미적분을 하기위해 필요한 삼각함수와차수(어떻게 하지?)

[알람시계]

삼각함수 (三角函數 trigonometric function)

	요약
	직각삼각형의 한 예각에 의해 정해진 변 길이의 비, 이른바 삼각비의 정의를 일반각에 확장한 것. 이에 관한 덧셈정리 등의 성질이나 삼각형의 사인법칙·코사인법칙이 유도되어, 예로부터 측량문제 등에 응용되었다. 오늘날 삼각형이라고 하는 도형의 의미와 독립하여 수학의 연구대상으로서 확립되어 해석학에서 중요한 함수가 되었다.

	설명
	직각삼각형의 한 예각에 의해 정해진 변 길이의 비, 이른바 삼각비의 정의를 일반각에 확장한 것. 이에 관한 덧셈정리 등의 성질이나 삼각형의 사인법칙·코사인법칙이 유도되어, 예로부터 측량문제 등에 응용되었다. 오늘날 삼각형이라고 하는 도형의 의미와 독립하여 수학의 연구대상으로서 확립되어 해석학에서 중요한 함수가 되었다. 삼각비 ∠ 90°의 직각삼각형 ABC에서, 다음 6개 비의 값은 ∠ 의 크기만으로 정해지며 직각삼각형 ABC의 크기에는 관계가 없다〔그림 1〕. 이러한 비의 값을 각각 ∠ 의 사인·코사인·탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트라 하고, 이를 총칭하여 삼각비라 한다. 삼각함수는 삼각비의 개념을 확장한 것으로, 일반각 θ가 예각(0°＜θ＜90°)일 때는 삼각비의 정의와 일치한다. 삼각함수 평면 위에서 한 정점(定點;given point) 둘레의 회전을 생각할 때는 360° 이상의 각도도 고려된다. 또 회전 방향을 구별하기 위해 각에 양·음의 부호를 붙인다. 즉 시계바늘이 돌아가는 방향과 반대방향의 회전각을 ＜양의 각＞, 시계바늘이 돌아가는 방향과 같은 방향의 회전각을 ＜음의 각＞으로서 정한다〔그림 2〕. 를 양의 상수로 하여, 좌표평면 위에서 원점 O 둘레를 길이 의 선분 OP가 회전한다고 하고, 축의 양의 방향으로 일반각 θ만큼 회전시킨 경우의 점 P의 좌표를 라 하면, 다음 6개 비의 값은 θ만으로 정해지며 선분 OP의 길이 와는 관계가 없다〔그림 3〕. 즉, 이들 값을 θ의 함수로 간주하여 삼각비의 명칭에 대응시켜 각각 사인함수·코사인함수·탄젠트함수·코탄젠트함수·시컨트함수·코시컨트함수라 하며 총칭해서 삼각함수라 한다. sinθ와 cosθ는 모든 실수 θ에 대해서 정의되지만, 다른 함수에 관해서는 위 식의 분모가 0이 되는 점 P에 대응하는 θ는 정의역에서 제외시켜 고려한다. 이 2이상인 정수일 때, 또 이 경우에 한정하여, 예를 들면(sinθ) 을 sin θ라고도 쓴다. 다른 삼각함수에 대해서도 마찬가지이다. 삼각함수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다. 여기서부터 삼각함수의 변수 θ는 호도법에 따른 수치로 한다. tanθ와 cotθ는 π를 주기로 하는 주기함수이며 그 외의 삼각함수는 2π를 주기로 하는 주기함수이다. 