ZPX 다윗별–리만구 체적 대칭 모델 백서 2차원 정삼각형 면적을 공간정보로 해석하고 리만구 내부 3차원 대칭장으로 확장하는 수학적·기

[분석]

맞다. 이번 구조는 이전보다 훨씬 명확하게 수학화할 수 있다. 중요한 보정 하나만 넣으면 된다. 리만구 (S^2) 자체는 표면이므로, 형이 말한 “리만구 내부 공간”은 수학적으로는 경계가 리만구인 3차원 단위볼 (B^3) 로 정의하면 된다.

실제로 실행 가능한 시뮬레이션 코드도 만들었다.

다윗별 → 리만구 → 체적 대칭 시뮬레이션 Python 코드

ZPX 다윗별–리만구 체적 대칭 모델 백서2차원 정삼각형 면적을 공간정보로 해석하고 리만구 내부 3차원 대칭장으로 확장하는 수학적·기술적 정식화1. 핵심 결론

형이 말한 구조를 수학적으로 정확하게 표현하면 다음이다.

[
\boxed{
\text{정삼각형 두 개}
\rightarrow
\text{다윗별 }D_6\text{ 대칭}
\rightarrow
\text{면적 정보}
\rightarrow
\text{구면 패치}
\rightarrow
\text{리만구 내부 }B^3\text{ 체적장}
}
]

따라서 단순히

[
\text{숫자}=점
]

이라고 보는 대신,

[
\boxed{
\text{숫자 또는 개념}
\rightarrow
\text{면적}
\rightarrow
\text{공간 셀}
\rightarrow
\text{체적 정보}
}
]

로 확장할 수 있다.

다만 정확하게 말하면,

[
\boxed{
\text{2차원 면적 자체가 자동으로 3차원 체적이 되는 것은 아니다.}
}
]

대신 명시적인 공간 승격 연산자(lift operator) 를 정의한다.

[
\boxed{
L:
\mathbb{R}^2
\rightarrow
S^2
\rightarrow
B^3
}
]

이 연산자를 정의하면 형이 말한 “면적 숫자가 입체 공간정보로 올라간다”는 구조가 엄밀한 수학 모델이 된다.

---

2. 원 안의 다윗별

반지름 (R)인 원을 생각한다.

원 위에 첫 번째 정삼각형을 배치한다.

[
T_+
]

그리고 이를 (60^\circ) 회전시킨 두 번째 정삼각형을 배치한다.

[
T_-
]

그러면 두 정삼각형의 합집합이 다윗별을 만든다.

[
H=T_+\cup T_-
]

두 삼각형 각각의 외접원의 반지름을 (R)이라 하면 정삼각형의 한 변은

[
s=\sqrt3R
]

이다.

따라서 정삼각형 하나의 면적은

[
\boxed{
A_\triangle

\frac{3\sqrt3}{4}R^2
}
]

이다.

두 삼각형의 중앙 중첩부분은 정육각형이 되고 그 면적은

[
\boxed{
A_{\cap}

\frac{\sqrt3}{2}R^2
}
]

이다.

따라서 다윗별 전체 면적은 포함-배제 원리에 의해

[
A_H

A(T_+)+A(T_-)-A(T_+\cap T_-)
]

이므로,

[
A_H2\frac{3\sqrt3}{4}R^2

\frac{\sqrt3}{2}R^2
]

결과적으로

[
\boxed{
A_H=\sqrt3R^2
}
]

이다.

---

3. 반지름 1일 때 실제 값

[
R=1
]

이라고 하면,

정삼각형 하나:

[
A_\triangle

\frac{3\sqrt3}{4}
\approx1.299038
]

중앙 중첩영역:

[
A_{\cap}

\frac{\sqrt3}{2}
\approx0.866025
]

다윗별 전체:

[
A_H

\sqrt3
\approx1.732051
]

원 전체:

[
A_C=\pi\approx3.141593
]

따라서 다윗별이 원에서 차지하는 비율은

[
\boxed{
\frac{A_H}{A_C}

\frac{\sqrt3}{\pi}
\approx0.551329
}
]

즉,

[
\boxed{55.13%}
]

이다.

여기까지는 정확한 기하학이다.

---

4. 면적을 단순 숫자가 아니라 정보량으로 본다

두 삼각형을 각각 독립적인 정보채널이라고 생각할 수 있다.

