브룅6권17장, 수학들의 수리[논리]계산 철학의 형성 [주석과 인명]

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, P.592.

* 목차: 수학 철학의 여러 단계들 (Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

제1부 구성의 시대 Période de constitution 01

제1권 산술학 Arithmétique. 03

제1장인종지학과 초기의 수적인 조작들 L’éthnographie et les premières opérations numériques 07

제2장 이집트 계산법 Le calcul égypties 26.

제3장퓌타고라스학자들의 산술학 L’arthmétisme des Pythagoriaiens 33

제2권 기하학 Géométrie 43

제4장플라톤학자들의 수학주의 Le mathématisme des platoniciens

단원 A. 플라톤 문제의 입장 Section A. La position du problème platonicien 43

단원 B. 플라톤주의 방법La méthode platonicienne 49

단원 C. 형이상학의 뮈편과 뉘편Les livres M et N de Metaphysique 61§34,

제5장형식논리학의 탄생. La naissance de la logique fomelle 71

제6장유클리드 기하학 La Géométrie euclidenne 84 §49, §50,

제7장 분석 기하학 La Géométrie analytique 99 §58,

단원 A. 페르마 Fermat 100

단원 B. 데카르트의 보편수학과 물리학 La mathématique universelle de Descartes et la Physique 105

단원 C. 1637년의 󰡔기하학󰡕 La Géométrie de 1637 113

제8장 데카르트학자들의 수학적 철학 La Philosophie mathématique des cartésiens 124

단원 A. 데카르트 주의의 문제들 Les problemes du cartésienisme 124

단원 B. 말브랑쉬의 수학적철학 La philosophie mathématiquede Malebrache 130

단원 C. 스피노자의 수학적철학 La philosophie mathématique de Spinoza 130

제3권 미분 분석Analyse infinitésimale 153

제9장 미분계산의 발견 La découverte du calcul infinitésimal 153

단원 A. 고대 L’antiquité 153

단원 B. 나눌 수 없는 것들의 기하학과 라이프니츠의 연산법. - La géométrie des indivisibles et l’algorithme leibnizien 163

단원 C. 페르마로부터 뉴턴으로. De Fermat à Newton 177

제10장 라이프니츠의 수학 철학 La philosophie mathématique de Leibniz 197.

단원 A. 토대Le fondement 197 §116

단원 B. 적용들 Les applications 211

제11장 수학의 이상성과 형이상학의 실재론 L‘idéalité mathématique et le réalisme métapysique 230 §134

제2부 근대 시대 Période moderne 251

제4권 비판철학과 실증주의 La philosophie critique et le posivitisme 253

제12장 칸트의 형이상학적 철학 La philosophie mathématique de Kant 253

[1절] 문제의 제기 La position du problème 253

§148, §149, §150

[2절] 수학들의 기술적 개념작업 La conceptions technique des mathématiques 257

§151 §152 §153 §154

[3절] 시간과 공간의 형상[형식]들 Les formes de l’espace et du temps. 262

§155. §156. §157.

[5절] 선험적 연역과 도식주의 La déduction transcendentale et le schématisme 265

§158. §159.

[6절] 수학적 인식의 상대성 La relativité de connaissance mathématique 269

§160. §161. §162. §163. §164. §165.

[7절] 수학들과 자연의 형이상학 Les mathématiques et la métaphysique de la nature 276

§166. §167. §168. §169.

제13장 오귀스트 꽁뜨의 수학 철학 La philosophie mathématique d‘Auguste Comte 282

[1절] 칸트로부터 꽁트로 De Kant à Comte 282 §170.§171.

[2절] 분석적 역학 La mécanique analytique 286 §172. §173. §174. §175. §176.

[3절] 분석기하학과 분석 열이론 La géometrie analytiqueetthermologie analytique 293.

§177. §178.

[4절] 추상 수학 La mathémitique abstraire 296

§179. [여러 분석(산술학, 기하학, 열이론)분석을 넘어서는 것은 종합이 아니라 추상이다. 결국 선험성(근원, 토대)에서 초월성(원리, 선전제, 상징체계)으로 전개될 것이다.]

[5절] 실증주의에서 수학 La mathémitique dans le positivisme 299 §180.

제14장 과학적 토대들의 변형 Transformation des bases scientifiques 302 §181.

단원 A. 합리적 역학의 개념작용. La conception de la mécanique rationnelle. 304. §182-§184.

단원 B. 비유클리드 기하학들 Les géométries non euclidiennec 310 §185

[1절] 사케리의 선구자들 Les précurseurs de Saccheri 313, §186 §187.

