헉... 정규분포 곡선 적분문제...

[좌절~]

적률함수 구하지 않고 바로 적분해서 풀려고 했거든요...

그래서 x-뮤/루트2*시그마 = t 로 놓고 간단히 부분 적분 이용하면

되겠지 하고 풀었는데 절대 안되데요...

그래서 인터넷을 뒤져보니

극좌표계로 치환해서 풀던데...

그냥 부분 적분 쓰면 안되는 이유가 뭘까요...?

그리고 밑에 있는 해설은 인터넷에서 따온 것인데

극좌표계로 치환할 때 dxdy = rdrdθ 라는데 제가 극좌표를

배우긴 배웠는데 기억이 가물가물해서 잘 모르겠어요

적분 잘하시는 분 좀 도와주시면 감사하겠습니다...ㅠ.ㅠ

[표준정규분포 곡선과 x축 사이의 면적은 1이다]

※표준정규분포란, N(m,σ²) 에서 m=0, σ=1 이 되는 경우, 즉 N(0,1)인 경우를 말한다.

(m:평균, σ:표준편차)

정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같이 정의된다.

f(x)=[1/√(2π)·σ]∫_-∞^∞ e^{-(x-m)²/2σ²} dx

표준정규분포의 경우, m=0, σ=1이므로 표준정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

φ(x)=[1/√(2π)]∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx

윗 부분에서 적분부분을 A=∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx  이라고 두자.

A= ∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx =∫_-∞^∞ e^-y²/2 dy 이므로

A² = ∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx ∫_-∞^∞ e^-y²/2 dy 이다.

 ∫_-∞^∞ e^-y²/2 dy 는 상수이므로 다음과 같이 할 수 있다.

A² =∫_-∞^∞  (∫_-∞^∞ e^-y²/2 dy ) e^-x²/2 dx 

     =  ∫_-∞^∞  ∫_-∞^∞ e^-y²/2  e^-x²/2 dydx

     =  ∫_-∞^∞  ∫_-∞^∞ e^{-(x²+y²) /2} dydx

위 이중적분을 적분하기 위해, 직교좌표를 극좌표로 바꾸어보자.

r² =x² + y² , dydx--->rdrdθ 로 바뀌고

적분영역은 반지름 n인 원이 무한대로 커지는 것으로 보면 되므로

A² = lim_n-->∞ ∫₀^2π  ∫₀ⁿ e^-r²/2 rdrdθ

t=r²/2  로 치환하면(치환적분법)   dt=r dr 이 되므로

A² = lim _n-->∞ ∫₀^2π  ∫₀^n²/2 e^-t dtdθ

      =lim _n-->∞ ∫₀^2π  [e^-n²/2 +1] dθ

      =lim _n-->∞  [(e^-n²/2 +1)θ] ₀^2π

      =lim _n-->∞  [(e^-n²/2 +1)2π] = 2π

A=∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx  >0 이므로

∴A=√(2π)

φ(x)=[1/√(2π)] ∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx 이고  A=∫_-∞^∞ e^-x²/2 dx 이므로

φ(x)=[1/√(2π)]A

       =[1/√(2π)]√(2π)

      =1

따라서, 위 명제는 증명되었다]

[수학대통령]

한번 수푸동 와주세요.