다음 indicator function을 정의한다.

[
\chi_+(x,y)

\begin{cases}
1,&(x,y)\in T_+\
0,&\text{otherwise}
\end{cases}
]

[
\chi_-(x,y)

\begin{cases}
1,&(x,y)\in T_-\
0,&\text{otherwise}
\end{cases}
]

그러면 정보 중첩도를

[
\boxed{
m(x,y)

\chi_+(x,y)+\chi_-(x,y)
}
]

로 정의할 수 있다.

따라서,

다윗별 바깥:

[
m=0
]

별의 팔 부분:

[
m=1
]

중앙 중첩영역:

[
\boxed{m=2}
]

가 된다.

이것이 매우 중요하다.

형이 말한

두 삼각형이 중첩되고 면적 자체가 공간정보가 된다

를 수학적으로 가장 자연스럽게 표현하는 방법이다.

즉 중앙영역은 단순히 같은 면적이 아니라,

[
\boxed{
\text{정보 multiplicity가 2인 영역}
}
]

이다.

---

5. 정보면적

단순 합집합 면적은

[
A_H=\sqrt3R^2
]

이지만 두 정보채널을 각각 세어주면,

[
I_A

\int m(x,y),dA
]

이다.

따라서,

[
I_A

A(T_+)+A(T_-)
]

이고,

[
\boxed{
I_A

\frac{3\sqrt3}{2}R^2
}
]

이다.

또한,

[
A_H+A_\cap

\sqrt3R^2+\frac{\sqrt3}{2}R^2
]

이므로,

[
\boxed{
A_H+A_\cap\frac{3\sqrt3}{2}R^2

I_A
}
]

가 된다.

즉 중첩을 “추가 정보”로 세는 방식과 두 삼각형을 별도 채널로 세는 방식이 정확히 일치한다.

---

6. 다윗별 대칭성

다윗별 전체는 (60^\circ) 회전에 대해 동일한 형상을 가진다.

[
H

R_{\pi/3}H
]

또한 반사에도 대칭이다.

따라서 전체 대칭군은

[
\boxed{
D_6
}
]

이다.

흥미로운 점은 두 삼각형을 별도 채널로 보면 더 풍부한 구조가 나온다는 것이다.

(120^\circ) 회전에서는 각각의 정삼각형이 자기 자신으로 돌아온다.

그러나 (60^\circ) 회전에서는

[
T_+
\leftrightarrow T_-
]

가 된다.

즉 두 정보채널을 벡터로

[
F=
\begin{bmatrix}
\chi_+\
\chi_-
\end{bmatrix}
]

라고 두면 (60^\circ) 회전은 두 채널을 교환한다.

[
\boxed{
F
\rightarrow
PF
}
]

여기서

[
P=
\begin{bmatrix}
0&1\
1&0
\end{bmatrix}
]

이다.

이것은 AI에서는 상당히 중요한 구조가 될 수 있다.

단순한 “같다”가 아니라,

[
\boxed{
\text{공간회전}
\leftrightarrow
\text{정보채널 permutation}
}
]

을 만들 수 있기 때문이다.

---

7. 평면에서 리만구 표면으로 올린다

복소평면의 점을

[
z=x+iy
]

라고 한다.

표준 입체투영으로 리만구에 올린다.

[
\Pi(z)

\left(
\frac{2x}{1+x^2+y^2},
\frac{2y}{1+x^2+y^2},
\frac{x^2+y^2-1}{1+x^2+y^2}
\right)
]

그러면,

[
\boxed{
|\Pi(z)|=1
}
]

이다.

즉 평면의 다윗별이 구면상의 패치로 변환된다.

[
H
\rightarrow
\Pi(H)
\subset S^2
]

---

8. 면적 변환

입체투영은 각도는 보존하지만 면적은 그대로 보존하지 않는다.

면적 Jacobian은 단위구에서

[
\boxed{
J(x,y)

\frac{4}
{(1+x^2+y^2)^2}
}
]

이다.

따라서 평면의 어떤 영역 (D)의 구면면적은

[
\boxed{
A_S(D)

\iint_D
\frac{4}
{(1+x^2+y^2)^2}
dx,dy
}
]

가 된다.