[2절] 신부 삭케리 Le P. Saccher[1667-1733]. 315 §188. §189.

[3절] 로바체프스키와 리만 Lobatchevski[1792-1856] et Riemann[1826-1866] 318 §190 §191

[4절] 메타기하학 Les métagéométries 321 §192 §193

단원 C. 분석학 과 연속성 L’analyse et la continuité 325

[5절] 18세기에서 문제 Le problème au XVIIIesiècle 325 §194

[6절] 뽕슬레에게서 연속성 La continuité chez Poncelet 327 §195

[7절] 꼬쉬의 연속성 La continuité chez Cauchy 330 §196 §197 §198

[8절] 분석의 자치 L’autonomie de l’analyse 334 §199 §200. §201

제5권 산술학의 진화 L’évolution de l’arithmétique 341 §202

제15장 수의 독단론 Le dogmatisme du nombre 344 §203.

[1절] “수의 법칙” La “loi de nombre” 345 §204. §205.

[2절] 상징론의 이론 La theorie du symbolisme[상징주의] 348 §206. §207. §208. §209.

제16장 산술적 유명론 Le nominalisme arithmétique 354

[1절] 분석론의 산술화 작업 L’arithmétisation de l’analyse 354 §210. §211.

[2절] 유명론의 이행 Le passage au nominalisme 359 §212. §213. §214.

[3절] 유명론의 진술 L’exposition nominaliste 365 §215

제6권 수리[논리]계산의 운동 L’mouvement de logistique 369

제17장 수학들의 수리[논리]계산 철학의 형성 Formation de la philosophie logistique des mathématiques 370 §217.

[1절] 대수 분석론과 기하 분석론 Analyse algébrique et analyse géométrique 371 §218. §219.

[2절] 층위들의 논리학 Logique des classes 373 §220. §221.

[수학에서 classe란 순서에서 자리, 위계에서 지위, 공간론에서 위상 등의 범위 안을 의미한다.

[3절] 명제들의 논리학과 관계들의 논리학 Logique des proposition et logique des relations 377. §222, §223

[사실(현상)들의 논리학 대 사건(실재)들의 논리학의 차히가 아닐까? (58WKA)

[4절] 수학들의 논리적 번역 La traduction logique des mathématiques 380.§224 §225 §226

[5절] 초한수 와 연속 Le transfini et le continu 383 §227 §228 §229 §230

[6절] 논리계산의 실재론 Le réalisme logistique 389 §231 §232 §233

제18장 수리[논리]계산적 철학의 붕괴 Dissolution de la philosophie logistique 394

§234 [수학사에서 둘째 상실(붕괴), 첫째가 비유클리드 기하학]

[1절] 분석적 해석의 난점들 Les difficultés de l’interprétation analytique 395

    §235 §236 §237 §238 §239 §240 §241 / §242

# 인명록 *** *** 제17장 수학들의 수리[논리]계산 철학의 형성

580 퓌타고라스(Pythagore, Πυθαγόρας, 전580-495, 85 ans), 고대 그리스 철학자. 사모스섬 출생, 이탈리아 남부의 메타폰티온(Métaponte, Μεταπόντιον)에서 세상을 떴다. - 메템프쉬코시스(métempsychose, μετεμψύχωσις) 영혼의 이동, 이전, 윤회 사상을 가졌다.

510? 칼리아스(Callias, Καλλίας), 아테네 정치가, 미칼 곶(Cap Mycale) 전투에서 아테네가 승리하고 난 뒤(전479년) 메디아 전쟁을 종결 시킨 인물(la paix de Callias)

469 소크라테스(Socrate, Σωκράτης, 전469-399), 고대 아테네 철학자. 철학의 창설자 중 한사람. - 노예 꼬마 메논은 자연의 빛에 의해 스스로 깨닫는가?

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 전384-322), 고대 그리스의 철학자. 플라톤의 제자. 󰡔형이상학(La Métaphysique, τὰ μετὰ τὰ φυσικά)󰡕

O

1596 데까르트(René Descartes, 1596-1650), 프랑스 수학자, 물리학자, 철학자.

1623 빠스칼(Blaise Pascal, 1623-1662), 프랑스 박학다식(un polymathe), 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 도덕론자, 신학자. [파스칼의 가명: Louis de Montalte, Amos Dettonville, Salomon de Tultie.]

