브룅6권18장, 수리계산 철학의 붕괴 [주석과 인명]

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, P.592.

* 목차: 수학 철학의 여러 단계들 (Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

제1부 구성의 시대 Période de constitution 01

제1권 산술학 Arithmétique. 03

제1장인종지학과 초기의 수적인 조작들 L’éthnographie et les premières opérations numériques 07

제2장 이집트 계산법 Le calcul égypties 26.

제3장퓌타고라스학자들의 산술학 L’arthmétisme des Pythagoriaiens 33

제2권 기하학 Géométrie 43

제4장플라톤학자들의 수학주의 Le mathématisme des platoniciens

단원 A. 플라톤 문제의 입장 Section A. La position du problème platonicien 43

단원 B. 플라톤주의 방법La méthode platonicienne 49

단원 C. 형이상학의 뮈편과 뉘편Les livres M et N de Metaphysique 61§34,

제5장형식논리학의 탄생. La naissance de la logique fomelle 71

제6장유클리드 기하학 La Géométrie euclidenne 84 §49, §50,

제7장 분석 기하학 La Géométrie analytique 99 §58,

단원 A. 페르마 Fermat 100

단원 B. 데카르트의 보편수학과 물리학 La mathématique universelle de Descartes et la Physique 105

단원 C. 1637년의 󰡔기하학󰡕 La Géométrie de 1637 113

제8장 데카르트학자들의 수학적 철학 La Philosophie mathématique des cartésiens 124

단원 A. 데카르트 주의의 문제들 Les problemes du cartésienisme 124

단원 B. 말브랑쉬의 수학적철학 La philosophie mathématiquede Malebrache 130

단원 C. 스피노자의 수학적철학 La philosophie mathématique de Spinoza 130

제3권 미분 분석Analyse infinitésimale 153

제9장 미분계산의 발견 La découverte du calcul infinitésimal 153

단원 A. 고대 L’antiquité 153

단원 B. 나눌 수 없는 것들의 기하학과 라이프니츠의 연산법. - La géométrie des indivisibles et l’algorithme leibnizien 163

단원 C. 페르마로부터 뉴턴으로. De Fermat à Newton 177

제10장 라이프니츠의 수학 철학 La philosophie mathématique de Leibniz 197.

단원 A. 토대Le fondement 197 §116

단원 B. 적용들 Les applications 211

제11장 수학의 이상성과 형이상학의 실재론 L‘idéalité mathématique et le réalisme métapysique 230 §134

제2부 근대 시대 Période moderne 251

제4권 비판철학과 실증주의 La philosophie critique et le posivitisme 253

제12장 칸트의 형이상학적 철학 La philosophie mathématique de Kant 253

[1절] 문제의 제기 La position du problème 253

[2절] 수학들의 기술적 개념작업 La conceptions technique des mathématiques 257

[3절] 시간과 공간의 형상[형식]들 Les formes de l’espace et du temps. 262,

[5절] 선험적 연역과 도식주의 La déduction transcendentale et le schématisme 265,

[6절] 수학적 인식의 상대성 La relativité de connaissance mathématique 269

[7절] 수학들과 자연의 형이상학 Les mathématiques et la métaphysique de la nature 276

제13장 오귀스트 꽁뜨의 수학 철학 La philosophie mathématique d‘Auguste Comte 282

[1절] 칸트로부터 꽁트로 De Kant à Comte 282

[2절] 분석적 역학 La mécanique analytique 286

[3절] 분석기하학과 분석 열이론 La géometrie analytiqueetthermologie analytique 293.

[4절] 추상 수학 La mathémitique abstraire 296

[5절] 실증주의에서 수학 La mathémitique dans le positivisme 299 §180.

제14장 과학적 토대들의 변형 Transformation des bases scientifiques 302 §181.

단원 A. 합리적 역학의 개념작용. La conception de la mécanique rationnelle. 304. §182-§184.

단원 B. 비유클리드 기하학들 Les géométries non euclidiennec 310 §185

[1절] 사케리의 선구자들 Les précurseurs de Saccheri 313, §186 §187.

[2절] 신부 삭케리 Le P. Saccher[1667-1733]. 315 §188. §189.

