우주의 비밀 구구표에 있다

[박종구]

구구표는 구구법(九九法)으로 줄여서 구구(九九)라 하기도 한다. 지금 50대 이상은 교실 청소를 할 때 양초나 들기름 바른 나무 바닥을 마른 걸레로 닦으면서 이이는 사(2x2=4), 이 삼은 육(2x3=6)소리를 내며 구구법을 외웠던 것이 기억 날 것이다. 이 때 는 구구법을 구구단(九九段)이라 했다. 2단, 3단, 4단···9단이기 때문이다.

구구법은 곱셈을 할 때 기본이 되지만 나눗셈도 구구법을 알 면 쉽게 할 수 있다. 구구법을 왜 구구법이라 했고 언제부터 사용 했느냐는 정확한 기록은 없으나 중국에서부터 쓰였다고 본다. 지금과 같은 구구표가 아닌 2x2=4인 경우 한문숫자 二를 두 개사용하여 2x2=4를 나타내는 식이다.

옛날에는 구구법을 귀족에게만 독점 사용 했다든지, 아무나 알아서는 안 되기 때문에 구구 팔십일(9x9=81)부터 암송을 했느니, 심지어는 중국 한(漢)나라 때의 서적에서 81인 경우 9·9-81등으로 기재 된 것이 나왔다는 등 여러 가지 의견이 있으나 정확한 근거는 없다.

우리나라 에서는 정월 초하루에 윷놀이를 하다가 이긴 편이 춤을 추면서 구구법에 좇아 부르는 노래 구구가(九九歌)있으며 또 다른 흥부전에 나오는 구구가 일부는 이렇다.

‘구구팔십 일광로는 정송자 찾아가고

팔구칠십 이태백은 채석강에 완월하고

칠구육십 삼천선자 학을 타고 놀아 있고‘

흥부전은 조선 중기에 불렸던 흥보가(興甫歌)로 판소리 다섯 마당 가운데 하나였던‘박타령’의 다른 노랫가락이기도 하다. 흥보가를 박타령으로 개작 한 것은 1870년대로 추측하니 흥부전의 구구가는 조선 후기에 나온 것으로 본다. 그러나 그 이전에도 오늘날의 구구표는 아니지만 이와 흡사한 구구표는 우리나라에서도 오래전부터 있었을 것이라는 생각이다.

지금은 구구단이 아닌 19단 까지 암기 하는 사람이 있는가 하면 19단 까지 쓰고 있는 사람도 있다. 그렇다면 왜 구구표라는 했을까. 9x9=81이니 때문에 구구표이다. 그러나 그 구구표 속에는 우주의 원리가 들어있다는 것을 아는 사람은 별로 없다.

아라비아 숫자 1,2,3,4,5,6,7,8,9가 사용 된 후에 ‘0’이 발견되어 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0이 되었다. 여기서 ‘0’은 ‘10’이며 10은 1과0의 집합이다(1+0). 그러나 알고 보면 ‘0’은 사용 하지 않았을 뿐이지 그 이전에도 있었다.

영어로 ‘zero'인 ’0‘은 ’영‘이라 읽는다. 그렇지만 ’◯‘은 무엇이라 읽는가?

‘영’이 아닌 ‘공’이다. 영은 ‘零’이고 공은 ‘空“이다. 그러니까 ’zero'를 ‘空’이라는 말 보다는 ‘영’이라는 의미로 더 많이 쓴다.

그런데 한문숫자가 나오기 그 이전에 10이 있었다. ‘○’의 흰색과 ‘●●’의 검은색으로 시작 되어 아홉 개의‘◯◯◯◯◯◯◯◯◯’과 ‘●●●●●’이 위(上)·아래(下) 둘로 열 개의 검은 점이다. 이것은 하도(河圖)와 낙서(洛書)에 나오는 점들이다. 지금으로 말 하면 1,3,5,7,9 홀수는 흰점(○)이고 2,4,6,8,10 검은 점(●)은 짝수다. 그러니까 이미 오래전부터 ‘0’이 있었다. ‘◯’이나 ‘●’이 ‘0’이 아니고 무엇이냐? 이해를 돕기 위하여 ‘0’을 컴퓨터로 축소를 해 보겠다. ‘0’ 바로 앞 에 글자는 ‘0’을 3포인트로 축소 한 것이다. 이것 보다 더 줄이면 검은 점으로 남는다. 수학사 기록은 인도에서 제로 기호‘0’을 876년경부터 사용 했다고 하지만 이미 그 이전부터 ‘空’은 있었다. 그 때 공은 ‘◯’이었다.

그림1은 구구표다.

