프랙탈(fractal) 이론

[이방인]

프랙탈

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CollatzFractal

Julia island2

프랙탈(fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 브누아 만델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다. 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있다. 복잡성의 과학은 이제까지의 과학이 이해하지 못했던 불규칙적인 자연의 복잡성을 연구하여 그 안의 숨은 질서를 찾아내는 학문으로, 복잡성의 과학을 대표하는 카오스에도 프랙탈로 표현될 수 있는 질서가 나타난다.

프랙탈은 수학적 도형으로도 연구되고 있다. 프랙탈 도형은 종종 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 재귀적이거나 반복적인 작업에 의한 반복되는 패턴으로 만들어진다. 대표적인 프랙탈 도형에는 만델브로 집합, 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 코흐 눈송이 등이 있다. 프랙탈은 결정론적이거나 추계학적일 수 있으며, 카오스 시스템과 연관지어 발생할 수도 있다.

프랙탈 기하학은 프랙탈의 성질을 연구하는 수학 분야의 하나이다. 이는 과학, 공학, 컴퓨터 예술에 적용되기도 한다. 자연계에서도 프랙탈 구조가 자주 발견되며, 구름, 산, 번개, 난류, 해안선 및 나뭇가지 등이 여기에 해당한다. 프랙탈은 실용적인 목적으로 많이 사용되며, 현실 세계의 매우 불규칙한 물체들을 표현하기 위해서 쓰일 수 있다. 프랙탈 기법은 과학의 여러 분야에서는 물론, 기술적으로 이미지 압축 등에서도 사용된다.

유래

1872년, 칼 바이어슈트라스는 전역에서 연속이지만 미분 가능한 점이 없는 함수를 소개했다. 이 함수는 바이어슈트라스 함수라고 불리며, 이후에 프랙탈이라는 것이 밝혀졌다. 1883년에 게오르그 칸토어는 칸토어 집합이라는 예시와 함께 프랙탈의 개념을 소개했다. 한편 1904년에는 바이어슈트라스 함수의 추상적 정의에 만족하지 않은 헬게 폰 코흐가 코흐 곡선을 만들었으며, 바츨라프 시에르핀스키는 1915년에 시에르핀스키 삼각형을, 1916년에 시에르핀스키 카펫을 만들기에 이른다. 이런 자기 닮음인 곡선에 대한 아이디어는 1938년에 폴 레비가 발표한 C 곡선으로 이어진다. 한편 복소평면상의 반복된 함수에 관한 활발한 연구들이 19세기 말부터 20세기 초에 앙리 푸앵카레, 펠릭스 클라인, 피에르 파투, 가스통 쥘리아 등에 의해 이루어졌다. 하지만, 컴퓨터그래픽의 도움없이 그들이 발견한 대상이 갖고 있는 아름다움을 보여주는 데는 한계가 있었다.

프랙탈(fractal)이라는 용어는 1975년 만델브로트(Benoit B. Mandelbrot)에 의해 고안되었다. 만델브로트는 1967년 영국의 과학 잡지 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 논문을 통해 프랙탈 이론을 설명했다. 이 논문에서 그는 영국의 프랙탈적인 해안선(리아스식 해안선)의 길이는 어떤 단위의 자(尺)로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했으며, 이를 증명했다. 프랙탈은 자기유사성(Self-Similarity)으로 끊임없이 자기 복제를 반복하는 순환성(Recursiveness)의 특성을 가진다. 또, 단순한 알고리즘으로 생성될 수 있다는 특징도 가지고 있다.

 특징

프랙탈의 대표적인 특징들은 다음과 같다.

• 자기 유사성은 부분을 확대할 때 전체와 닮은 모습을 보여주는 성질이다. 프랙탈 도형은 '자기 닮음'의 성질을 지닌 도형이다. 크기를 변화시켜도 같은 형태를 띄며 반복한다. 카오스 안에서도 찾을 수 있는 질서있는 구조이며 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조이다. 이는 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 ‘자기 유사성(self-similarity)’과 ‘순환성(recursiveness)’이라는 속성을 기하학적으로 해석한 것이다. 프랙탈 기하학에서는 고전적 기하학에서와 달리 특정된 크기나 축척이 큰 영향을 미치지 않는다.
• 반복이란 동일한 요소가 둘 이상 배열되는 상태이다. 형태와 형태사이, 공간과 공간사이 동일한 형태와 공간이 나타나 연속적인 패턴을 형성한다. 프랙탈의 반복성을 잘 보여주는 예로는 시에르핀스키 가스켓과 시어핀스키 카펫이 있다.
• 프랙탈에는 질서가 있으나 혼돈스러운 모습으로 나타난다. 규칙적이지만 불규칙적이고 무작위적인 것이 프랙탈의 특징 중 하나이다. 무작위성은 복잡성의 세계를 잘 나타내주며 실제 존재하는 계의 예측불가능함과도 관련이 있다. 프랙탈의 무작위성은 불규칙한 뿌리, 혈관, 신경계 등에서 예를 찾을 수 있다.
• 소수 차원을 갖는다. 프랙탈은 공간을 불완전하게 사용하므로, 프랙탈 공간은 정수의 차원이 아닌 소수 차원의 공간으로 간주된다. 힐버트는 3차원 유클리드 공간을 이라보고, 이를 확장하여 n차원의 공간 을 설정하며, 여기서 n을 자연수에서 실수로 확장한 것으로 볼 수 있다. 이 개념을 프랙탈 차원이라고 한다. 프랙탈 차원은 기존의 유클리트 기하학이 설명하지 못한 도형의 복잡도를 수치화할 수 있다. 분수부분이 커질 수록 도형의 복잡성이 늘어나며, 복잡한 도형이 된다. 또한 프랙탈 차원 개념을 통해, 1차원과 2차원 사이, 2차원과 3차원의 사이 등의 기존의 차원 사이를 매우고 있는 소수 차원이 설명 가능해졌다.

