48÷2(9+3)
위 식을 계산한 답은 무엇일까요?
2라고 대답하는 분도 계실 거고,
288이라고 대답하는 사람도 있을 겁니다.
이는 연산 순서를 어떻게 하느냐에 따라
해답이 달라집니다.
오늘은 수학의 '연산' 중
덧셈(더하기), 뺄셈(빼기),
곱셈(곱하기), 나눗셈(나누기)
4가지 사칙연산 하는 법과
기호를 알아보고
섞여있을 때 어떤 순서로
계산하는 지까지 알려드리겠습니다.
사칙연산이란?
사칙계산이라고도 하는 사칙연산은
산수의 기본에 해당하는
더하기 빼기 곱하기 나누기
4가지 연산을 일컫습니다.
한자로 표현하면
가감승제(加減乘除)라고도 하죠.
우리나라 수학 교육과정에서는
초등학교 1~5학년에 걸쳐서
자연수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은
연산수학을 배우게 됩니다.
가장 기본이 되는 연산으로서
두 숫자를 합하여 계산합니다.
덧셈 기호는 +(플러스)를 사용합니다.
더하기 기호는
라틴어 et을 간략히 쓰는 과정에서
‘+’이 되었다고 하네요.
초등 입학과 동시에 배우게 되지만
고학년 이후에는
따로 설명할 필요 없이
직관적으로 이해하기 쉽죠.
처음 더하기 하는 법 배울 때는
둘로 나눠서 가르칩니다.
하나는 첨가의 개념이에요.
3개가 가만히 있는 상황에서
2개가 더 오면
얼마인지 셈하는 방법입니다.
또 하나는 합병의 개념입니다.
3개와 2개를 합쳐서
한꺼번에 몇 개인지 세는 방식이죠.
앞서에서 자연수 뜻에 관한 글
‘페아노 공리계(Peano公理系,
Peano’s axioms, 수리논리학에서
자연수 체계를 묘사하는 공리들)를
설명한 적이 있는데요.
덧셈도 페아노 공리계에 따라서
다음과 같이 정의가 가능해요.
참고로, S(a)는
a의 다음수라는 뜻으로
이해하시면 돼요.
(어려우면 패쓰하세요.)
1. 0 + b = b |
2. S(a) + b = S(a+b) |
뺄셈은 덧셈과 더불어
기본이 되는 연산이고
앞의 숫자에서 뒤의 숫자만큼
빼면 됩니다.
뺄셈 기호는 -(마이너스)를 사용하죠.
빼기 기호는 minus의 m을
흘려 쓰다가 만들어졌다는
설이 있어요.
초등 과정에서는
더하기를 배우고 나서 바로 배웁니다.
제가 어렸을 때를 떠올려보면
두 자리수 이상의 뺄셈을 할 때
뒤의 자리수에서
작은 숫자에서 큰 숫자를 빼야 할 때
받아내림하는 것이 어려웠던
기억이 있어요.
21-8이나 32-6 이런 거요.
그래서 뺄셈보다 덧셈을 더 좋아했어요.
뺄셈을 하는 법
쉬운 버전으로 알려드릴게요.
같은 단위에서
큰 수에서 작은 수 빼는 것은
어렵지 않아요.
9-2, 8-5, 60-30 이런 계산은
바로 답이 나오죠.
하지만 위에서 말했던
31-19, 77-38, 154-85 이런 것들은
작은 수에서 큰 수를 빼는
받아내림을 하기 때문에 느려져요.
그래서 더 익숙한 방식으로
바꿔서 생각하면 쉽습니다.
31에서 19을 빼는 건
20을 빼고 1을 더하는 계산과 같죠.
77에서 40을 빼고
2을 더하는 것으로 생각하면
더 빠른 계산이 가능합니다.
154에 100을 빼고
15를 더하는 게
직접 85를 빼는 것보다 빠르죠?
뺄셈을 통해서
나중에 음수의 개념으로 확장되면서
드디어 인류는
자연수를 벗어나
추상적인 수의 세계를 접하게 되었다는
점에서 중요해요.
음의 정수의 개념을 알게 되는
중학교 이후에는
빼기는 음수를 더하는 것과
같다는 것으로 이해하게 되죠.
곱셈 뜻은
어떤 수를 뒤의 숫자만큼
거듭해서 더하는 연산입니다.
곱셈 기호는
더하기 빼기 기호와
달리 다양하게 써요.
곱하기 기호는 ×, · , * 등이 쓰이며
문자와 숫자 또는
문자와 문자를 곱할 때는
생략해서 사용하기도 해요.
보통 초2 때 처음 배우며
구구단을 외우면서
처음 접하게 되죠.
암기로 시작하는 것이
아쉽긴 하지만
곱셈구구는
앞으로 음수나 분수를 곱하게 되는
중학교 이후부터는 유용합니다.
처음에는 자연수를 곱하니까
덧셈의 반복으로
곱하기 뜻을 이해하는데
나중에는 매번 이해하기 어렵고
계산도 느려지니까
구구단을 외우면 좋죠.
공간을 다루는 기하학에서
곱셈은 차원을 확장하는 연산이 됩니다.