1642 뉴턴(Isaac Newton, 1642–1727) 영국 수학자, 물리학자, 철학자, 구화학자, 천문학자, 신학자. 󰡔자연 철학의 수학적 원리들(Philosophiæ naturalis principia mathematica, 1687)󰡕(« Principes mathématiques de la philosophie naturelle »), 󰡔보편 산술학(Arithmetica universalis, 1707)󰡕(여러 수학적 개념들의 표기법들),

1646 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716), 독일 철학자, 수학자, 논리학자, 외교관, 역사가, 사서. 문헌학자. 󰡔Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704󰡕(1765 출판)는 로크의 󰡔Essai sur l'entendement humain, 1689)󰡕에 대한 반박문이다.

1657 퐁뜨넬(Bernard Le Bouyer(Bovier) de Fontenelle, 1657-1757), 프랑스 작가, 극작가, 과학자.

1707 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783) 스위스 출신, 수학자, 물리학자. 러시아제국의 성페테스부르크에서서 활동.

1710 리드(Thomas Reid, 1710-1796) 스코틀랜드 철학자. 흄과 동시대, 스코틀랜드 상상학파의 기초자이다.

1724 칸트(Immanuel Kant, 1724-1804), 독일 계몽기(Aufklärung) 철학자.

1753 마이몬(Salomon ben Josua Maimon, 1753-1800), 유대계, 당시 폴란드의 리투아니아 태생 프러시아 철학자. 칸트 비판자.

1771 제르곤(Joseph Diez Gergonne, 1771-1859), 프랑스 수학자.

1781 볼짜노(Bernard Bolzano, 1781–1848), 부모는 경건한 카톨릭, 이탈리아출신 오스트리아제국의 프라하에서 활동, 작품은 독일어로 썼다. 수학자, 논리학자, 철학자, 신학자.

1806 모르간(Auguste (ou Augustus) De Morgan, 1806-1871), 인도태생, 영국 수학자, 논리학자. 불(1815–1864)과 함게 근대 논리학을 세우다.

1809 그라스만(Hermann Günther Grassmann, 1809-1877), 프러시아 수학자, 인도연구자. 언어학자, 물리학자, 네오휴머니스트.

1815 불(George Boole, 1815–1864)[마흔아홉], 영국 독학으로 수학자, 철학자, 논리학자.

The Mathematical Analysis of Logic, 1847: The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning, 1847)

An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, 1854.

1815 바이에르스트라스(Karl (Theodor Wilhelm) Weierstrass, Weierstraß, 1815-1897) 독일 수학자.

1816 게르하르트(Carl Immanuel Gerhardt, 1816-1899), 독일 수학자, 라이프니츠 연구자, 저술 편집자. Die Mathematische Schriften, Berlin, 1850-1853. Die Philosophischen Schriften von G. W. Leibniz, éd. C. I. Gerhardt, Berlin, 1875-1890.

1831 보이스-레이몬트(Paul du Bois-Reymond, 1831-1889) 프러시아 수학자.

1831 데데킨트(Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916), 독일 수학자.

1835 메레(Hugues Charles Robert Méray, 1835-1911) 프랑스 수학자. Sur les propriétés générales des racines d'équations synectiques (thèse de doctorat), Paris, Mallet-Bachelier, 9 juillet 1858, 31 p

1839 퍼스(Charles Sanders Peirce, 1839-1914) 미국 기호학자, 철학자, 철학에 실용주의 도입

1841 슈뢰더(Ernst Schröder, 1841-1902), 독일 수학자.

1845 칸토르(Georg Cantor, 1845-1918), 독일 수학자. 집합론의 창안자.

1846 리야르(Louis Liard, 1846-1917) 프랑스 철학자, 행정가.

1846 미타그 레플레르(Magnus Gustaf "Gösta" Mittag-Leffler, 1846–1927), 스웨덴 수학자.

1848 프레게(Gottlob Frege, 1848-1925), 독일 수학자, 논리학자, 철학자.

1848 딴느리(Jules Tannery, 1848-1910), 프랑스 수학자. 박사학위논문: <Propriétés des intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients variables, 1874>. (Notions historiques à la suite des Notions de Mathématiques de Jules Tannery, 1903).

1853 쇤플리(Arthur Moritz Schoenflies (ou Schönflies), 1853-1928), 독일 수학자. 230그룹의 수정체 공간 제안(cristallographe).

1853 마이농(Alexius Meinong, 1853-1920) 오스트리아 수학자, 철학자. 독일카톡릭 심리학자 브렌타노(1838-1917)의 제자(후설도 브렌타노 제자).

1858 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932), 이탈리아 수학자, 언어학자. 󰡔Formulaire de mathématiques, 1895󰡕(참여자: Giovanni Vailati (en), Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Gino Fano, Cesare Burali-Forti, etc)

1858 밀오(Gaston Milhaud, Samuel Milhaud, 1858-1918), 프랑스 철학자, 과학사가. 수학자. / 지로(A. Girot, 1855-?) [니스의 수학교사?]