[3절] 로바체프스키와 리만 Lobatchevski[1792-1856] et Riemann[1826-1866] 318 §190 §191

[4절] 메타기하학 Les métagéométries 321 §192 §193

단원 C. 분석학 과 연속성 L’analyse et la continuité 325

[5절] 18세기에서 문제 Le problème au XVIIIesiècle 325 §194

[6절] 뽕슬레에게서 연속성 La continuité chez Poncelet 327 §195

[7절] 꼬쉬의 연속성 La continuité chez Cauchy 330 §196 §197 §198

[8절] 분석의 자치 L’autonomie de l’analyse 334 §199 §200. §201

제5권 산술학의 진화 L’évolution de l’arithmétique 341 §202

제15장 수의 독단론 Le dogmatisme du nombre 344 §203.

[1절] “수의 법칙” La “loi de nombre” 345 §204. §205.

[2절] 상징론의 이론 La theorie du symbolisme[상징주의] 348 §206. §207. §208. §209.

제16장 산술적 유명론 Le nominalisme arithmétique 354

[1절] 분석론의 산술화 작업 L’arithmétisation de l’analyse 354 §210. §211.

[2절] 유명론의 이행 Le passage au nominalisme 359 §212. §213. §214.

[3절] 유명론의 진술 L’exposition nominaliste 365 §215

제6권 수리계산의 운동 L’mouvement de logistique 369 §216.

제17장 수학들의 수리계산 철학의 형성 Formation de la philosophie logistique des mathématiques 370

[1절] 대수 분석론과 기하 분석론 Analyse algébrique et analyse géométrique371

[2절] 층위들의 논리학 Logique des classes 373 §220. §221.

[3절] 명제들의 논리학과 관계들의 논리학 Logique des proposition et logique des relations 377.

[4절] 수학들의 논리적 번역 La traduction logique des mathématiques 380.

[5절] 초한수 와 연속 Le transfini et le continu 383 §227 §228 §229 §230

[6절] 논리계산의 실재론 Le réalisme logistiqie 389

제18장 수리계산 철학의 붕괴 Dissolution de la philosophie logistique 394 §234

[모리스 클라인의 수학의 “불확실성”이, 여기서는 붕괴와 난점들로 표현된 것이리라]

[1절] 분석적 해석의 난점들 Les difficultés de l’interprétation analytique 395

[2절] 계층들에 대한 실재론의 난점들 Les difficultés de réalisme des classes 403

제19장 절대적 연역의 관념 - §247 §248 §249

# 인명록 *** *** 제18장 수리계산 철학의 붕괴 Dissolution de la philosophie logistique 394 §234

590경 에피메니데스(Epiménide, Ἐπιμενίδης, 556경활동), 고대 그리스 시인, 철학자. 샤만(iatromante (chamane)[ἰατρόμαντις, « médecin-devin »),

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 전384-322), 고대 그리스의 철학자. 플라톤의 제자. 󰡔형이상학(La Métaphysique, τὰ μετὰ τὰ φυσικά)󰡕

360? 에우클리데스(Euclide, Εὐκλείδης, 기원전 300년경 활동), 알렉산드리아 수학자. 󰡔원론(Éléments, Στοιχεία)󰡕(전300년경, 13권). - p.37 주1) Elém., IX, 36, éd. Heiberg, t. II, Leipzig, 1884, p. 408.

04 예수 (Jesus, 전04-후30?), 유대 종교개혁가, 민중운동가. [그의 제자들로 베드로(Pierre), 요한(Jean, en. John, 06-100), 야고보(fr, Jaques, en, James)등 12명이 있다.]

O

1642 뉴턴(Isaac Newton, 1642–1727) 영국 수학자, 물리학자, 철학자, 구화학자, 천문학자, 신학자. 󰡔자연 철학의 수학적 원리들(Philosophiæ naturalis principia mathematica, 1687)󰡕(« Principes mathématiques de la philosophie naturelle »), 󰡔보편 산술학(Arithmetica universalis, 1707)󰡕(여러 수학적 개념들의 표기법들),

1646 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716), 독일 철학자, 수학자, 논리학자, 외교관, 역사가, 사서. 문헌학자. 󰡔Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704󰡕(1765 출판)는 로크의 󰡔Essai sur l'entendement humain, 1689)󰡕에 대한 반박문이다.

