기 뭔가를 합니다. Σmr를 입자계 전체질량 M으로 나눕니다. 그러면 어떤 위치벡터가 나오는데 그걸 질량중심이라고 갑자기 그럽니다.
저는 질량중심의 정의 '힘을 가했을 때 병진운동만 하게 되는 점' 을 고려하여 평균의 개념을 생각해보았습니다. 전체 질량에 대하여 입자의 질량이 m/M으로 표현됩니다. 특수문자 사용을 잘 못해서 한글로 쓰겠습니다. <시그마>m/M=1 이 됩니다. 질량 중심은 위치를 나타내는 벡터입니다.
각 입자에 작용하는 힘들을 종합하여 질량중심을 찾아야 합니다. m1,m2로 표현되는 각각 다른 m에 대하여 m/M에 가속도의 이차미분을 곱해주어 모두 더하면 합력을 전체 질량으로 나눈 꼴이 되고, 이것은 독립시행의 '확률'이라고 볼 수 있는 m/M에 '확률변수'인 힘,가속도의 이차미분을 곱하여 모두 더한 것입니다.
제가 표현능력이 부족해서..제 생각이 잘 전달되었는지 모르겠습니다. 증명이나 정의를 유도하는 과정에서 식을 어떻게 변형하는 행위의 '이유'는 그저 어떻게 해서든지 원하는 결과를 얻기 위해서라고 생각합니다. 이 경우에도 질량 중심이라는 편리한 point를 사용하기 위해서 그 개념을 정의하고
첫댓글 아래의 두 예제에 대한 답변은 다음과 같습니다. 위의 경우 막대는 토크를 받아 회전하기 때문에 힘의 방향역시 회전함에 따라서 바뀌게 됩니다.(막대에 수직한 힘이라고 하셨으니 막대가 회전하면 힘의 방향이 바뀌는 것입니다.) 하지만 두 번째 그림에서는 힘은 오른쪽으로만 작용하기 때문에 두 경우 질량중심 운동이
다릅니다. 그리고 항상 질량중심을 놓고서 생각할 때에, 작용하는 힘의 크기는 같더라도 작용하는 토크가 다른 경우는 얼마든지 있습니다. 토크의 작용으로 물체의 geometry와 orientation이 변할 경우 작용하는 힘의 크기와 방향을 다시 고려해 주셔야 할 것입니다.
말씀 정말 감사합니다. 정말 윗분 말씀대로 아래두예제중 윗것은 힘의 방향이 계속 변하므로 그 변하는 힘을 질량중심에 넣으면 질량중심점의 운동또한 맨아래 막대기의 것과 달라질것이 확실하거군요. 이제 질량중심을 사용하는 방법은 어느정도 알게 되었습니다. 교수님 말씀도 틀리지 않았다는 것두요.
그래도 더 궁금한 저의 글 첫부분의 의문점에 누가 좀 대답해주세요. 정말 모르겠어요ㅠㅠ 수영하는님!! 생각이라도 좀 써주시면 감사하겠습니다.^^;;
學神 현석이의 曰 : 물체의 무게중심에서 d만큼떨어진곳에 작용하는힘 F에대해 F*d(외적)을 구할수있으므로 토크를적용시킬수있고 그에따라 회전하게되고 그뒤 힘의방향이 계속변함에따라 병진운동을 병행한다.
토크는 회전축이 필요치 않나?? 전에 생각좀 했을때 막대 한쪽끝에만 힘을 줄때 막대가 회전한다는 걸 어떻게 증명할까 생각했는데... 토크라...사실 아래 막대기 문제보다 위에 것이 더 궁금한데... 學神한테 빨리~ㅋ
學神 say's 물체가 회전하는데 고정된 회전축이 필요하진않고 단지 질량중심에서부터 d만큼떨어진곳에작용하는힘 F에대해 F*d(외적) 이 존재하기만하면 그게 토크로작용해 회전한대 ㅋㅋ 근데 조금만 회전하고나면 다른변량들의값이 달라져 그순간만 적용할수있다나뭐라나 -.-;; 암튼 회전축이없으니 넘어렵다 -_-;
토크계산은 기준점 하나만 잡아두면 됩니다. 그런데 많은 경우 그 기준점을 회전축으로 잡을 때에 문제 풀기가 수월하지요. (즉 토크의 크기는 기준점을 어디에 잡냐에 따라서 다릅니다.])