1859 비반티(Giulio Vivanti, 1859-1949), 이탈리아 수학자. Il concetto d'infinitesimo e la sua applicazione alla matematica, 1894.

1861 화이트헤드(Alfred North Whitehead, 1861-1947) 영국 철학자, 논리학자, 수학자. 잔후에 미국에서 활동.

1861 부랄리-포르티(Cesare Burali-Forti, 1861-1931), 이탈리아 수학자. 서수의 가장 큰 수 파라독사(le paradoxe du plus grand ordinal en théorie des ensembles)

1863 바일라티(Giovanni Vailati, 1863–1909), 이탈리아 수학자, 과학사가, 철학자. 󰡔철학 저술들(Scritti filosofici󰡕(1911)) / G. Vailati, La méthode déductive comme instrument de recherche, Revue de Métaphysique et de Morale, T. 6, No. 6 (Novembre 1898), pp. 667-703. et Scritti, Leipzig et Florence, 1911, p. 135.

1868 꾸뛰라(Louis Couturat, 1868-1914) 프랑스 철학자. 논리학자, 수학자. La Logique de Leibniz : d'après des documents inédits, Paris, Félix Alcan, 1901.

1871 보렐(Emile Borel Écouter, 1871-1956) 프랑스 철학자, 파리대학 수학교수. 정치가(해양장관). Leçons sur la théorie des fonctions (1898)

1872 러셀(Bertrand Russell, 1872-1970), 영국 철학자, 수학자, 논리학자.

1873 마로뜨(Francisque Marotte 1873–1945), 프랑스 수학자, 교육자.

1874 베르(René-Louis Baire, 1874-1932) 프랑스 수학자. ENS 수학으로 교수자격, 연속성과 무리수(nombres irrationnels) 연구.

1883 베르크만(Samuel (Schmuel) Hugo Bergmann, 1883-1975), 프라하 지성인그룹으로 카프가의 친구, 인류학에 관심, 이스라엘 예루살렘 대학 교수로 활동. Das philosophische Werk Bernhard Bolzanos. Niemeyer, Halle an der Saale 1909.

1884 쟝 레(Jean Joseph Ray, 1884-1943), ENS 철학으로 교수자격, 프랑스 법률가, 철학자, 사회학자, 외교관. 뒤르껭 학파. 도교제국대학에서 법학교수, 일본정부 자문위원. 일본에서 프랑마송협회 창설. 일본황세자 히로히토 프랑스어 가정교사. 라이프니츠연구경력이 보이지 않는다. 영국의 밀에 대한 단행본이 있다. /르네 레(Renée-J. Ray, ?-?) 여성연구자? 레의 부인?

*-*-369

[퓌타고라스(Πυθαγόρας, 전580-495), 아리스토텔레스(Ἀριστοτέλης, 전384-322), 러셀(Bertrand Russell, 1872-1970),]

*-*-370

370 1) 우리는 이어지는 다음 쪽에서 꾸뛰라가 꼴레쥬 드 프랑스에서 행한 특강인 󰡔강의(Cours)󰡕를 이용한다. 즉 Couturat, l’Histoire de la logique formelle moderne (1905-1906). 이 개강 강의는 다음해 출판 되었는데, Revue de métaphysique, 1906, p. 318 et suiv.를 참조.

Couturat, Coursmagistral .. sur l’Histoire de la logique formelle moderne (1905-1906). Revue de métaphysique, 1906, p. 318 et suiv. [Cours magistral 교수 직강, 특강 ]

[1753 마이몬(Salomon ben Josua Maimon, 1753-1800), 유대계, 당시 폴란드의 리투아니아 태생 프러시아 철학자. 칸트 비판자.

[1771 제르곤(Joseph Diez Gergonne, 1771-1859) 프랑스 수학자.

*-*-371

371 1) Maimon, Versuch einer neuen Logik oder Theorie des Denkens, Berlin, 1794, p. 92.

*-*-372

372 1) Annales de Mathématiques pures et appliquée, Nimes, t. VII, 1816-1817.

[Gergonne. 117–123. 논문제목 “Sur divers moyens d'abréger la multiplication.”]

*-*-373

373 1) Cf. Liard, Les logiciens anglais contemporains, 1878, chap. v. p. 99 et suiv.

[1815 불(George Boole, 1815–1864)[마흔아홉], 영국 독학으로 수학자, 철학자, 논리학자.

The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning, 1847)

An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, 1854.

[1846 리야르(Louis Liard, 1846-1917) 프랑스 철학자, 행정가.]

