첫댓글저도 확실히 말해주는 사람이 없어 약간은 찌뿌듯한 부분입니다. Tv x Tu=0 이라면 u,v 커브는 서로 나란하지요. 그러면 그 나란한 부분에서 (x,y,z) 좌표와 1:1 대응이 되지 않습니다. 만약 Tv x Tu 가 정의되지 않는다면 그것은 평면이 smooth 하지 않고 완전 접혔거나 뚫렸다는 뜻이 아닐런지요. 완전 접힌 부분에선 양쪽 미분계수가 다르므로 미분이 정의 되지 않고 끊기부분에서 역시 미분이 정의 되지 않듯이 말이죠. 예를 들면 |x| 가 0 에서 미분이 정의되지 않고 y=x (단 x>0) 의 x=0 에서 미분이 정의되지 않듯이 말이죠. 누군가 속시원히 답변 해주면 하는 부분입니다.
어떤 (u0, v0)에 대해 Tu x Tv = 0이면 그 부분에서 u,v커브의 접선벡터 Tu, Tv가 나란하지만 커브 자체가 직선형으로 나란한 건 아닌 것 같습니다. 예를들어 x,y좌표상에서 생각해보면 (0,0)근방에서 u커브는 y=x^2, v커브는 y=x^3라 할 때 (0,0) Tu, Tv는 나란하지만 ...일대일대응은 되는것 같습니다만... 제가 잘못이해하는건지...
(1) Tv x Tu 가 그점에서의 접평면의 법선벡터를 줍니다. 법선벡터가 0이아닌것이 접평면이 존재하기위한 필요충분조건이지요. 각점마다 유일한 접평면이 존재하는 조건으로 정칙곡면을 정의한겁니다. (2) 방향도함수를 배우셨겠지만, 임의의 방향의 도함수는 저 두개의 일차결합으로 표시되기때문에, 두개만 가지고 해봐도 충분합니다.
(1)저 정리(?)의 내용이 C1인 매개화 (v,u)를 어떻게 잡든지 간에 그 점에서 법선벡터가 하나(어떤 벡터의 스칼라배)로 나온다는 것 같은데, 0이 될수도 있는거 아닌지? (2) 음.. 생각해보니 '함수에서 각 변수에 대한 편미분이 존재하고 연속이면 미분가능하다'와 관련이 있는것 같은데요... 증명 자료 혹시 가지고계신가요? ㅠ (직접 해주시면 매우 ㄳ)
(1) 접평면이 존재한다고 해도, 매개화를 어떻게 주느냐에 따라서 Tv x Tu가 0일 수 있습니다. 그래서 적절한 매개화를 찾아야 하는 거고, 그러한 매개화가 '존재하는' surface를 보고 regular suface라고 부르는 것이 자연스럽겠지요. 아무리 smooth하게 보이는 곡면을 가지고 와도, 어떤 점에서 이상한 성질을 가지는 매개화는 얼마든지 만들 수 있습니다.
Klein님의 글을 읽고보니 한곡면에 여러개의 매개화가 있다고 생각한데서 다들 헷갈려고 있는듯 하네요. 실제로는 매개화함수 자체를 곡면으로 봅니다. 따라서 이미지가 같은 곡면도 매개화에따라 다른곡면이 되는거지요. 위의 글에선 이미하나의 매개화를 고정해놨기때문에 같은 이미지를 같는 '다른곡면'을 생각할 필요가 없겠죠. 마치 geodesic 을 이미지 집합으로만 구분할수 없는경우와 마찬가지겠네요.
블러디님께서 지적하신대로, 곡면이라는 개념은 주어진 도형보다 매개화로 보는 것이 여러 모로 편합니다. 하지만 다른 관점에서는, 이건 편의상 그런 거고, 우리가 결국에 관심을 가지고 있는 것은 이미지인 도형이기 때문에 매개화에 의존하지 않는 곡면의 개념이 필요하다고 주장하기도 합니다. 이건 어디까지나 관점의 차이니까, 이해만 잘 되었으면 각자 편한 관점을 골라 쓰면 됩니다.