이 식이 바로

[
\text{평면 면적}
\rightarrow
\text{구면 공간정보}
]

를 연결한다.

---

9. 여기서 진짜 “리만구 내부 체적”으로 간다

리만구

[
S^2
]

는 표면이다.

따라서 형이 말한 내부 공간까지 사용하려면 경계가 (S^2)인 단위볼을 정의한다.

[
\boxed{
B^3

{
\mathbf{x}\in\mathbb R^3:
|\mathbf{x}|\le1
}
}
]

구면패치

[
\Pi(H)
]

에서 구 중심까지 방사형 선을 연결한다.

그러면 3차원 영역

[
\boxed{
V_H

{
r\mathbf{u}:
0\le r\le R_s,;
\mathbf{u}\in\Pi(H)
}
}
]

가 만들어진다.

이것이 정확하게 형이 말한

[
\boxed{
\text{리만구 내부의 체적 공간대칭}
}
]

이다.

---

10. 구면 면적에서 체적으로

구면패치의 입체각을

[
\Omega
]

라고 한다.

반지름 (R_s)인 구에서,

[
A_S

R_s^2\Omega
]

이다.

그 패치를 중심까지 방사형으로 채운 체적은

[
V

\int_0^{R_s}r^2dr
\int d\Omega
]

이다.

따라서,

[
V

\frac{R_s^3}{3}\Omega
]

이다.

그런데

[
A_S=R_s^2\Omega
]

이므로,

[
\boxed{
V

\frac{R_s}{3}A_S
}
]

가 된다.

이 식은 중요하다.

형이 말한

[
\boxed{
\text{면적 숫자}
\rightarrow
\text{체적 공간정보}
}
]

를 직접 연결하는 수학식이 된다.

---

11. 전체 승격 연산자

따라서 ZPX 공간 lift를,

[
\boxed{
L:
H
\subset\mathbb R^2
\rightarrow
\Pi(H)
\subset S^2
\rightarrow
V_H
\subset B^3
}
]

로 정의한다.

단계별로 보면,

[
\boxed{
\text{2D Area}
\rightarrow
\text{Spherical Area}
\rightarrow
\text{Solid Angle}
\rightarrow
\text{3D Volume}
}
]

이다.

이렇게 정의하면 “숫자를 공간으로 본다”는 표현도 훨씬 엄밀해진다.

---

12. 중첩정보도 3차원으로 그대로 올라간다

평면에서,

[
m(x,y)

\chi_+(x,y)
+
\chi_-(x,y)
]

였다.

이를 구면 위로 올린다.

[
m_S(\mathbf u)

m(\Pi^{-1}(\mathbf u))
]

그리고 내부 볼로 확장한다.

가장 단순하게,

[
\boxed{
m_B(r,\mathbf u)

m_S(\mathbf u)
}
]

라고 하면 된다.

그러면 3차원 내부에서도,

[
m_B=0
]

[
m_B=1
]

[
m_B=2
]

상태가 유지된다.

즉 중앙 중첩 부분은 3차원에서도 정보밀도 2인 공간이 된다.

---

13. 더 일반적인 체적 정보장

실제 AI에서는 반지름에 따라 정보를 다르게 줄 수도 있다.

[
\boxed{
m_B(r,\mathbf u)

w(r)m_S(\mathbf u)
}
]

여기서 (w(r))는 radial weight다.

예를 들어,

[
w(r)=1
]

이면 전체 내부를 동일하게 채운다.

또는,

[
w(r)=r
]

이면 바깥쪽 정보를 강조한다.

또는,

[
w(r)=e^{-\lambda(1-r)}
]

이면 구 표면 가까운 정보를 강조한다.

따라서 ZPX에서 내부 공간은 단순한 빈 구가 아니라,

[
\boxed{
\text{대칭성을 가진 3차원 정보밀도장}
}
]

으로 사용할 수 있다.

---

14. 왜 대칭성이 3차원에서도 유지되는가

이 부분도 증명 가능하다.

평면 회전

[
z\rightarrow e^{i\phi}z
]

에 대해 입체투영은

[
\Pi(e^{i\phi}z)

R_z(\phi)\Pi(z)
]

를 만족한다.

즉 평면에서의 회전이 구에서는 (z)-축 회전으로 그대로 대응된다.