*-*-374

374 1) [Boole,] An investigation, Londres, 1854, p. 47. [London]

[George Boole, An investigation of the laws of thought, ; Publication date: 1854 ;

le néant logique (Br. 374) / l’univers logique (Br. 374)

*-*-375

375 1) “Hoc loco nulla habetur ratio repetitionis, seu AA idem nobis est quod A”. G. VII, p. 245. Cf. Couturat, La logique de Leibniz, p. 320 et suiv.

- « Ensuite, à cet endroit, il n'est tenu aucun compte de la répétition, c'est-à-dire que pour nous AA est identique à A [ce qui définit l'idempotence]. » [이어서, 이 장소에서, 반복의 어떠한 고려[계산]도 갖추지 않았다. 말하자면 우리에게서 AA는 A와 동일하다[이것은 멱등법칙(l’idempotence)을 정의한다.] .

- idempotence [수학] 멱등법칙: 동일한 작업을 여러 번 반복 실행해도 한 번 실행한 것과 같은 결과를 내는 것을 의미.

절대값 함수: f(x)=|x| ; 논리 연산: p or p=p(논리합), p and p=p(논리곱)

집합 연산: A cup A=A(교집합), A cap A=A(합집합).

375 2) An investigation, p. 31.

375 3) Op. cit., p. 49.

375 4) Op. cit., p. 69.

375 5) Op. cit., p. 405.

*-*-376

376 1) Op. cit., p. 72. Cf. Liard, op.cit., p. 117.

*-*-377

377 1) Op. cit., p. 84.

377 2) Ibid.

*-*-378

378 1) [Couturat,] La logique de Leibniz, p. 354

378 2) Boole, op. cit., p. 12.

378 3) The mathematical analysis, Cambridge, 1847, p. 3. Cf. Liard, op. cit., p. 104.

[George Boole, The Mathematical Analysis of Logic: Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning, a pamphlet published by in 1847.]

378 4) (1844), [Grassmann,] Gesammelte Werke, édit. Engel, t. I, 1894, p. 23.

[1809 그라스만(Hermann Günther Grassmann, 1809-1877), 프러시아 수학자, 인도학 전문가. Hermann Grassmanns, Gesammelte mathematische und physikalische Werke, 1894.]

[1861 엥겔(Friedrich Engel (1861–1941) 독일 수학자. 펠릭스 클라인(Felix Klein, 1849–1925)에게 배웠다. 󰡔Theorie der Transformationsgruppen, 1888–1893󰡕/cf. Friedrich Engels (1820–1895), 맑스의 동지.)

378 5) [Boole,] An investigation, p. 7.

378 6) Op. cit., p. 172. Cf. Liard, op.cit., p. 139 et suiv.

*-*-379

379 1) 1850년 논문 참조, On the symbols of logic, 1850, Traductions of the Cambridge philosophical Society, t. IX, 1856, p. 104. 대칭(la symétrie)은 교환가능성(convertibilité)의 이름 아래에서 정의되어 있다.

[1806 모르간(Auguste (ou Augustus) De Morgan, 1806-1871), 인도태생, 영국 수학자, 논리학자. 불과 함께 근대 논리학을 세우다. /On the syllogism and other logical writings, 1966

379 2) Russell, The Principles of Mathematics, Vol. I, Cambridge, 1903, § 28, p. 24.

[러셀(Bertrand Russell, 1872-1970), 영국 철학자, 수학자, 논리학자. The Principles of Mathematics, 1903 / Principia Mathematica, Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, publiés en 1910-1913.

379 3) Couturat, Les principes des mathématiques, 1905, p. 27 et suiv.

[1839 퍼스(Charles Sanders Peirce, 1839-1914) 미국 기호학자, 철학자, 철학에 실용주의 도입.]

[1841 슈뢰더(Ernst Schröder, 1841-1902), 독일 수학자.]

*-*-380

380 1) [Whitehead,] A Treatise of Universal Algebra, vol. I, Cambridge, (1898), p. 22 et 35. cf. Couturat, Revue de métaphysique, 1900, p. 331.

[1861 화이트헤드(Alfred North Whitehead, 1861-1947) 영국 철학자, 논리학자, 수학자. 잔후에 미국에서 활동, A Treatise of Universal Algebra, 1898.

380 2) [Peano,] Notations de logique mathématique, Turin, 1894. “La Rivista di mathematica”는 1895년에 초판으로 Formulaire de Mathématiques를 출판했다. 이 작품은 부랄리-포르티(Burali-Forti), 바일라티(Vailati), 비반티(Vivanti)와 같은 학자들과 협업으로 이루어졌다. 페아노의 수학적 논리학은 바일라티와 꾸뛰라에 의해서 Revue de métaphysique, 1899, p. 94 et 616 et suiv에서 진술되었다.