그리고 비는아픔님께서 요구하신, 접평면이 존재하는데도 T_u x T_v = 0인 대표적인 예로는, X(u,v) = (x, y, z), x = -e^{1/u^2} if u < 0, x = 0 if u = 0, x = e^{1/u^2} if u > 0, y = v, z = 0 정도면 되겠네요. 미분가능한지는 확인해 보시면 알 수 있을거고, 이 매개화의 이미지는 z = 0인 평면입니다. 그러나 X_u(0,a)=0이고, 당연히 외적해도 0이 됩니다.
e^(1/u^2)이 아니라 e^(-1/u^2)이겠...죠?(아닌가.......-_ㅠ) (1)그냥 x=u^3, y=v, z=0해도 클라인님이 드신 것과 비슷한 예가 되는건가요? // (2)음... 만약 Tv, Tu가 0이 아닌 크기를 가지고 있는 경우라면 어떻게 될는지요? 예를 좀 ;) 감솨합니다 (__)
첫댓글 저도 확실히 말해주는 사람이 없어 약간은 찌뿌듯한 부분입니다. Tv x Tu=0 이라면 u,v 커브는 서로 나란하지요. 그러면 그 나란한 부분에서 (x,y,z) 좌표와 1:1 대응이 되지 않습니다. 만약 Tv x Tu 가 정의되지 않는다면 그것은 평면이 smooth 하지 않고 완전 접혔거나 뚫렸다는 뜻이 아닐런지요. 완전 접힌 부분에선 양쪽 미분계수가 다르므로 미분이 정의 되지 않고 끊기부분에서 역시 미분이 정의 되지 않듯이 말이죠. 예를 들면 |x| 가 0 에서 미분이 정의되지 않고 y=x (단 x>0) 의 x=0 에서 미분이 정의되지 않듯이 말이죠. 누군가 속시원히 답변 해주면 하는 부분입니다.
"그러면 그 나란한 부분에서 (x,y,z) 좌표와 1:1 대응이 되지 않습니다." 이 부분좀 자세히 설명해주세요...
그리고 Tv x Tu가 정의되지 않는다면, Tv or Tu 가 정의 되지 않는 말과 비슷한(?;;;;)말인거 같은데, Tv, Tu가 정의되지 않으면 (u,v)->(x,y,z)가 아예 C1이 안되어 가정에 모순되는듯??
u,v 커브가 나란한 부분에선 u=일정,v=일정 예를들어, (u,v)=(3,5) 라는 좌표가 점에 할당되지않고 유한 길이에 할당되지요. 그러니 (x,y) 좌표와 1:1 대응이 안되죠.
어떤 (u0, v0)에 대해 Tu x Tv = 0이면 그 부분에서 u,v커브의 접선벡터 Tu, Tv가 나란하지만 커브 자체가 직선형으로 나란한 건 아닌 것 같습니다. 예를들어 x,y좌표상에서 생각해보면 (0,0)근방에서 u커브는 y=x^2, v커브는 y=x^3라 할 때 (0,0) Tu, Tv는 나란하지만 ...일대일대응은 되는것 같습니다만... 제가 잘못이해하는건지...
잘모르겠네요. 저도 그런게 아닌가하고 적어본 것 뿐이라서요.
Tv x Tu 가 존재하고 ≠0 이라면 그곳에선 smooth 하고 (x,y,z) 와 1:1 대응관계에 있는 뚫리지 않은 접평면이 존재한다. 이렇게 될 듯.
(1) Tv x Tu 가 그점에서의 접평면의 법선벡터를 줍니다. 법선벡터가 0이아닌것이 접평면이 존재하기위한 필요충분조건이지요. 각점마다 유일한 접평면이 존재하는 조건으로 정칙곡면을 정의한겁니다. (2) 방향도함수를 배우셨겠지만, 임의의 방향의 도함수는 저 두개의 일차결합으로 표시되기때문에, 두개만 가지고 해봐도 충분합니다.
