<FONT face=굴림체 size=2>어떤 n by n matrix A가 positive semidefinite 이라고 말할 때, X A X^T >= 0 라고<BR> 합니다. <BR><BR> 이 때, X=(x1,x2,..,Xn), X^T=X transpose. <BR><BR> 이때 만일 같은 size의 두개의 matrix A, B 가 positive semidefinite인 경우, 당연<BR>히 A+B 도 positive semidefinite 입니다. 이것을 quadratic form을 사용하면 너무 <BR>당연한 이야기 인데, 직접 3 by 3 matrix에 대해 계산해 보면 잘 증명이 안되네요. <BR><BR><BR> 그러니까, A= (a11 a12 a13 B= (b11 ~~~) <BR> a12^* a22 a23<BR> a13^* a23^* a33 ), <BR><BR> 라고 놓고, det(A+B) >=0 이라는 것을 증명하는 것이 당연하게 쉬울 줄 알았는데, <BR>잘 안되는 것 같습니다. <BR><BR> 직접 matrix의 element 들을 집어넣고 계산해서 증명할 수 있을까요?</FONT><BR>
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결국 자기 자신의 determinant도 0보다 크거나 같아야 합니다. 2 by 2의 principle submatrix의 determinant가 0보다 크거나 같음을 증명하는 것이 어렵지 않았는데, 자기 자신의 determinant가 0보다 크거나 같음의 증명이 쉽지 않았다는 것입니다.
지금 생각나는 것은 케일리-해밀턴 정리 쓰는거. 그러니깐 nxn matrix A 에 대해 (A-λI)x=0 을 λ 에 대한 고차방정식으로 전개하면 (-1)ⁿλ ⁿ +(-1)^(n-1)* trace(A)*λ ^(n-1) + ...+ det(A)=0 , 여기서 근과 계수의 관계에 의해 λ_1*λ _2*...*λ _n=det(A), 근데 positive semidefinite 의 고유값은 0과 같거나 크므로 det(A)≥0, 이렇게 접근하면 안될까요? 기억이 가물가물해서 자세히는 설명 못하겠네요. 그냥 참고만 하시길.
첫댓글 det가 양수인 것과, positive definite는 동치가 아닙니다.
저도 질문이 약간 쌩뚱 맞다는 느낌을 받았음. prinsipal submatrix 의 행렬식이 0과 같거나 커야하죠.
제가 positive semidefinite를 이야기 하려다 보니 너무 축약시켰군요. positive semidefinite는 모든 principle minor가 다 0보다 크거나 같아야 하지요.
결국 자기 자신의 determinant도 0보다 크거나 같아야 합니다. 2 by 2의 principle submatrix의 determinant가 0보다 크거나 같음을 증명하는 것이 어렵지 않았는데, 자기 자신의 determinant가 0보다 크거나 같음의 증명이 쉽지 않았다는 것입니다.
지금 생각나는 것은 케일리-해밀턴 정리 쓰는거. 그러니깐 nxn matrix A 에 대해 (A-λI)x=0 을 λ 에 대한 고차방정식으로 전개하면 (-1)ⁿλ ⁿ +(-1)^(n-1)* trace(A)*λ ^(n-1) + ...+ det(A)=0 , 여기서 근과 계수의 관계에 의해 λ_1*λ _2*...*λ _n=det(A), 근데 positive semidefinite 의 고유값은 0과 같거나 크므로 det(A)≥0, 이렇게 접근하면 안될까요? 기억이 가물가물해서 자세히는 설명 못하겠네요. 그냥 참고만 하시길.