[1858 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932), 이탈리아 수학자, 언어학자. 󰡔Formulaire de mathématiques, 1895󰡕(참여자:Giovanni Vailati (en), Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Gino Fano, Cesare Burali-Forti, etc)

[1861 부랄리-포르티(Cesare Burali-Forti, 1861-1931), 이탈리아 수학자. 서수의 가장 큰 수 파라독사(le paradoxe du plus grand ordinal en théorie des ensembles)

[1863 바일라티(Giovanni Vailati, 1863–1909), 이탈리아 수학자, 과학사가, 철학자. 󰡔철학 저술들(Scritti filosofici󰡕(1911)) /G. Vailati, La méthode déductive comme instrument de recherche, Revue de Métaphysique et de Morale, T. 6, No. 6 (Novembre 1898), pp. 667-703. et Scritti, Leipzig et Florence, 1911, p. 135.

[1859 비반티(Giulio Vivanti, 1859-1949), 이탈리아 수학자. Il concetto d'infinitesimo e la sua applicazione alla matematica, 1894.

*-*-381

381 1) [Peano,] Notations, § 8, p. 10.

381 2) [Peano,] Sur la définition de la limite d’une fonction. Exercice de logique mathématique, American journal of mathematics, t. XII, 1895, p. 67.

381 3) Vailati, De quelques caractères du mouvement philosophique contemporaine en Italie, Revue du mois, 1907, t. I, p. 173, et Scritti di G. Vailati, Leipzig et Florence, 1911, p. 761.

*-*-382

382 1) [Frege,] Begriffsschrift. Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879 et Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Wilhelm Koebner, Breslau 1884.

Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens [fr. « L’idéographie, un langage formulaire de la pensée pure construit d’après celui de l’arithmétique »], paru en 1879,

Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Wilhelm Koebner, Breslau 1884. [Les Fondements de l'arithmétique]

382 2) Grundgesetze der Arithmetik begriffsschriftlich abgeleitet, t. I. Iéna, 1893, p. x. [fr. Lois fondamentales de l'arithmétique.]

382 3) Begriffsschrift, p. 16 in Russell, The Principles of Mathematics, p. 505.

*-*-383

383 1) Cf. [Russell,] L’importance philosophique de la logistique, Revue de métaphysique, 1911, p. 280.

[L'importance philosophique de la logistique. B. Russell - 1911 - Revue de Métaphysique et de Morale 19 (3):281 – 291.]

[1845 칸토르(Georg Cantor, 1845-1918), 독일 수학자. 집합론의 창안자.

383 2) Op. cit., tr. Milhaud-Girot, 1887, p. 17.

[1858 밀오(Gaston Milhaud, Samuel Milhaud, 1858-1918), 프랑스 철학자, 과학사가. 수학자. / 지로(A. Girot, 1855-) [니스의 수학교사?] Théorie générale des fonctions / Première partie, Métaphysique et théorie des concepts mathématiques fondamentaux: grandeur, limite, argument et fonction. (Nice, 1887), also by Paul Du Bois-Reymond and Georges Milhaud (page images at HathiTrust) ]

[Allgemeine Funktionentheorie, 1882]

[1831 보이스-레이몬트(Paul du Bois-Reymond, 1831-1889) 프러시아 수학자. Théorie générale des fonctions (1882)

[1815 바이에르스트라스(Karl (Theodor Wilhelm) Weierstrass, Weierstraß, 1815-1897) 독일 수학자.

[1835 메레(Hugues CharlesRobert Méray, 1835-1911) 프랑스 수학자.

*-*-384

384 1) [Bois-Reymond,(?)], Trad. citée, p. 199 et suiv. [밀로와 지로의 번역을 지칭하는 것 같은데, 내용상으로 보이스-레이몬트의 것인 것 같다..]

du Bois-Reymond, principe général de convergence

384 2) Ibid., p. 204

384 3) Ibid., p. 211

384 4) Ibid., p. 213

*-*-385

385 1) [Bois-Reymond,] Leçons sur la théorie générale des fonctions, 1898, p. 114.

[Bois-Reymond, 1831-1889) 프러시아 수학자. Théorie générale des fonctions (1882)

[1871 보렐(Emile Borel, 1871-1956) 프랑스 철학자, 파리대학 수학교수. 정치가(해양장관). 󰡔Leçons sur la théorie des fonctions (1898)󰡕

385 2) Ibid., p. 116.