(1)저 정리(?)의 내용이 C1인 매개화 (v,u)를 어떻게 잡든지 간에 그 점에서 법선벡터가 하나(어떤 벡터의 스칼라배)로 나온다는 것 같은데, 0이 될수도 있는거 아닌지? (2) 음.. 생각해보니 '함수에서 각 변수에 대한 편미분이 존재하고 연속이면 미분가능하다'와 관련이 있는것 같은데요... 증명 자료 혹시 가지고계신가요? ㅠ (직접 해주시면 매우 ㄳ)
(1) 접평면이 존재한다고 해도, 매개화를 어떻게 주느냐에 따라서 Tv x Tu가 0일 수 있습니다. 그래서 적절한 매개화를 찾아야 하는 거고, 그러한 매개화가 '존재하는' surface를 보고 regular suface라고 부르는 것이 자연스럽겠지요. 아무리 smooth하게 보이는 곡면을 가지고 와도, 어떤 점에서 이상한 성질을 가지는 매개화는 얼마든지 만들 수 있습니다.
Klein님의 글을 읽고보니 한곡면에 여러개의 매개화가 있다고 생각한데서 다들 헷갈려고 있는듯 하네요. 실제로는 매개화함수 자체를 곡면으로 봅니다. 따라서 이미지가 같은 곡면도 매개화에따라 다른곡면이 되는거지요. 위의 글에선 이미하나의 매개화를 고정해놨기때문에 같은 이미지를 같는 '다른곡면'을 생각할 필요가 없겠죠. 마치 geodesic 을 이미지 집합으로만 구분할수 없는경우와 마찬가지겠네요.
무슨뜻인지 잘 모르겠는데요...ㅠㅠㅠ 일단 클라인님// 접평면이 존재하는데도 Tv x Tu = 0인 C1인 매개화 (u,v)->(x,y,z)가 존재하나요? 예를 하나 들어주시면 감사하겠습니다;
블러디님께서 지적하신대로, 곡면이라는 개념은 주어진 도형보다 매개화로 보는 것이 여러 모로 편합니다. 하지만 다른 관점에서는, 이건 편의상 그런 거고, 우리가 결국에 관심을 가지고 있는 것은 이미지인 도형이기 때문에 매개화에 의존하지 않는 곡면의 개념이 필요하다고 주장하기도 합니다. 이건 어디까지나 관점의 차이니까, 이해만 잘 되었으면 각자 편한 관점을 골라 쓰면 됩니다.
그리고 비는아픔님께서 요구하신, 접평면이 존재하는데도 T_u x T_v = 0인 대표적인 예로는, X(u,v) = (x, y, z), x = -e^{1/u^2} if u < 0, x = 0 if u = 0, x = e^{1/u^2} if u > 0, y = v, z = 0 정도면 되겠네요. 미분가능한지는 확인해 보시면 알 수 있을거고, 이 매개화의 이미지는 z = 0인 평면입니다. 그러나 X_u(0,a)=0이고, 당연히 외적해도 0이 됩니다.
혼동이 되신다면, 간단하게 곡면이란 휘어진 면 뿐 아니라 매개화까지 주어져 있어야 하는 것으로 생각하시는 것이 좋겠습니다. 그리고 정규곡면이라면, 각 점에서 항상 수직인 방향을 말할 수 있게 되겠지요.
e^(1/u^2)이 아니라 e^(-1/u^2)이겠...죠?(아닌가.......-_ㅠ) (1)그냥 x=u^3, y=v, z=0해도 클라인님이 드신 것과 비슷한 예가 되는건가요? // (2)음... 만약 Tv, Tu가 0이 아닌 크기를 가지고 있는 경우라면 어떻게 될는지요? 예를 좀 ;) 감솨합니다 (__)