따라서 평면 다윗별이

[
R_{\pi/3}H=H
]

를 만족하면 구면에서도,

[
\boxed{
R_z(\pi/3)\Pi(H)

\Pi(H)
}
]

이다.

그리고 방사형 volume lift 역시 회전과 교환한다.

따라서,

[
\boxed{
R_z(\pi/3)V_H

V_H
}
]

이다.

즉,

[
\boxed{
2차원 }D_6\text{ 대칭}
\rightarrow
\text{구면 }D_6\text{ 대칭}
\rightarrow
\text{3차원 체적 }D_6\text{ 대칭}
}
]

이 수학적으로 유지된다.

이게 이번 모델의 핵심 정리다.

---

15. 시뮬레이션 결과

실제 Python 수치적분을 실행했다.

조건:

[
R=1
]

평면 grid:

[
1200\times1200
]

입체투영:

[
\Pi:\mathbb C\rightarrow S^2
]

구의 반지름:

[
R_s=1
]

결과:

항목결과

정삼각형 하나의 평면면적	1.299038
중앙 중첩면적	0.866025
다윗별 합집합 면적	1.732051
원 대비 다윗별 면적	55.1329%
정삼각형 1 구면면적	3.538242
정삼각형 2 구면면적	3.538242
구면 중첩면적	2.713237
구면 다윗별 합집합	4.363247
삼각형 1 내부 체적	1.179414
삼각형 2 내부 체적	1.179414
중첩 내부 체적	0.904412
다윗별 전체 내부 체적	1.454416

그리고 정보 multiplicity를 두 번 세면,

[
\boxed{
V_{\rm info}
\approx
2.358828
}
]

이 나왔다.

---

16. 포함-배제 법칙도 3차원에서 그대로 유지됨

구면에서,

[
A(T_+)
+
A(T_-)A(T_+\cap T_-)

A(T_+\cup T_-)
]

가 실제 시뮬레이션에서도,

[
3.538242
+
3.538242

2.713237
]

[

4.363247
]

로 정확하게 맞았다.

체적도,

[
1.179414
+
1.179414

0.904412
]

[

1.454416
]

이다.

따라서,

[
\boxed{
\text{평면의 집합 중첩논리}
\rightarrow
\text{구면}
\rightarrow
\text{체적}
}
]

으로 올라가도 포함-배제 구조가 보존된다.

---

17. 실제 대칭 시뮬레이션

다윗별을 (60^\circ) 회전시킨 뒤 원본과 비교했다.

수치적 mismatch:

[
\boxed{
E_{\rm rotation}=0.0
}
]

이었다.

반사시킨 뒤 비교해도,

[
\boxed{
E_{\rm reflection}=0.0
}
]

이었다.

별도의 더 높은 정밀도 기하연산에서는 대략

[
10^{-15}
]

수준의 부동소수점 오차만 나타났다.

따라서 다윗별의

[
D_6
]

대칭은 시뮬레이션에서도 그대로 확인된다.

---

18. AI에서 이것을 어떻게 사용하는가

여기부터가 실제 AI 개발이다.

단어 하나를 단순한 vector만으로 두지 않는다.

[
w_i
\rightarrow
(\theta_i,\rho_i,A_i,V_i,\sigma_i)
]

로 둔다.

여기서,

[
\theta_i

\text{의미 방향}
]

[
\rho_i

\text{의미 강도}
]

[
A_i

\text{정보 면적}
]

[
V_i

\text{정보 체적}
]

[
\sigma_i

\text{대칭 class}
]

이다.

그러면 token은 단순 점이 아니라,

[
\boxed{
\text{방향+면적+체적을 가진 공간 정보 셀}
}
]

이 된다.

---

19. 두 의미의 중첩

두 개념 (a,b)가 있다고 하자.

기존 AI는 주로,

[
\mathbf x_a\cdot\mathbf x_b
]

와 같은 vector similarity를 본다.

ZPX에서는 추가로,

[
V_a
]

[
V_b
]

그리고,

[
V_a\cap V_b
]

를 생각할 수 있다.

중첩도:

[
\boxed{
O(a,b)

\frac{
\operatorname{Vol}
(V_a\cap V_b)
}{
\operatorname{Vol}
(V_a\cup V_b)
}
}
]

를 정의할 수 있다.

이는 3차원 Jaccard similarity다.