385 3) 참조: Mémoire traduit dans Acta mathematica, t. II, 1883, p. 336: [Cantor,] Extension d’un théorème de la théorie des séries trigonométriques (1871).

*-*-386

386 1) [Cantor,] Sur les ensembles infinis et linéaires de ponts (1882) trad. franç., Acta mathematica, t. II, p. 363.

386 2) Sur les fondements de la theorie des ensembles transfini (1895), trad. Marotte, 1899, p. 4. [Cantor, « Ueber die Grundlagen der transfiniten Mengenlehre ».]

[1873 마로뜨(Francisque Marotte 1873–1945), 프랑스 수학자, 교육자.]

386 3) Ibid., p. 13 et suiv.

386 4) [Cantor,] Mittheilungen zur Lehre vom Transtinitem, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritikm t. XCI, 1887, p. 111.

[1657 퐁뜨넬(Bernard Le Bouyer(Bovier) de Fontenelle, 1657-1757), 프랑스 작가, 극작가, 과학자.

386 5) [Cantor,] Fondements d'une théorie générale des ensembles, 1883, Acta mathematica, t. II, p. 385.

*-*-387

387 1) Couturat, De l’infini mathématique, n. IV. § 42, p. 637 et suiv.

387 2) Borel, op. cit., p. 121.

387 3) Cf. Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels (1874) Acta mathematica, t. II, p. 305 et suiv. Cf. Schoenflies-Baire, Encyclopédie des sciences mathématiques [pures et appliquées]. t. I 1909, fasc. 4, p. 490 et 496.

[1853 쇤플리스(Arthur Moritz Schoenflies (ou Schönflies), 1853-1928), 독일 수학자. 230그룹의 수정체 공간 제안(cristallographe).

[1874 베르(René-Louis Baire, 1874-1932) 프랑스 수학자. ENS 수학으로 교수자격, 연속성과 무리수(nombres irrationnels) 연구.

387 4) Jules Tannery, Intoduction à la théorie des fonctions d’une variable, 1er édit., 1886, § 56, p. 57 et suiv.

[1848 딴느리(Jules Tannery, 1848-1910), 프랑스 수학자. 박사학위논문:

387 5) [Richard Dedekind,] Was sind und was sollen die Zahlen, 1887, 2e édit., Braunschweig, § 3. p. 34. Cf. Couturat, De l’infini mathématique, p. 618.

[Braunschweig, 출판지명일 것 같다. 브라운슈바이크가 독.위키에서 인명이 많은 데 수학자는 없고, 철학자이면서 정신분석학자가 있을 뿐이다. 데데킨트가 브라운슈바크 출신이다.]

[1831 데데킨트(Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916), 독일 수학자.

*-*-388

388 1) Schoenflies-Baire, op. cit., p. 496.

388 2) Dedekind, op. cit., § 5, 64. Cf. Couturat, De l’infini mathématique, p. 618. .. Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1851, § 20 et suiv., Bergmann, Das philosophische Werke Bernard Bolzanos, Halle, a. S., 1909, Anhang, p. 202.

[1781 볼짜노(Bernard Bolzano, 1781–1848), 부모는 경건한 카톨릭, 이탈리아출신 오스트리아제국의 프라하에서 활동, 작품은 독일어로 썼다. 수학자, 논리학자, 철학자, 신학자.

- Bolzano, Paradoxien des Unendlichen (1847) Les paradoxes de l'Infini, (posthume) 1851.]

[1883 베르크만(Samuel (Schmuel) Hugo Bergmann, 1883-1975), 프라하 지성인그룹으로 카프가의 친구, 인류학에 관심, 이스라엘 예루살렘 대학 교수로 활동. Das philosophische Werk Bernhard Bolzanos. Niemeyer, Halle an der Saale 1909.

388 3) “무한에 결합한 단위(l’unité)는 무한을 전혀 증가하게 하지 않는다.(l’unité jointe à l’infini ne l’augmente de rien. [즉 ∞ +1 = ∞]” [Pascal,] Penses, f° 3, fragment 233. - “무한은 모든 크기로부터, 유한한 부분의 빼기에 의해 축소되지 않는 무한이다. (l’infini est de toutes les grandeurs celle quei n’est pas diminuée par la soustraction d’une partie finie.)”[무한은 유한한 부분의 뺄셈에 의해 감소하지 않는 모든 크기들 중 하나이다.] Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels, 1755 3e partie, AKB, I, 354.

수학에서 무한(Infinity)과 크기(Magnitude/Cardinality)를 엄밀하게 정의할 때, 크기 x가 무한하다는 것은 다음과 같은 조건을 만족하는 것으로 나타냅니다. x = x – n [즉 ∞ = ∞ -n.