또 sinθ, tanθ, cotθ, cosecθ는 기함수(odd function)이며 cosθ, secθ는 우함수(even function)이다. 또한 다음 식이 성립한다. 이 식과 ⑴ ⑵를 조합하면 tanθ, cotθ 등에 관한 같은 형식의 식이 쉽게 유도된다. 삼각함수의 덧셈정리 임의의 α, β에 대하여 다음과 같은 식이 성립한다(복호동순). 이것을 삼각함수의 덧셈정리라 한다. sin( )=sin cos cos sin cos( )=cos cos sin …(덧셈정리) 이 덧셈정리로부터 다음의 ＜배각공식＞＜삼배각공식＞＜반각공식＞, 사인·코사인의 ＜곱을 합·차로 고치는 공식＞＜합·차를 곱으로 고치는 공식＞이 얻어진다. sin2θ=2sinθcosθ cos2θ=2cos θ-1=1-2sin θ …(배각공식) sin3θ=3sinθ-4sin θ cos3θ=4cos θ-3cosθ …(삼배각공식) …(반각공식) 다음 공식은 ＜드 무아브르의 정리＞라 하며 복소수의 거듭제곱·거듭제곱근 등의 계산에 사용된다. 을 양의 정수, 를 허수단위라 하면, (cosθ＋ sinθ) =cos θ＋ sin θ 단진동 〔그림 3〕에서 OP가 일정한 각속도 로 회전한다고 하고, 시간 0일 때 θ=α라고 하자. P에서 축, 축으로 수선 PQ, PR를 내리면 점 Q, R는 각각 축, 축 위에서 시간 의 함수로서, cos sin 로 나타내어지는 운동을 한다. 위 의 식은, 로도 쓸 수 있으므로, 의 식과 본질적으로 같다고 생각해도 된다. 이와 같은 운동을 단진동이라 한다. 진자(흔들이)의 왕복운동은 진폭이 작을 때 이 식으로 나타낸다. 삼각함수의 미분·적분 이제부터 삼각함수의 변수는 각의 개념을 분리시켜 하나의 실수로 간주하여 문자 로 나타내기로 한다. 예를 들어 함수 sin 의 도함수를 sin 로 쓸 때, sin cos , cos －sin tan sec cot －cosec sec sec tan cosec －cosec cot 가 성립한다. 특히 cos 와 sin 는 모든 에 있어서 몇 번이라도 미분이 가능하며, 또 다음과 같이 멱급수로 전개할 수 있다. 위 미분법의 공식에서 그 역연산으로서의 부정적분 공식이 얻어지며, 특히 정적분에 관하여 다음의 ＜직교성＞이 성립하여 ＜푸리에급수론＞의 기초가 된다. 이 정수일 때 다음 식이 성립한다. 복소변수의 삼각함수 ⑷ ⑸에서 실수의 변수 를 복소수 로 치환하면, 우변의 멱급수는 임의의 복소수 에 대해 수렴한다. 이러한 멱급수로 복소변수 의 함수 cos , sin 를 정의하면 이들은 처음의 실수 의 함수 cos , sin 의 확장으로서 앞의 덧셈정리 등의 공식은 모두 복소변수의 함수 cos , sin 에 대해서도 성립한다. 또 복소변수의 지수함수, 을 이용하면, 로 되어, e 델 cos sin 가 성립한다. 특히 θ(θ는 실수)로 한 식, e cosθ＋ sinθ 를 ＜오일러의 공식＞이라 한다.