즉,

[
\boxed{
\text{의미가 얼마나 비슷한가}

\text{공간 체적이 얼마나 중첩되는가}
}
]

라는 새로운 AI 표현이 가능하다.

---

20. 단어 하나가 아니라 문장 전체를 체적장으로 표현

문장,

[
S=(w_1,w_2,\ldots,w_n)
]

에 대해 각 token이 체적장

[
F_i(\mathbf x)
]

를 가진다고 한다.

문장 전체는,

[
\boxed{
F_S(\mathbf x)

\sum_i
\alpha_iF_i(\mathbf x)
}
]

로 표현한다.

그러면 한 공간에서,

• 여러 개념이 같은 위치에 겹치는 부분

• 서로 반대방향에 위치하는 부분

• 대칭성이 생기는 부분

• 비어 있는 부분

• 높은 밀도 부분

을 직접 계산할 수 있다.

---

21. 중첩을 곧바로 참/거짓으로 보면 안 된다

중요한 한계도 있다.

[
\boxed{
\text{공간 대칭성이 높다}
\neq
\text{문장이 사실이다}
}
]

마찬가지로,

[
\boxed{
\text{체적 중첩이 높다}
\neq
\text{논리적으로 반드시 옳다}
}
]

이다.

따라서 이 구조는,

[
\boxed{
\text{AI structural feature}
}
]

로 사용하는 것이 정확하다.

실제 사실성은 별도의 evidence retrieval‎이 검사한다.

---

22. 최종 AI 구조

이번 다윗별 체적 모델까지 포함시키면 ZPX AI는 다음으로 발전한다.

[
\boxed{
\begin{aligned}
\text{Token}
&\rightarrow
\text{Base Embedding}\
&\rightarrow
(\theta,\rho)\
&\rightarrow
D_6\text{ Star Geometry}\
&\rightarrow
\text{Area Information}\
&\rightarrow
\text{Spherical Patch}\
&\rightarrow
\text{Volumetric Lift}\
&\rightarrow
\text{Volume Overlap}\
&\rightarrow
\text{Sequence Geometry}\
&\rightarrow
\text{Learned Classifier}\
&\rightarrow
\text{Evidence Validation}
\end{aligned}
}
]

이 구조가 된다.

---

23. 가장 중요한 수학식

이번 확장의 핵심을 한 줄로 쓰면,

[
\boxed{
H\subset\mathbb R^2
\xrightarrow{\Pi}
\Pi(H)\subset S^2
\xrightarrow{\text{radial lift}}
V_H\subset B^3
}
]

이다.

그리고 정보장은,

[
\boxed{
m_B(r,\mathbf u)

w(r)
[
\chi_{T_+}
+
\chi_{T_-}
]
\circ\Pi^{-1}(\mathbf u)
}
]

로 쓸 수 있다.

이 식 하나에,

• 다윗별 두 정삼각형

• 대칭성

• 중첩

• 면적

• 구면

• 체적

• 정보밀도

가 전부 들어간다.

---

24. 수학적으로 증명된 부분

현재 다음은 완전히 증명 가능하다.

[
\boxed{
A_\triangle

\frac{3\sqrt3}{4}R^2
}
]

[
\boxed{
A_\cap

\frac{\sqrt3}{2}R^2
}
]

[
\boxed{
A_H

\sqrt3R^2
}
]

[
\boxed{
H\text{는 }D_6\text{ 대칭}
}
]

[
\boxed{
\Pi(H)\text{도 대응되는 }D_6\text{ 대칭을 유지}
}
]

[
\boxed{
V_H\text{도 동일 대칭을 유지}
}
]

그리고,

[
\boxed{
V

\frac{R_s}{3}A_S
}
]

도 정확하다.

즉,

[
\boxed{
\text{2D 대칭 면적을 3D 대칭 체적으로 승격하는 수학 자체는 성립한다.}
}
]

---

25. 아직 실험해야 하는 부분

아직 증명됐다고 말하면 안 되는 것은,

[
\boxed{
\text{이 체적 표현이 기존 embedding보다 AI 성능을 높이는가}
}
]

이다.

따라서 다음 비교가 필요하다.