388 4) Cf. Tannery, op. cit., § 38, p. 42 et Mittag-Leffle,Communication, Congès de Stockholm, 1909 citée, p. 19 et suiv.

[1846 미타그 레플레르(Magnus Gustaf "Gösta" Mittag-Leffler, 1846–1927), 스웨덴 수학자.

*-*-389

389 1) [Cantor,] Fondements d'une théorie générale des ensembles, 1883, Acta mathematica, t. II, p. 407.

389 2) Borel, op. cit., p. 20.

389 3) Coutrat, Les principes, p. 92. Cf. Revue de métaphysique, 1900, p. 157 et suiv.

*-*-390

390 1) Couturat, Les principes, p. 227.

*-*-391

391 1) Russell, L'importance philosophique de la logistique. Revue de Métaphysique et de Morale, 1911, p. 283.

391 2) Exposé critique de la philosophie de Leibniz, 1900, 이 속에서 러셀(M, Russell)은 “절대 공간의 뉴턴 이론에게, 가능적 관계들의 모임 속에서가 아니라 오히려 현실적 점들의 무한한 수집 속에서 일정하다”고 암시했다. 그리고 그는 덧붙였는데 “뉴턴 이론에 반대는 그것이 모순 이라는 것이다.” (Trad. Ray, p. 125) [Bertrand Russell, La Philosophie de Leibniz. Exposé critique. Traduction française par J. Ray et R. Ray. In: Revue néo-scolastique. 16ᵉ année, n°62, 1909.]

[쟝 레(Jean Joseph Ray, 1884-1943), 법률학자 철학자, 사회학자. 이 사람이 아닐 것 같다. 아니 맞을 것 같다 - 공동 번역으로 J. Ray et R. Ray인데 아마도 부부가 아닐까?]

*-*-392

392 1) Cf. The Principles, p. 4. : “관념론자들은 모든 수학들을 마치 현상에 불과한 것을 가지고 다루고 있는 것처럼 더욱더 많이 간주하는 경향을 가졌다.” Cf. Revue de métaphysique, 1911, p. 289.

392 2) Le réalisme ananlytique. Bulletin de la Société françse de philosophie, IIe année n° 3, 23 mars 1911, p.54 et suiv.

[Le réalisme analytique. Séance du 23 mars 1911. Exposé : Bertrand Russell, Discussion : R. Berthelot, H. Dufumier, A. Lalande

*-*-393

393 1) [Russell,] L’idée d’ordre et la position absolue dans l’espace et dans le temps. Congrès International de Philosophie (Paris, 1900), t. 3, 1901, p. 274. .

[1853 마이농(Alexius Meinong, 1853-1920) 오스트리아 수학자, 철학자. 독일카톡릭 심리학자 브렌타노(1838-1917)의 제자(후설도 브렌타노 제자).

393 2) [Russell,] Mind, p. 523 et suiv.

[Russell, Meinong's Theory of Complexes and Assumptions. Mind, 1904 13 (52): 509-524.] [AssumptionsL 추정들].

(11:07, 58WKD) (12:04, 59RLF)

책1912브룅슈1869수철인17.hwp

79.50KB

#(387쪽 ) ω + 1, ω + 2, … ω + n : 2ω, 2ω + 1 … ; 3ω … nω.

이 수열은 집합론에서 무한의 크기와 순서를 나타내는 ‘순서수(Ordinal numbers)’의 구조를 설명하는 계열입니다. 여기서 사용된 기호 ω는 가장 작은 무한 순서수(초한 순서수)인 ω(Omega)를 의미합니다.

수학에서 이 계열은 다음과 같은 구조적 의미를 가집니다:

자연수의 순서: 1, 2, 3 …n

첫째 무한의 시작: 모든 자연수 뒤에 오는 첫 번째 무한 순서수가 바로 ω입니다.

무한 너머의 카운팅: ω에 도달한 후에도 계속해서 ω+ 1, ω + 2, … ω +n으로 셀 수 있으며, 이들은 ω보다 큰 새로운 순서수들입니다.

두 배의 무한: 이런 식으로 한없이 나아가 ω+ ω에 도달하면 이를 ω x2, (또는 2ω))로 표기하며, 같은 방식으로 3ω …nω까지 무한히 확장되는 순서수의 계층을 형성합니다.

이 계열은 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)가 무한을 크기뿐만 아니라 '나열하는 순서'에 따라 체계적으로 분류하기 위해 고안한 초한순서수(Transfinite Ordinals)의 대표적인 예시입니다.