<P>5차 이상은 근의 공식이 없죠. 왜 그런지 알려면 군론 책 한권을 다 공부해야 하는겁니까?</P>
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<P>갈루아가 5차이상의 대수방정식의 근의 공식이 없다는 것을 증명하기 위해 군론 책 한 권을 쓴 것은</P>
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<P>아니겠죠? 전체적인 아이디어가 궁금합니다. 갈루아의 증명분량은 어느 정도 일지도 궁금합니다.</P>
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<P>나중에 종합자료실에 왜 5차 이상의 근의 공식이 없는지 논리적으로 설명한 자료가 올라 오기를 간절히 </P>
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<P>기대해 봅니다.</P>
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아벨은 5차 방정식 중 근호와 사칙연산만을 이용해서 일반해를 표현할 수 없는 예를 찾은 것이고, Galois는 구체적으로 어떤 녀석들이 되는지, 안되느지를 구분할 수있는 이론을 세웠죠. 사실 역사적으로보면 아벨이 증명하기 전 거의 완성단계에 있었습니다. 그즈음 이미 일반적인 5차방정식은 근호만 사용하는 근의 공식이 없다는 것을 거의 대부분의 수학자들이 믿었고, 증명했다는 사람도 있었구요. 아벨의 증명역시 그 틀을 거의 벗어나지 않았죠. 그 연장선 상에서 Galois theory로 최종 완성된 것이구요.
기본 아이디어는 Lagrange가 생각한 '근들의 permutation의 성질'을 근간으로 하고 있습니다. Lagrange는 임의의 3차 방정식의 세 근을 a,b,c라 하고, z^3=1의 세근을 1,w,w^2 이라 하면, a + bw + cw^2 꼴의 6개의 수(a,b,c를 permutation에서 나온 수)가 단지 2개의 값만을 갖는다는 성질로부터 3차 방정식의 근의 공식을 유도했거든요. 그 아이디어를 따라 100년 넘게 연구하다 최종 결실을 맺은게 Galois theory죠.
첫댓글 체론을 공부하셔야죠; 증명분량은 상당히 깊니다. 군론에 관한건 Solvable group이 뭔지만 알면 됩니다.
solvable group 에 대해서 간단히 설명해 줄 수 있나요?
5차 이상은 갈루아가 아니라 아벨인듯..근데 증명은 그러보니 나도 궁금하네 ㅋ
아벨이 5차방정식의 근의 공식이 없음을 증명하고 갈루아가 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 없다라는 것을 밝히지 않았나요? 아니면 ㅈㅅ
아벨은 5차 방정식 중 근호와 사칙연산만을 이용해서 일반해를 표현할 수 없는 예를 찾은 것이고, Galois는 구체적으로 어떤 녀석들이 되는지, 안되느지를 구분할 수있는 이론을 세웠죠. 사실 역사적으로보면 아벨이 증명하기 전 거의 완성단계에 있었습니다. 그즈음 이미 일반적인 5차방정식은 근호만 사용하는 근의 공식이 없다는 것을 거의 대부분의 수학자들이 믿었고, 증명했다는 사람도 있었구요. 아벨의 증명역시 그 틀을 거의 벗어나지 않았죠. 그 연장선 상에서 Galois theory로 최종 완성된 것이구요.
기본 아이디어는 Lagrange가 생각한 '근들의 permutation의 성질'을 근간으로 하고 있습니다. Lagrange는 임의의 3차 방정식의 세 근을 a,b,c라 하고, z^3=1의 세근을 1,w,w^2 이라 하면, a + bw + cw^2 꼴의 6개의 수(a,b,c를 permutation에서 나온 수)가 단지 2개의 값만을 갖는다는 성질로부터 3차 방정식의 근의 공식을 유도했거든요. 그 아이디어를 따라 100년 넘게 연구하다 최종 결실을 맺은게 Galois theory죠.
a + bw + cw^2 꼴이 단지 2개만 나오나요? (abc)≡a + bw + cw^2= k 라 둘때,(cab)=kw ,(bca)=kw² 가 되어 별써 3개의 다른 값을 가지는거 아닌가요?
그러게요. 왜 다를까요? http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html 여기서 봤던 것인데, 아마 잘못나온게 아닌가 싶습니다.
그렇군요. 아벨이 증명하기 전에 거의 완성단계였다면 왜 가우스가 아벨의 증명을 보지도 않고 버렸는지 궁금하네요?
공식있는데 어려울뿐이라고 들었어요
이 증명은 누구한테 물어보는것보단 그냥 책으로 보시는게 맞아요. 증명이 꽤 깁니다.
갈루아 그룹의 solvability와 직접적으로 연관되어있습니다.