길이(1차원) 끼리 곱하면
면적(2차원)이 되고
한 번 더 곱하면 부피(3차원)가
되는 식이죠.
개인적으로 수학 공부하면서
곱셈 하는 법은
직사각형의 넓이로 시각화해서
생각하는 것이
많은 도움이 되었던 것으로 기억해요.
곱셈공식이나
경우의 수 등에서
특히 그런 편인데
앞으로 수학 관련 포스팅을 하게 되면
더 소개해보겠습니다.
나눗셈은
네 연산 중에
마지막에 배우는데요.
그만큼 저도 처음 배울 때
가장 어렵게 느꼈던 것 같아요.
의미를 직관적으로 이해하기도 어렵고
계산도 적절한 몫을 추측하면서
곱셈을 반복하면서
빼는 과정은
다른 연산에 비해서
압도적으로 복잡했어요.
나눗셈 기호는 보통
÷(오벨루스, Obelus)를 많이 쓰는데요.
분수 꼴로 보이는 빗금(/)인
나누기 기호도 많이 쓰이는 것 같아요.
나눗셈은 분수로 연결되기 때문이죠.
나누기 뜻을 처음 배울 때
몫과 나머지라는 개념이 나오는데
중학교 이후로는
주로 분수의 일부로 보면서
그 개념 자체를 잊어 버릴 정도로
잘 안 쓰게 되죠.
(실제로 나머지를 이용해서
2띠 계산하는 법을 올린 포스팅에서
나머지를 구하는 법에 대해
묻는 분들이 계셨어요.)
나눗셈 하는법은
곱셈의 반대로 생각하는 것이 쉬워요.
곱할 때 사각형 넓이로 생각했다면
나눌 때는 사각형의 한쪽의 길이를
생각하는 식이죠.
제가 나누기에 대해서
깊게 생각하게 된 것은
의외로 고등학교 수학의
그래프의 기울기와
미분을 정확하게 이해하려는
노력에서 비롯되었던 것 같아요.
그만큼 어려웠지만
제대로 이해하면
나중에 남들이 힘들어하는 문제를
제대로 이해하고
풀어낼 수 있는 사고력이 생기죠.
사칙연산 순서
여러 사칙계산이 섞여 있을 때
무엇을 먼저 해야되는지
연산의 우선순위가 정해져 있어요.
수식의 계산은
왼쪽에서 오른쪽으로
차례대로 하되,
괄호를 우선으로 하고
곱셈과 나눗셈을
덧셈과 뺄셈보다 먼저 합니다.
괄호도 종류에 따라 순서가 있는데
소괄호()가 먼저,
중괄호{}가 그다음,
대괄호[]가 다음이에요.
여기에 지수 계산까지 합쳐서
영어권에서는 괄호(Parentheses) >
지수(Exponents) >
곱셈,나눗셈
(Multiplication and Division) >
덧셈,뺄셈
(Addition and Subtraction)을 줄여서
PEMDAS라고 부르기도 해요.
사칙연산 순서 문제로 유명한 것이
'두뇌 풀 가동!'이란 밈으로도 유명한
2더하기2곱하기2(2+2×2)입니다.
어렵지 않죠?
8이 아니라 6입니다.
48÷2(9+3) 해답
앞서 소개한 사칙연산
문제 기억하시나요?
48÷2(9+3)를 한 번 풀어볼게요.
이건 예전에 인터넷 커뮤니티에서
굉장히 논란이 되었던 문제에요.
각각 정답이 되는 이유를 설명해볼게요.
답이 2라고 주장하는 사람은
2(9+3)을 먼저 해서
24를 구한 뒤에
48에서 나눴기 때문에
2가 나옵니다.
앞서 곱하기는 생략될 수 있다고 했는데
괄호가 있는 상태에서 생략되면
그 자체로 하나의 항으로 묶어서
취급이 가능하고
괄호가 있는 것과 마찬가지로
볼 수 있다는 입장이죠.
실제로 (9+3)을 문자 χ로 바꾼다면
48÷2χ가 되는데
저걸 48÷2를 한 후에
χ를 곱해서 24χ로
계산하지는 않으니까요.
답을 288이라고 말하는 사람은
2와 괄호(9+3) 사이에는
곱하기가 생략되었을 뿐이고
왼쪽부터 계산하면 된다고 말합니다.
2가 되려면 48÷{2(9+3)}처럼
없던 중괄호가 갑자기 생겨야 하는데
곱하기가 생략될 수는 있어도
괄호가 생략될 수 없기 때문에
2(9+3)를 먼저 계산할
근거가 없다는 주장이죠.
제 생각을 말씀드리자면
문제가 잘못 만들어졌다고 생각합니다.
수학은 국어와 달리
여러 뜻으로 해석될 수 있도록
문제가 만들어지면 안 됩니다.
엄밀하게 정의된 기호를 바탕으로
모호함이 없도록
수식을 만들어야죠.
만약 답이 288이라면
48÷2×(9+3)로,
답이 2면 48÷{2(9+3)}로
기재를 하면 되는데
굳이 논쟁의 소지가 있도록
곱하기 기호를 생략해서 만든 것이죠.