①	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

                             (그림1)

구구표는 1에서 9까지의 정수 중복을 허락하여 둘 씩 취한 순열의 수가 81가지로 승수와 피승수를 구별하여 두 수의 곱을 만들면 그림1과 같은 표를 만들 수 있다. 그런데 곱하는 두 수를 서로 바꾸어 곱해도 곱은 같다는 곱셈의 ‘교환의 법칙’ 즉, axb=bxa에 의하여 실제로는 45가지만 있으면 된다. 이것은 그림1의 고딕체 1(①),4,9,16 25 36 49 64 81을 지나는 사선 중앙을 접으면 같은 수 끼지 좌·우측 상·하단이 대칭으로 만나는 것을 확인 할 수 있다.

그림2는 10,11,13단이다.

10단 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

11단 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121

13단 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169

                     (그림2)

10단은 1단 1,2,3,4,5,6,7,8,9를 10으로 곱한 셈이다. 11단을 보자. 10단과 마찬가지로 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11을 11로 곱한 셈이다. 11단을 자세히 보면 1단과 10단의 합이라는 것을 알 수 있다. 즉, 11단의 11은 1단의 1과 10단의 10이 더하기를 하여 11이 된 것이다. 13단은 10단과 3단의 합이다. 여기서 13단을 예를 들어보기로 한다.

13단은 10단과 1단의 합이라 했다. 1단은 1,2,3,4,5,6,7,8,9이며 3단은 3,6,9,12,15,18,21,24,27이다. 여기서 10단은 십 자리이고 1단은 1자리다. 이것을 제 자리를 찾아 옮긴 것이 그림3이다. 10단과 3단을 위·아래 더하기를 하면 13단이 된다.

    10  20  30  40  50  60  70  80  90······10단

     3   6    9  12  15  18  21  24  27······ 3단

합 13  26  39  52  65  78  91 104 117······13단

                    (그림3)

여기서 10단 이상을 잠깐 언급하게 된 이유는 구구표가 기본이 되기 때문에 아무리 많은 수라도 구구표의 이 원리를 벗어날 수 없다는 것을 증명하기 위해서다.

아무것도 주어지지 않은 상태에서 당신에게 하늘을 한 번 그려보라고 하면 무엇을 그릴 까?

대부분이 하늘을 원(◯)으로 표시를 할 것이다. 하늘을 그렸으니 이 번 에는 땅을 그려보라고 하면 네모(□)를 그릴 것이다. 그런데 사람을 그려보라면 삼각형(△) 생각이 언뜻 나지 않을 것이다. 그러나 의식적으로 ‘人’자를 그릴 수 있다. 그 인자가 ‘사람 인’이기 때문이고 삼각형을 가장 닮은 한자가 ‘亼(삼합 집)’이다.

구구표를 보자.

제일 먼저 보이는 것이 1,9,9,81을 네 꼭짓점을 가진 정사각형 네모다. 구구표 중앙선을 잇는 사선 1,4,9,16,25,36,49,64,81이 무엇인가? 4각수라는 것을 알 수 있으며 좌·우, 상·하로 두 개의 삼각형이 된다. 그림4는 그림1의 구구표에서 ①을 기준으로 하여 오른쪽(右)과 아래쪽(下)1,2,3,4부분만 그대로 옮긴 것이며, 그림5는 그림4를 우측으로 45° 눕혀 변경 시킨 것이다.

① 2 3 4                                ● ······1

2 4 6                                  ● ● ······3 (1+2)

3 6               ⇨                  ● ● ● ······6 (1+2+3)

4                                   ● ● ● ● ······10 (1+2+3+4)

(그림4)                                      (그림5)

그림5는 이렇다. 1,2,3,4 즉,1에서 4까지다. 1에서 4까지 더하기를 하면 10이다. 4는 1,2,3,4,5,6,7,8,9에서 5가 중심수가 되어 1,2,3,4,5를 주역에서는 생수(生數)라 하는데 여기서 1,2,3,4는 10을 이루는 수가 된다. 1에서 5까지 합 15(1+2+3+4+5=15)는 다섯 번째 3각수이며, 1과5를 그대로 더하기를 하면 6이다(1+5=6).

그림6은 그림5 3각수 1,3,6,10을 5번째 삼각수 15까지 피라미드로 그린 것이다.

이렇게 했을 때 그림6은 1,2,3,4,5를 밑변으로 하고 1,3,6,10,15를 빗변으로 하는 직각삼각형이 된다. 빗변 화살표(↘) 방향으로 읽으면 내선(內線) 1,2,3,4,5와 외선(外線:삼각수) 1,3,6,10,15를 보고 1,2,3,4,5와 삼각수 관계를 한 눈에 이해를 할 수 있다.

1=1 ↘

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

   (그림6)

그림7의 ①은 1단이고 ②는 그 역순이다.

