1. A ring A is Boolean if x² = x for all x∈A. In a Boolean ring A, show that
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1) 2x = 0 for all x ∈ A ;
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2) every prime ideal P is maximal, and A/P is a field with two elements ;
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3) every finitely generated ideal in A is principal.
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2. For each f ∈ A, let X_f denote the complement of V(f) in X = Spec(A). The sets X_f are open. Show that they form a basis of open sets for the Zariski topology, and that
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1) X_f ∩ X_g = X_fg ;
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2) X_f = Φ ⇔ f is nilpotent ;
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3) X_f = X ⇔ f is a unit ;
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4) X_f = X_g ⇔ r((f)) = r((g)).
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첫댓글 (x+x)^2 = x+x -> 2x = 0. A/P의 원소 x+P에 대해 (x+P)(x+P) = (x+P) -> x+P = 1+P 즉 A/P는 원소두개짜리 field.(0하고 1) generator가 두개일때.. (x,y) = (x+y+xy) (check해보세요) induction으로 증명. 두번째. 정의만 따라가면 증명됨.
Atiyah책은 대수기하를 어느정도 공부하시고 보면 도움이 많이 되실겁니다. 당장 연습문제를 대수적 tool만을 써서 푸는건 그다지 도움이 되지 않을듯..