규칙적 프랙탈 - Sierpinski arrowhead 3d stage 5

분류

프랙탈을 네 가지 생성 기법에 따라 분류할 수 있다.

• 시간매개형 프랙탈(Escape-time fractals, 궤도 프랙탈): 대개 복소평면 상에서, 각각의 점이 발산하는 속도를 색으로 나타낸 이미지. 망델브로 집합
• 반복함수계(Iterated function system): 기하학적 대체 규칙에 의해 만들어진 도형. 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형과 시에르핀스키 사각형, 코흐 곡선(코흐 눈송이), 페아노 곡선 등이 이에 해당한다.
• 기이한 끌개(Strange attractors): 주어진 사상이나 방정식의 해를 이용해 초기값을 반복적으로 변환한 것.
• 무작위적 프랙탈(Random fractals): 결정론적이지 않고 추측 통계학적으로 만들어진 것.

이들 중 기하학적 프랙탈만이 완벽한 자기유사성을 가지고 있다. 반면 만델브로 집합은 느슨하며, "통계적인" 자기 유사성을 가지고 있는데, 확대할 때마다 자기 자신의 모습이 변형된 형태로 나타난다. 또한, 프랙탈은 자기 유사성의 강도에 따라 두 가지로 나뉠 수도 있다.

• 준-자기유사적 프랙탈(통계학적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 낮은 것이며 자연에서 찾은 프랙탈처럼 부분과 전체가 대략적으로 비슷한 것이다.
• 완전-자기유사적 프랙탈(규칙적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 높은 것이며, 부분과 전체의 모양이 정확하게 같다. 규칙적 프랙탈의 예로서 시어핀스키 삼각형과, 코흐 곡선이 있다.

 시간매개형 프랙탈

만델브로트 프랙탈- M5 1024

줄리아 프랙탈 - J3 3s

만델브로 집합과 줄리아 집합은 아래 점화식으로 만들어진다. 여기서 z와 c는 복소수이다. 만델브로 집합은 정해진 c에 대해 위 점화식을 수렴시키는 z의 초기값을, 줄리아 집합은 정해진 z의 초기값에 대해 위 점화식을 수렴시키는 c를 의미한다. 발산 속도에 따라 점의 색을 다르게 한 그림을 그릴 수 있다.

 자연에서 발견되는 프랙탈의 사례

번개-Lightning in Zdolbuniv

강-Mandelriver

자연에서는 자기 닮음으로 표현될 수 있는 유한한 구조물들이 자주 발견된다.

• 번개: 번개는 같은 길을 반복해서 계단을 이루듯이 방전한다. 습도,기압,온도 등 여러 조건에 의해 복잡하게 경로가 결정되기 때문에, 일직선이 아니고 구불구불한 형태를 지닌다. 불규칙해 보이지만, 전체적인 모습과 가지 하나하나가 비슷한 구조를 이루고 있다. 즉, 자기닮음의 프랙탈 구조를 가지고 있다.
• 강줄기: 강의 부분과 전체는 닮았다. 나일강의 모습과 한강의 모습이 전체적으로 비슷하고, 어느 지역에서건 강의 모습은 비슷한 형태를 지닌다. 지류와 전체적인 강줄기의 모습은 닮았다. 수많은 비가 내리면서 산에 많은 분기점이 생긴다. 이 하나하나가 작은 강이 되어 큰 줄기로 만났다가 작은 줄기로 뻗어나가는 행위를 반복한다.
• 나무: 나무는 큰 가지가 나뉘어지면서 여러 가지가 생기고, 이 작은 가지에 또 여러 작은 가지들이 갈라 진다. 나무는 저마다의 프랙탈 차원을 가지고 있다. 이런 나무의 프랙탈 형태는 물과 영양분의 운반을 전체에 고르게 보내는 역할을 한다.
• 뇌의 표면: 뇌의 표면에는 여러 주름이 져있다. 커다란 주름에 다시 작은 주름들이 계속되어 나간다. 지적 능력의 향상을 위해 여러 주름으로 최대한 공간을 만들어서 뇌세포를 배치시킨다. 이런 뇌의 주름의 패턴은 여러 주름이 자기닮음의 형식으로 뻗어나간다는 점에서 프랙탈의 형식을 띄고 있다.