〔그림 4〕삼각함수의 그래프  

〔그림 3〕  

역삼각함수 (逆三角函數 inverse trigonometric function)

	요약
	삼각함수의 역함수의 총칭. 삼각함수는 예를 들면 =sin 에서 sin 30°, sin 45°, sin 60°, …와 같이 의 변화에 따른 의 값을 구하는 것이지만, 역삼각함수는 그 반대로 sin = 에서 의 값이 …으로 변화할 때의 의 값(角)을 구하는 것이다.

설명

삼각함수의 역함수의 총칭. 삼각함수는 예를 들면 =sin 에서 sin 30°, sin 45°, sin 60°, …와 같이 의 변화에 따른 의 값을 구하는 것이지만, 역삼각함수는 그 반대로 sin = 에서 의 값이 …으로 변화할 때의 의 값(角)을 구하는 것이다. 삼각함수의 사인·코사인·탄젠트 각각에 대응하는 역삼각함수가 있으며, 여기서는 역사인함수·역코사인함수·역탄젠트함수에 대해서 생각해 본다. 역삼각함수의 고찰이 중요한 것은 미적분법에서이며, 이러한 의미에서 각은 호도법(弧度法;라디안)을 이용한다.

⑴ 역사인함수:sin 는 －1부터 1까지 사이의 값을 취한다. 역함수를 생각할 경우는 이 함수가 1:1 대응이 되는 범위로 제한해서 정의역을 취해야 한다. 이를 위해 구간으로

－ /2 /2

를 취한다. 이 구간 내에서 sin 는 －1부터 1까지 증가한다. 따라서 －1 1을 만족시키는 에 대해 =sin 를 만족시키는 가 단 1개 정해진다. 이것을 에 대응시킴으로써 역함수 =sin (sin 는 인버스사인 라고 읽는다)가 정해진다. =sin 의 그래프는 =sin 의 그래프를 직선 = 에 관해 대칭으로 변환시킨 것이다〔그림 1〕. 또 =sin 는 －1 1에서 정의된 － /2에서 /2까지 증가하는 연속함수이다. 이 함수는 미분가능하며 도함수는 이다. =sin 를 만족시키는 일반적인 의 값은

= ＋(－1) sin

( =0, ±1, ±2, …)

로 주어진다.

⑵ 역코사인함수:cos 의 정의역을 0 로 생각하면 이 함수는 이 구간 내에서 1부터 －1까지 감소한다. 따라서 －1 1을 정의역으로 하는 역함수 =cos 가 얻어진다. =cos 는 －1 1에서 정의된 부터 0까지 감소하는 연속함수이다〔그림 2〕. 이 함수는 미분가능하며 도함수는 이다. =cos 를 만족시키는 일반적인 의 값은

=2 ±cos ( =0, ±1, ±2,…)

로 주어진다. 또한 sin ＋cos = /2이다.

⑶ 역탄젠트함수:tan 는 － /2＜ ＜ /2에서 모든 실수값을 취하는 증가함수이다. 따라서 역함수 y=tan 는 모든 실수값에 대해 정의된 － /2부터 /2까지 증가하는 연속함수이다〔그림 3〕. 이 함수는 미분가능하며 도함수는 =1/(1＋ )이다. =tan 를 만족시키는 일반적인 의 값은

= ＋tan ( =0, ±1, ±2, …)

로 주어진다.

〔그림 1〕  

차수 [次數, degree]

요약

수학용어.

본문

① 단항식(單項式)에 포함되어 있는 문자인수(文字因數)의 수를 그 단항식의 차수라고 한다. 이를테면, 5a³b²c에서 a가 3개, b가 2개, c가 1개이므로, 차수는 6차이다. 다항식(多項式)에서는 각 항의 차수 중에서 가장 높은 것을 그 다항식의 차수라고 한다. 또, 다항식의 차수를 정할 때, 한 종류의 문자에만 착안하여 그 문자의 가장 높은 것을 그 정식의 차수라고 하는 경우가 있다. 예컨대 4ax²y³은 a에 관해서 1차, x에 관해서는 2차, y에 관해서는 3차, x,y에 관해서는 5차, a,x,y에 관해서는 6차의 단항식이다. 또, 모든 항의 차수가 같은 다항식을 동차식(同次式)이라고 한다.

② 미분방정식이 미지함수 y＝f(x)와 그 미분계수 dy/dx에 관한 유리식(有理式)으로 되어 있을 때, 그 최고차의 미분계수의 멱지수를 그 미분방정식의 차수라고 한다. 예를 들면,

   

은 2계3차미분방정식이다. 다른 수학부문에도 각기 차수에 관한 정의가 있다.

출처:http://blog.naver.com/wwwgabang.do?Redirect=Log&logNo=40003293500

출처:http://100.naver.com/100.php?id=144444

미적분을 하고 싶은데 이런 것도 해야 돼는 군요 열심히 하겠습니다!

나머지 분들은 알고 있는 내용? 아마도 아시겠죠? 여기에 올려두면 제가 보기에 좋아서

[astronomer68]

알수없는 문양들이...사인 코사인 탄젠트 어쩌구 x y 어쩌구 이런건 알겠는데 나머지 문자는모르겠음;;;

[Great my life^^]

하이

[미적분은내밥]

얌마 너저거알고 갖다붙이는거냐? ㅡㅡ; 삼각함수덧셈정리는정말 외우기도 짜증나고..ㅡㅡ; 아 중3 삼각비배우기전엔 이거 외계인어인줄알았는데..ㅋ 그때가 생각나는군 ㅡㅡ;

[Saint Luria]

[...] 정말, 좋은설명... /ㅅ/