1710 리드(Thomas Reid, 1710–1796), 스코틀랜드 철학자. 지각이론으로 알려졌다. 스코틀랜드 상식학파 창설자.

1724 칸트(Immanuel Kant, 1724-1804), 독일 계몽기(Aufklärung) 철학자.

1796 주프르와(Simon Joseph Théodore Jouffroy, 1796-1842), 프랑스 철학자. 꾸쟁의 절충학파.

1809 에드거 앨런 포(Edgar Allan Poe, 1809-1849), 미국 작가, 시인, 편집자, 문학평론가. 미국 낭만주의의 거두, 미스터리 및 마카브레(macabre 섬뜩한) 작품들로 가장 유명하며, 미국 단편 소설의 선구자, 추리소설이라는 장르를 최초로 만들어냈다.

1821 헬름홀쯔(Hermann von Helmholtz, 1821-1894) 프러시아 생리학자, 물리학자. 유체 동역학, 소리와 열의 지각이론과 열역학에 중요한 기여를 하였다.

1848 프레게(Gottlob Frege, 1848-1925) 독일 수학자, 논리학자, 철학자.

1854 쁘왕까레(Henri Poincaré, 1854-1912), 프랑스 수학자, 물리학자, 기술자, 철학자.

1858 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932), 이탈리아 수학자, 언어학자. 󰡔Formulaire de mathématiques, 1895󰡕(참여자: Giovanni Vailati (en), Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Gino Fano, Cesare Burali-Forti, etc)

1860 삐에리(Mario Pieri, 1860–1913), 이탈리아 수학자. 투영기하학 연구.

1861 화이트헤드(Alfred North Whitehead, 1861-1947), 영국 철학자, 논리학자, 수학자. 전후에 미국에서 활동.

1861 부랄리-포르티(Cesare Burali-Forti, 1861-1931), 이탈리아 수학자. 서수의 가장 큰 수 파라독사(le paradoxe du plus grand ordinal en théorie des ensembles)

1862 델보(Victor Delbos, 1862-1916), 프랑스 역사 철학자. 박사논문: Essai sur la formation de la philosophie pratique de Kant, 1903.

1868 꾸뛰라(Louis Couturat, 1868-1914) 프랑스 철학자. 논리학자, 수학자. La Logique de Leibniz : d'après des documents inédits, Paris, Félix Alcan, 1901.

1872 러셀(Bertrand Russell, 1872-1970), 영국 철학자, 수학자, 논리학자.

1873 무어(George Edward Moore, 1873–1958), 영국 철학자, 관점에서 러셀, 비트겐슈타인 초기 프레게에 가깝다. ,

1874 레이몬트(Arnold Reymond, 1874-1958), 스위스 철학자. 논리학자. 로잔대학 총장,

1880? 뒤퓌미에(Henri Dufumier (18..[1880]-1917), 1905 철학교수자격 통과 \ 러셀의 객관주의 논리에 대해 논리적 실증주의.

*

*-*-394 주 없음.

*-*-395

395 1) [Couturat,] De l’infini mathématique, p. 361.

395 2) Ibid., p. 360.

*-*-396 주 없음.

*-*-397

397 1) Delbos, Bulletin de la Société françse de philosophie (27 février 1902), 2e année n° 4, p. 70.

[Bulletin de la Société françse de philosophie, Séance du 27 février 1902 : Sur les rapports de la logique et de la métaphysique de Leibniz. L. Couturat, V. Delbos, L. Brunschvicg, J. Lachelier,.]

*-*-398

398 1) Couturat, Les principes des mathématiques, 1905, p. 5.

398 2) Russell, Bulletin de la Société françse de philosophie, (23 mars 1911), IIe année n° 3, p. 59.

398 3) Russell, The Principles, § 389, p. 404, et Couturat, Les principes, p. 181.

398 4) Couturat, Communication au Congrès de Genève, Sur l’utilité de la logique algorithmique, résumée par l’auteur, Revue de métaphusique, 1904, p. 1044. Cf. Rapports et comptes rendus, 1905, p. 707.