ㅎㅎㅎ 질량중심의 정의가 힘을 가했을때 병진운동만 하게되는점 이라나봐
아 진짜?? 진짜 그렇긴한데~~~Oh!! 그럴싸 한데!! 오~ 뭔가 떠오르고 있어!!ㅋ
한 때는 이론 물리를 해보고싶어했던 사람인데.. ㅠ_ㅠ 34님 수식 써놓으신거 보니 왜케 안들어오지.. ㅠ_ㅠ 그냥 푸념이었습니다..;;;
질량 중심(말 그대로 질량의 중심) 이란건 임의의 물체(강체가 맞겠죠^^?)가 있을 때 그 물체의 질량이 한 점에 모여있다고 생각하는 거에요. (고등학교 때 배우던 무게중심을 생각하시면 될듯 해요.. ^^;; ) 새차원님께서 마지막에 놓은 것을 생각해보면요
(일단 말에 어패가 있겠지만) 막대의 질량이 한곳(질량중심)에만 있다고 했을 때도 첫번째 두번째 경우에 저런 각도로 힘을 줄수 있다고 생각해 봤을 때(물론 현실적으로 불가능하겠죠.....다만 생각으로....) 대강 실제 물체가 움직이는 것 하고 질량중심이 움직이는 것 하고 비슷할듯 해요....
답글이 더 헷갈리게 만들었다면.. 흠 흠... 미안해요.... ^^;; 가끔 와서 헛소리만 하다가는 생.물. 이었습니다.. ^^;
jys34님 말씀이 제 책에 비슷하게 나와있습니다. 그런데 전개과정이 반대입니다. 입자계안에 많은 입자들이 있고 그 입자에 각각 힘이 제멋대로 작용하고 있습니다. F1, F2, F3.....이 많은 힘들을 합칩니다.(갑자기 합침!) 그래서 ΣF=Σma 이것이고 Σma여기서 a를 두번 미분해서 d²r/dt² 이렇게 바꾼후~
ΣF= Σma = Σ(d²/dt²(mr)) = d²/dt²(Σmr) 이렇게 바꿉니다. 물론 시그마 1부터 n까지 구요. m,a,r같은거 다 m1, m2.... m n까지 이런식으로 되있습니다. 여기서 또 갑자기 뭔가를 합니다. Σmr를 입자계 전체질량 M으로 나눕니다. 그러면 어떤 위치벡터가 나오는데 그걸 질량중심이라고 갑자기 그럽니다.
즉 질량중심의 위치벡터는 (Σmr)/M 이라 합니다. 제가 도중도중에 갑자기라는 말을 많이 썻는데 그것이야말로 왜 갑자기 그렇게 해냐하는것이 제가 디따 궁금한것입니다~ jys34님 알려주세요!!
저는 질량중심의 정의 '힘을 가했을 때 병진운동만 하게 되는 점' 을 고려하여 평균의 개념을 생각해보았습니다. 전체 질량에 대하여 입자의 질량이 m/M으로 표현됩니다. 특수문자 사용을 잘 못해서 한글로 쓰겠습니다. <시그마>m/M=1 이 됩니다. 질량 중심은 위치를 나타내는 벡터입니다.
각 입자에 작용하는 힘들을 종합하여 질량중심을 찾아야 합니다. m1,m2로 표현되는 각각 다른 m에 대하여 m/M에 가속도의 이차미분을 곱해주어 모두 더하면 합력을 전체 질량으로 나눈 꼴이 되고, 이것은 독립시행의 '확률'이라고 볼 수 있는 m/M에 '확률변수'인 힘,가속도의 이차미분을 곱하여 모두 더한 것입니다.
이러한 개념으로 생각한다면 물체를 구성하는 입자들에의 영향들을 평균하여 질량 중심이라는 한 지점에의 영향으로 볼 수 있도록 하게 됩니다. 물론 질량중심의 차원은 위치이기 때문에 <시그마>mr/M만 남겨놓는다면 질량중심이 되죠.
제가 사용한 '확률'이라는 말은 양자역학에서의 확률과는 무관하며, 수학의 그것과도 딱 맞아떨어지지 않습니다. 그러나 (책 등에서) 질량 중심을 유도하는 과정에 이러한 형식의 논리가 함축되어 있다고 생각해서 비유해서 표현해 본 것입니다.
제가 표현능력이 부족해서..제 생각이 잘 전달되었는지 모르겠습니다. 증명이나 정의를 유도하는 과정에서 식을 어떻게 변형하는 행위의 '이유'는 그저 어떻게 해서든지 원하는 결과를 얻기 위해서라고 생각합니다. 이 경우에도 질량 중심이라는 편리한 point를 사용하기 위해서 그 개념을 정의하고
그 개념을 충족하는 논리전개를 사용하여 수학적으로 유도해 놓은 것이겠죠.