[
M_0=\text{일반 embedding}
]

[
M_1=\text{phase만 추가}
]

[
M_2=\text{phase + }D_6
]

[
M_3=\text{phase + }D_6+\text{sphere}
]

[
M_4=\text{phase + }D_6+\text{volumetric overlap}
]

그리고,

[
\boxed{
Metric(M_4)>Metric(M_0)
}
]

가 실제 test dataset에서 나오는지 봐야 한다.

---

26. 기술적 가능성 최종 판정

형이 이번에 설명한 아이디어는 수학적으로 다음처럼 구분된다.

완전히 가능

• 정삼각형 두 개를 독립 정보채널로 정의

• 다윗별 (D_6) 대칭

• 면적을 scalar information으로 사용

• 중첩영역을 multiplicity 2로 정의

• 입체투영으로 구면에 올리기

• 구면 패치를 내부 체적으로 radial lift

• 3차원 중첩체적 계산

• 공간 대칭 유지

• Python/C++/Rust 구현

연구가 필요한 것

• 인간 언어에서 면적이 어떤 의미량을 나타낼지

• (\rho)를 무엇으로 학습할지

• 체적 중첩이 semantic similarity보다 좋은지

• 다윗별 (D_6)가 실제 AI 성능에 도움이 되는지

• Gauss17과 결합했을 때 추가 이득이 있는지

---

27. 최종 결론

형이 말한 생각은 다음처럼 정식화하면 된다.

[
\boxed{
\text{정삼각형의 면적}

\text{단순 숫자가 아니라 공간정보의 2차원 측도}
}
]

그리고,

[
\boxed{
\text{다윗별}

\text{두 공간정보 채널의 대칭적 중첩}
}
]

이다.

이를 리만구에 투영하면,

[
\boxed{
\text{평면 대칭정보}
\rightarrow
\text{구면 대칭정보}
}
]

가 되고,

다시 내부 (B^3)로 방사 승격하면,

[
\boxed{
\text{구면 대칭정보}
\rightarrow
\text{3차원 체적 대칭정보}
}
]

가 된다.

따라서 최종적으로,

[
\boxed{
\text{숫자}
\rightarrow
\text{면적}
\rightarrow
\text{대칭}
\rightarrow
\text{중첩}
\rightarrow
\text{구면}
\rightarrow
\text{체적}
\rightarrow
\text{공간정보}
}
]

라는 ZPX AI 표현계는 수학적으로 정의 가능하고, 시뮬레이션 가능하며, 실제 AI 알고리즘으로 구현 가능한 구조다.

단, 그 구조가 기존 AI보다 실제로 더 뛰어난지는 다음 단계에서 benchmark로 검증해야 한다.

이번 확장의 가장 중요한 부분은 “면적을 체적이라고 우기는 것”이 아니라 면적을 체적으로 보내는 변환을 정확히 정의했다는 것이다. 그래서 이제 다윗별 → 구면패치 → 3D 볼 내부 정보장은 실제 계산 가능한 구조가 됐다.