*-*-399

399 1) Russell, The Principles, § 18, p. 16.

399 2) Couturat, art. cit., p. 1044.

399 3) [Couturat,] Les principes, p. 11. Cf. Russell, The Principles, § 16,p. 16.[위에서 § 18, p. 16.] Principia MathematicaWhitehead et Russell, vol. 1, Cambridge, 1910, p. 13, 정식은 또한 더욱 단순하다: “원초적 명제들: 진실한 전제에 의해 함축된 모든 것은 진실하다. 추론을 정당화하는 것은 규칙이다.”

399 4) [Couturat,] Loc. cit., Revue de Métaphysique et de Morale, 1904, p. 1045.

399 5) Ibid., § 38, p. 34. “이 원리는 … 형식적 진술을 회피한다. 그리고 형식주의 일반의 어떤 실패를 암시한다.”

*-*-400

400 1) Revue de Métaphysique et de Morale, 1904, p. 1046.

400 2) “내가 믿기로, 개념과 직관사이의 구별은 아래 구별처럼 환원될 수 있다. 유명론적으로 정의될 수 있는 모든 사물 x는 개념이다. 요청에 의해 또는 추상작업에 의해 정의되어야하는 모든 사물은, 말하자면 우리가 유명론적으로 정의할 수 없는 모든 사물은 직관에 속한다.” Burali-Forti, Sur les différntes méthodes logique pour la définition du nombre réel, Bibliothèque du Congrès international de philosophie (Paris, 1900), t. III, 1901, p. 296.

[1861 부랄리-포르티(Cesare Burali-Forti, 1861-1931), 이탈리아 수학자. 서수의 가장 큰 수 파라독사(le paradoxe du plus grand ordinal en théorie des ensembles).

400 3) Couturat, Les principes, p. 39.

[1858 페아노(Giuseppe Peano, 1858-1932), 이탈리아 수학자, 언어학자.]

400 4) Cf. Couturat, Les définitiones mathématiques, l’Enseignement mathématique, 1905, p. 30: “개념은 그 자체 복잡하다. 그것은 복잡성은, 말하자면 개념이 다른 개념들을 조성하는 방식은 정의하는 것에 의해서 표현된다. 그리고 그것의 단위(통일성)는 정의된 것에 의해 모습이 그려진다. 말하자면 사람들이 그것을 태어나게 하는 개념들의 조합을 어느 정도로는 보존하고 봉인하기 위하여, 그것에게 부과하는 새로운 이름에 의해 모습이 그려진다.”

*-*-401

401 1) [Russell,] The Principles, § 54, p. 50, “사실상 명제는 본질적으로 하나의 단위(통일성)이다. 그리고 분석학이 이런 통일성을 파괴했을 때, 구성하는 것들의 수나열(énumération)은 항상 명제를 회복할 수 없을 것이다. 마치 동사로서 사용된 동사가 명제의 통일성을 구현한다. 이리하여 동사는 항목처럼 생각된 동사로부터 구별되어야만 한다. 비록 내가 어떻게 이 구별로부터 정확한 자연[본연]을 분명하게 고려했는지를 알지 못한다고 하더라도 말이다.” 또한 §138, p. 141를 참조하라. “분석은 위조(falsification)이다.” Cf. Dufumier, Les théories logicométaphysiques de MM, B, Russell et G. E. Moore, Revue de Métaphysique et de Morale, 1909, p. 629.

[Henri Dufumier - 1909 - Revue de Métaphysique et de Morale 17 (5): 620–653.

[1880? Henri Dufumier (18..[1880]-1917), 1905 철학교수자격 통과 \ 러셀의 객관주의 논리에 대해 논리적 실증주의.]

401 2) “그 정의들은 우리들의 주제에 어떠한 부분도 아니다. 그러나 엄격히 말하자면, 단순히 인쇄상의 편리함이다.” [Russell,] Principia, p. 12.

typographic ( typographical ) 인쇄상의 [그래프 상의 전형적인]

401 3) [Couturat, Les définitiones mathématiques,] l’Enseignement mathématique, 1905, p. 31: Cf. Russell, Sur les axiomes de la géométrie, Revue de Métaphysique et de Morale, 1899, p. 701.