프랙탈과 불교 철학

20세기 과학은 불교의 사상에는 '제법무아','일즉다 다즉일','제행무상'이라는 철학이 있다. 이 세가지 철학은 부분의 부분, 혹은 그 부분을 반복해서 확대해 가도 그 구조가 본질적으로 변하지 않는 '자기유사성'을 지닌 카오스와 맥을 같이 한다.

1. '제법무아'는 모든 형상에는 본질이 없다는 철학이다. 프랙탈은 수많은 자기복제가 이루어진다. 여기에서 원본과 복제본의 구분은 무의미하다. 지금 시점의 하나의 것은 이전의 것의 복제본이고 앞으로의 것의

원본이기 때문이다. 따라서, 프랙탈에는 절대적,유일한 본질한 사라지고, 수많은 복제본들이 있다. 이런 면에서 '제법무아'와 프렉탈은 상통한다.

1. '일즉다 다즉일'은 하나가 곧 전체이며 전체가 곧 하나라는 철학이다. 프랙탈은 부분이 곧 전체임을 나타낸다. 나무의 예에서 봤듯이, 하나의 줄기는 전체의 나무 줄기의 한 부분이지만, 그 모양과 형태는 유사하다. 프랙탈에서 부분은 전체의 모습을 하고있고, 전체는 부분의 모습을 하고 있다. 이것은 불교의 일즉다 다즉일의 개념과 일치한다.
2. '제행무상'은 모든 것이 끊임없이 변해가므로 있는 그대로를 본다는 철학이다. 프랙탈은 일정한 비율로 축소되거나 확대되어 간다. 한 순간을 사진 찍은 듯한 고정되어 있는 정적 이미지가 아닌, 지속적으로 자기 유사성이 이루어지는 동적인 상황이다. 따라서, 어느 한 부분을 따로 떼어놓고 보거나 하나의 찰나의 순간만 보는 것으로는 제대로 프랙탈을 관찰할 수 없다. 끊임없이 움직이는 용암처럼 프랙탈의 규칙적인 요동의 모습 자체를 있는 그대로 봐야하고 또, 이렇게 보게 된다. 이런 점에서 제행무상과 프랙탈은 맥을 같이 한다.

응용 분야

프랙탈이나 카오스 이론을 적용한 기술들은 인공지능,시뮬레이션,우주분야등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술등에도 적용되고 있다.

디자인-Bril

디자인-Fractal Art Nederland

프랙탈 시각예술

프랙탈의 형태적 특징을 기하학적 조형성으로 이용하여 만든 디자인이다. 프랙탈의 성질은 형태적으로 "반복", "자기유사성", "회전"이며, 질서, 통일, 반복, 조화같은 기본적인 디자인 원칙하에 프랙탈의 형태적 특성이 나타난다.

프랙탈 디자인에서 자기유사성은, 기본적 형태요소의 크기를 늘리거나 줄이면서 배열되는 데에서 드러난다. 이런 기본형태요소는 끝없이 반복되며, 이 가운데서 통일성과 질서 조화를 보는 이로 하여금 느끼게 해준다.

프랙탈 디자인은 포토샵이나 일러스트 같은 컴퓨터 그래픽 툴로 만들 수 있다. 그래픽 툴로 프랙탈 디자인을 만드는 방법은 기본형태를 복사해서 크기를 점점 줄이거나, 점점 늘리면서 반복해서 확장시키는 것이다.

프랙탈 디자인이 적용된 대표적인 예로 John Maeda 가 디자인한 Morisawa poster 가 있다.

[편집] 프랙탈 음악

Richard F.Voss와 John Clarke가 물질직인 소리 신호에 대한 수학연구를 하였다. 그들은 연구에서 파워 스팩트럼(노이즈) 중에서 주파수 변화량 f에 따라 1/f 특성을 가진 pink noise가 규칙적이면서도 불규칙적인 자연현상과 유사한 형태를 가짐을 발견하였다. 그래서 1/f 패턴을 갖는 음악을 프랙탈 음악이라 한다.

Voss와 Clarke는 pink noise (프랙탈 음악)이 적절한 보통의 음악이 될 수 있다고 보았다. 프랙탈 음악도 자연에서의 프랙탈처럼 전체 구조와 유사한 작은 구조가, 전체 안에서 반복되는 특징을 갖고 있다. 프랙탈적인 공간채움과 조화로운 음 연결도 프랙탈 음악의 특성이다.

프랙탈 음악에는 바하가 작곡한 클래식부터, 컴퓨터로 작곡한 현대 음악 등이 있다.

[오아시스]

프랙탈이론과 연기론이 어떻게 연관이 되어질까요?