""" ZPX Star-of-David -> Riemann-sphere -> volumetric lift simulation ---------------------------------------------------------------- Purpose: 1) Build two equilateral triangles inside a unit circle. 2) Treat each triangle area as an information channel. 3) Measure overlap (multiplicity 2) and union (occupancy >= 1). 4) Lift the planar structure to the Riemann sphere using stereographic projection. 5) Radially extend the spherical patch into the unit 3-ball to obtain a volume model. 6) Numerically verify D6 rotational/reflection symmetry. Dependencies: numpy Optional: matplotlib (only if you add your own plotting) """ import math import numpy as np def vertices(radius=1.0): up = np.deg2rad([90.0, 210.0, 330.0]) down = np.deg2rad([270.0, 30.0, 150.0]) t1 = np.column_stack((radius*np.cos(up), radius*np.sin(up))) t2 = np.column_stack((radius*np.cos(down), radius*np.sin(down))) return t1, t2 def point_in_triangle(X, Y, tri, eps=1e-12): """Vectorized barycentric/sign test.""" x1, y1 = tri[0] x2, y2 = tri[1] x3, y3 = tri[2] d1 = (X-x2)*(y1-y2) - (x1-x2)*(Y-y2) d2 = (X-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(Y-y3) d3 = (X-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(Y-y1) has_neg = (d1 < -eps) | (d2 < -eps) | (d3 < -eps) has_pos = (d1 > eps) | (d2 > eps) | (d3 > eps) return ~(has_neg & has_pos) def rotate_xy(X, Y, angle): c, s = np.cos(angle), np.sin(angle) return c*X - s*Y, s*X + c*Y def occupancy(X, Y, t1, t2): m1 = point_in_triangle(X, Y, t1) m2 = point_in_triangle(X, Y, t2) multiplicity = m1.astype(np.int8) + m2.astype(np.int8) union = multiplicity >= 1 overlap = multiplicity == 2 return m1, m2, union, overlap, multiplicity def analytic_planar_areas(R=1.0): A_tri = 3*math.sqrt(3)/4 * R*R A_overlap = math.sqrt(3)/2 * R*R A_union = math.sqrt(3) * R*R A_circle = math.pi * R*R return A_tri, A_overlap, A_union, A_circle def numerical_spherical_lift(N=1200, planar_radius=1.0, sphere_radius=1.0): """ For unit stereographic projection: dA_sphere = 4/(1+x^2+y^2)^2 dx dy For a sphere of radius Rs, multiply by Rs^2. Radial cone volume from center: V = Rs * A_sphere / 3 """ t1, t2 = vertices(planar_radius) xs = np.linspace(-planar_radius, planar_radius, N) ys = np.linspace(-planar_radius, planar_radius, N) dx = xs[1]-xs[0] dy = ys[1]-ys[0] X, Y = np.meshgrid(xs, ys) m1, m2, union, overlap, multiplicity = occupancy(X, Y, t1, t2) r2 = X*X + Y*Y jac = (4.0 / (1.0 + r2)**2) * (sphere_radius**2) def integrate(mask): A = float(np.sum(jac[mask]) * dx * dy) V = sphere_radius * A / 3.0 return A, V A1, V1 = integrate(m1) A2, V2 = integrate(m2) Au, Vu = integrate(union) Ao, Vo = integrate(overlap) # Multiplicity-integrated information volume: # counts overlap twice, once for each triangle channel. info_area = float(np.sum(jac * multiplicity) * dx * dy) info_volume = sphere_radius * info_area / 3.0 # D6 symmetry numeric checks on grid: # rotate eval‎uation coordinates by -60° and compare occupancy. Xr, Yr = rotate_xy(X, Y, -math.pi/3) _, _, union_rot, _, _ = occupancy(Xr, Yr, t1, t2) rot_error = float(np.mean(union != union_rot)) # reflection y -> -y _, _, union_ref, _, _ = occupancy(X, -Y, t1, t2) ref_error = float(np.mean(union != union_ref)) return { "sphere_area_triangle_1": A1, "sphere_area_triangle_2": A2, "sphere_area_overlap": Ao, "sphere_area_union": Au, "cone_volume_triangle_1": V1, "cone_volume_triangle_2": V2, "cone_volume_overlap": Vo, "cone_volume_union": Vu, "multiplicity_information_area": info_area, "multiplicity_information_volume": info_volume, "rotation_60_mismatch_fraction": rot_error, "reflection_mismatch_fraction": ref_error, } def main(): R = 1.0 A_tri, A_overlap, A_union, A_circle = analytic_planar_areas(R) print("=== Exact planar geometry, R=1 ===") print(f"triangle area = {A_tri:.12f}") print(f"overlap hexagon area = {A_overlap:.12f}") print(f"star union area = {A_union:.12f}") print(f"circle area = {A_circle:.12f}") print(f"star/circle ratio = {A_union/A_circle:.12%}") print(f"inclusion-exclusion = {2*A_tri - A_overlap:.12f}") result = numerical_spherical_lift(N=1200) print("\n=== Stereographic spherical lift + radial volume ===") for k, v in result.items(): print(f"{k:36s} = {v:.12f}") print("\nIdentity checks:") print("A1 + A2 - Aoverlap ≈ Aunion") print( result["sphere_area_triangle_1"] + result["sphere_area_triangle_2"] - result["sphere_area_overlap"], "≈", result["sphere_area_union"], ) print("V1 + V2 - Voverlap ≈ Vunion") print( result["cone_volume_triangle_1"] + result["cone_volume_triangle_2"] - result["cone_volume_overlap"], "≈", result["cone_volume_union"], ) if __name__ == "__main__": main()