1   2   3   4   5   6   7   8   9 ······ ①

9   8   7   6   5   4   3   2   1 ······ ②

              (그림7)

①과 ②를 위·아래 더하기를 하면 모두 10이다. 여기서 5가 정수 중복(5·5)으로 중심 수를 이루고 있다는 것을 알 수 있다.

그림7에서 ‘9’를 빼고 ①과 ②를 위·아래 홀·짝수 서로 짝을 이루어 정리를 한 것이 그림8이다.

→

1   2   3   4   5   6   7   8

8   7   6   5   4   3   2   1

                             ←

              (그림8)

위·아래로 더 하면 모두 ‘9’가 된다. 무엇인가? 화살표 방향(→)을 따라 가면 원(◯)이 그려진다. 태극이다. 이렇게 구구표 81방에는 ‘○,□,△’ 모든 것이 숨겨져 있다.

그림8 위·아래 서로 만나는 숫자는 이렇다.

18,27,36,45,54,63,72,81. 무엇인가? 요즈음은 초등학교 들어가기 전에 이미 구구표를 암기 할 줄 안다. 그러나 그림8을 보고 9단이라는 것을 모르고 있다. 아니 모르는 것이 아니고 9단이라는 것이 보이지 않았던 것이다.

1,2,3,4,5,6,7,8,9의 중심수는 5가 되지만 그림8과 같이 1,2,3,4,5,6,7,8이 될 경우는 중심수가 45와 54가 된다. 45와 54는 4와5가 서로 정수의 자리가 바뀐 것이다. 이럴 경우는 중심 수 45와 54 둘을 같이 쓸 수가 없기에 그림9처럼 바뀌었다. 그림9 중심선(┃) 좌측을 화살표 방향을 따라 읽으면 1,2,3,4,5,6,7,8이 시계방향으로 원(◯)을 그리고 우측은 그 역순으로 원을 그리고 있다. 아울러 18은 81과, 27은 72,36은 63 그리고 45는 54로 앞과 뒤 수가 서로 역 대칭을 하고 있다는 것을 알 수 있다.

→           →

1 2 3 4 ┃ 5 6 7 8

8 7 6 5 ┃ 4 3 2 1

      ←           ←

     (그림9)

그동안 필자는 구구표의 비밀을 풀어냈다. 단행본 한 권의 분량이다.

최초로 천수삼합이란 새로운 이론을 만들어 증명을 했고 성경에 나오는 153,666 등의 숫자도 풀어냈다. 그 천수삼합을 가장 확실하게 나태 낸 것이 3단과 7단이다.

그림10은 3단과 7단이다.

3단 3  6  9  12  15  18  21  24  27

7단 7 14 21 28  35  42  49  56  63

                (그림10)

그림11는 그림10의 3,7단에서 1자리 수만 옮긴 것이다.

→

3    6   9   2   5   8   1   4   7 ······ 3단

7    4   1   8   5   2   9   6   3 ······ 7단

                                    ←

                  (그림11)

3단과 7단은 3+7=10으로 그림11을 위·아래 더하기를 하면 모두 10인 맨 앞자리에 있다.

이것을 이해하기 쉽게 그린 것이 그림12이며 그림13은 낙서(洛書)의 마방진(魔方陣)이다.

  ①→

   1    4    7           4     9     2

②

↓ 2    5    8           3      5    7

   3    6    9           8     1     6

    (그림12)             (그림13)

그림12를 ①→방향으로 읽으면 1,4,7·2,5,8·3,6,9 천수삼합이고 ②→방향으로 읽으면 1,2,3,4,5,6,7,8,9다. 그림12와 13을 비교 하면 그림12의 ‘十’자는 그림13의 ‘X'자와 그림12의 ’X‘자와 그림13 ’十‘자가 같다는 것을 알 수 있다.

앞에 그림3에서 13단을 다시 보자.

13  26  39  52  65  78  91  104  117 ······13단

첫 자리(1자리)수만 옮긴다.

3  6  9  2  5  8  1  4  7.

3단과 같다. 왜 그럴 가? 13단은 10단+3단이기 때문이다. 그렇다면 23단,33단,43단···뿐 만이 아니라 7단이 포함 된 27단,37단,47단···도 이와 같다는 뜻이다.

구구표 1(①)자리를 다시 보자.

1은 하나다. 하나에 ‘님’이 붙으면 ‘하나님’이고 ‘一’에 ‘心’을 더하면 ‘一心’이다.

‘1’은 모양이 곧은데 ‘2,3,4,5,6,7,8,9’는 곡선이다. 그런데 여기서 ‘7’은 ‘1’과 가장 많이 닮았다. 8자는 더 재미있게 생겼다. 그 8자속에 숨은 숫자를 찾아내는 것은 각자에게 맡긴다.