회전체와 걻넓이를 구할 때와 부피를 구할 때 왜 구분구적하는 도형이 다른거죠

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회전체 곡면적을 구할 때는 원뿔대로 구분구적하고..
회전체의 부피를 구할 때는 원기둥(주면체)으로 구분구적하잖아요.
 회전체의 곡면적을 구할 때 원기둥으로로 분할할 때와 원뿔대로 구적할 때
원기둥으로  분할시 걻넓이<원뿔대로 분할시 걻넓이 이므로 적어도
회전체의 곡면적을 구할 때 원기둥으로 분할하면 안된잖아요?
그럼 여기서 왜 원뿔대로 분할 하면 되는거죠???

좀 웃기잖아요?
리만합으로 정적분을 구할 때, 이런 도형으로 구분구적한 것의 리만합의 극한이 정적분 값이다.
라고 쭉 배워왔는데요.  중학교 때도 그랬고 대학와서도 그렇고,,.,,
그렇다면 회전체의 곡면적 역시 직관(원기둥으로 분할)이 성립해야 하는데, 그렇지 않잖아요??
그럼 지금까지 직사각형, 원주각, 원기둥, 주면체  등등으로 구분구적해왔는데
이런것으로 구분구적해도 된다라고 정의하기 전에, 왜 이런것으로 구분구적하면 정적분값과 같다라는 것을
먼저 설명해 주어야 하는거 아닌가요???
회전체곡면적 공부하다가 좀 어이가 없어서 질문드려요~

[비는아픔]

정확히 뭘 물으시는지 모르겠지만...; 3차원상 곡면의 area의 '정의'는, 곡면을 매개화하는 좋은 함수 T(s,t)=(x,y,z)가 있다고 할 때 doubleintegral [ llT_s x T_t ll ds dt] (단 x는 cross product이고 T_i는 T를 i로 편미분한것) 이고, 예를들어 어떤 함수 y=f(x)에 대한 x축 회전체의 경우 그러한 함수를 T(s,t) = (s, f(s) cos t, f(s) sin t)로 잡을 수 있으며 이것의 cross product의 norm을 계산하면 f(s) sqrt(1 + f'(s)^2)이고 결국 integral [2pi f(x) * sqrt(1+f'(x)^2) dx]의 적분과 같게되는데 f(x)를 반지름, sqrt(1+f'(x)^2)dx를 작은빗변(?)으로 생각하면 결국 원뿔대로 근사하는 것이 합당하다는 직관적 이해를 줍니...다...

[비는아픔]

그러니까 닥치고 원뿔대다고 말하는 것이 아니라는것이죠... 3차원상 회전체의 volume을 생각했을때도 마찬가지의 계산을 통해 직관적으로 원기둥으로 근사시켜야 겠구나! 라는 근거를 줍니다. 물론 엄밀하게 증명하려면 영역을 rectangle로 쪼개서 1로 보내는 함수의 sup과 inf 등등을 열심히 계산하여 리만합구해야겠지만 생략~ 아, 또 하나의 이유를 들자면, 원기둥의 옆넓이로 근사할 때, 큰 원기둥과 작은 원기둥 사이의 곡면의 area는 큰 원기둥 옆넓이와 작은 원기둥 옆넓이의 사이에 온다는 보장이 없기 때문에 결국 조여지지가 않다는 것이랄까요..

[푸른하늘]

윗분 말씀이 맞습니다. 구의 겉넓이를 예로 들어보면 원기둥으로 분할할 때 구의 표면적이 큰 원기둥과 작은 원기둥(리만적분 처음 배울때 상한과 하한을 생각) 사이에 들어오지 않고, 큰 원기둥보다도 오히려 클 수 있기 때문입니다. 원뿔대로 분할하면 그런 일이 없어지구요. 뭘로 자르든간에 원하는 면적(혹은 부피)이 큰 것과 작은 것 사이에 들어오고, 큰 것과 작은 것의 극한이 같으면 됩니다. 원기등, 직사각형 이런게 계산하기 편하고, 위의 조건을 잘 만족해서 사용한거죠. 이런 내용은 skip해서 문제지 교과서 등에 다 나오긴 합니다.^^