401 4) Pieri, Sur la géométrie envisagée comme système purement logique, Bibliothèque du Congrès international de philosophie (Paris, 1900), t. III, 1901, p. 377 et suivi. Cf. Couturat, Les principes, p. 2.

[1860 삐에리(Mario Pieri, 1860–1913), 이탈리아 수학자. 투영기하학 연구.]

*-*-402

402 1) Couturat, Les principes, p. 37.

402 2) Poincaré, La Science et l'Hypothèse, p. 257.

[쁘왕까레(Henri Poincaré, 1854-1912), 프랑스 수학자, 물리학자, 기술자, 철학자. La Science et l'Hypothèse, 1902; Science et Méthode, 1908; Dernières Pensées, 1913.

402 3) Cf. [Russell,] Principia, p. 13. “몇 명제들은 증명함이 없이 추정되어야만 하고, 그 이래로 모든 참조가 앞서 확인된 명제들로부터 진행한다. … 이러한 것은, 원초적 관념들 과 마찬가지로, 어느 정도로는 임의적 선택의 재료[질료]이다.”

402 4) [Leibniz,] Specimen caluli univeralis, G, VII, 219. [G. Gerhardt, 게르하르트 편집 판본]

“"Even if certain propositions are assumed at human discretion, such as the definitions of terms, from this nevertheless arises a truth that is by no means arbitrary, for at least it is absolutely true..." [AI: 비록 용어의 정의와 같은 특정 명제들이 인간의 마음에 따라 임의로 가정된다 하더라도, 거기에서 나오는 진리는 결코 자의적인 것이 아니다. 제시된 정의로부터 결론이 도출된다는 사실은 절대적으로 참이기 때문이다.] [

ex positis istis definitionibus oriri conclusiones, sive quod idem est, connexio inter conclusiones sive thermata et definitiones sive hypotheses arbitrarias est absolute vera. - « ... de ces définitions posées découlent des conclusions ; ou, ce qui revient au même, la connexion entre les conclusions, ou théorèmes, et les définitions, ou hypothèses arbitraires, est absolument vraie. » [제기된 정의들로부터 결론들이 흘러나온다. 또는 동일한 것으로 귀착하는 것인데, 결론들 또는 정리들 그리고 정의들 또는 임의적 가설들 사이의 연결은 절대적으로 진리이다.]

« Même si certaines propositions sont admises au gré des hommes, telles que les définitions des termes, il n'en découle cependant pas une vérité arbitraire ; car il est pour le moins absolument vrai que, à partir de ces définitions posées, naissent des conclusions ; ou, ce qui revient au même, la connexion entre les conclusions (ou théorèmes) et les définitions (ou hypothèses arbitraires) est absolument vraie. » [비록 몇 명제들이, 항목들의 정의들과 마찬가지로, 인간들의 취향에 따라 인정된다고 하더라도, 거기로부터 임의적 진리가 흘러나오지 않는다. 왜냐하면 제기된 정의들로부터 결론들이 흘러나는데, 또한 동일한 것으로 귀착하는 것지만, 결론들 또는 정리들과 그리고 정의들 또는 임의적 가설들 사이의 연결은 절대적으로 진리이기 때문이다.]

*-*-403

403 1) Couturat, Les principes, p. 46, n. 4.

[화이트헤드(Alfred North Whitehead, 1861-1947)]

*-*-404

404 1) [Russell,] The Principles, § 71, p. 71, “이리하여 인 것 같다. 그리고(and)를 마치 조합의 한정되고 유일한 한 종류인 것처럼 표현하는 것 가장 좋을 것 같다. … 이러한 유일한 종류의 조합은 미래에 개별자들의 덧셈(addition of individuals)이라고 이름 불릴 것이다.”

[1848 프레게(Gottlob Frege, 1848-1925) 독일 수학자, 논리학자, 철학자. 󰡔Les Fondements de l'arithmétique (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884)󰡕

404 2) [Russell,] The Principles, § 111, p. 115. Cf. Couturat, p. 47, Frege, Grundlagen der Arithmetik, 1884, § 68 et 73.

*-*-405

405 1) [Russell,] The Principles, § 128, p. 132. Cf. Couturat, 71, Pour la logistique, Revue de métaphysique, 1906, p. 227.

405 2) [Russell,] The Principles, p. 4.

405 3) Ueber Sinn und Bedeutung, Zeitschrift für Philosophie une philosophische Kritik, t. C, 1892, p. 25.

*-*-406

406 1) [Russell,] The Principles, § 73, p. 75.

406 2) Ibid., § 75, p. 81. “우리는, 항목을 갖진 않는 영 계층(null-class)이 허구라는 것을, 비록 계층-개념들이 전혀 없다고 하더라도, 동의한다.” 러셀은 영에 전념했던 문구가 요약한 이런 정식을 따라가며(§ 73, p. 73 et suiv.), 다음과 같은 반성으로부터, “비록 어떤 상징적 처리[논의]는 넓게는 계층-개념들과 내포와 더불어 작업해야한다고 하더라도, 그리고 계층과 외연은 수학들의 원리들에서 논리적으로 보다 근본적이라는 것이 전적으로 나타난다.” 이런 이론들의 논의를, Arnold Reymond, Logique et mathématiques, Saint-Blaise, 1908, p. 170 et suiv.에서 보시라.

[1874 레이몬트(Arnold Reymond, 1874-1958), 스위스 철학자. 논리학자. 로잔대학 총장, 원제:Logique et mathématiques: essai historique et critique sur le nombre infini, Saint-Blaise : Foyer Solidariste, 1908

406 3) Ibid., § 141, p. 145.

406 4) Ibid., § 342, p. 360, cf. § 71, p. 69: “논리적으로 외연적 정의는 마치 무한한 계층들에 동등하게 적용할 수 있는 것처럼 나타난다. 그러나 실천적으로 만일 우리가 그것의 시험을 시도한다면, 죽음이 우리의 칭찬할 만한 시도를, 그 죽음이 유종의 미를 거두기에 앞서, 중단하게 이를 것이다.” .

*-*-407

407 1) [Russell,] The Principles, § 71, p. 71.

407 2) § 101, p. 102. Cf. Frege, Grundgesetze der Arithmetik begriffsschriftlich abgeleite, t. II, Iéna, 1903, Nachwort, p. 253.

[Frege, Lois fondamentales de l'arithmétique (Die Grundgesetze der Arithmetik)],

407 3) [Russell,] On some difficulties in the theory of transfinite numbers ans order types, Proceedings of the London Mathematical Society, 4 (14):29-53 (1905)

407 4) [Russell,] Les paradoxes de la logique, Revue de Métaphysique et de Morale, 1906, p. 628.

*-*-408

408 1) [Russell,] The Principles, § 4, p. 5.

*-*-409

409 1) Revue de Métaphysique et de Morale, 1906, p. 316: et [Poincaré,] Science et Méthode [1908], p. 212.

409 2) Cf. International monthly, Burlington, (Vermont, E. U.[미국]), Juillet, 1901, p. 89.

409 3) Cf. [Burali-Forti,] Una questione sui numeri trasfiniti, Rendiconti del Corcolo matematico di Palermo, t. XI, 1897, p. 164.

409 4) Poincaré, Revue de Métaphysique et de Morale, 1906, p. 303; et [Poincaré,] Science et Méthode [1908], p. 201.

409 5) [Russell,] Revue de Métaphysique et de Morale, 1906, p. 633. [Les paradoxes de la logique, 1906]

*-*-410

410 1) [Reid,] Oeuvres complètes, trad. Jouffroy, t. II, 1828, p. 346.

[1710 리드(Thomas Reid, 1710–1796), 스코틀랜드 철학자. 스코틀랜드 상식학파 창설자.]

[1796 주프르와(Simon Joseph Théodore Jouffroy, 1796-1842), 프랑스 철학자. 꾸쟁의 절충학파.

410 2) [Russell,] The Principles, p. 4.

*-*-411

411 1) [Russell,] Revue de Métaphysique, 1906, p. 630.

(7:18, 58WKE), (정리, 7:01, 59RLH), (8:15, 59RMF)

책1912브룅슈1869수철인18.hwp

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