일달 피보나치 수열의 점화식을 봅시다.
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an+2=an+1+an
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이때 p+q+r=/= 0 이기때문에 0일때 사용하는 테크닉을 사용할 수 없습니다.
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그렇지만 기본적인 방법은 비슷합니다. 우선 해야할 일은 위의 점화식을 다음과같은 형태로 바꿉니다.
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an+1-kan+1=m(an+1-kan)
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위의 점화식과의 비교를 통해서 k+m=1, mk=-1 이란 것을 알아냈습니다. 이 조건을 만족시키는 k, m은 x^2-x-2=0의 두 근이 됩니다.
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이 이차방정식의 두 근을 각각 k, m이라고 하면 k, m은 대칭이기때문에 위치를 바꿔도 상관없습니다. 무슨 말인고하니
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an+2-man+1=k(an+1-man)
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역시 피보나치수열의 점화식이 된다는 말입니다.
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그러면 an+1-kan=bn 으로 두면 b1=a2-ka1 이 되고 일반항은
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bn=b1*m^(n-1) 이렇게 될껍니다.
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마찬가지로 an+1-man=cn으로 두고 풀어보면 c1=a2-ma1, cn=c1*k^(n-1) 이렇게 될껍니다.
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이제 bn, cn을 원래 형태로 돌립니다.
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an+1-kan=b1*m^(n-1)
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an+1-man=c1*k^(n-1)
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위의 식을 적당히 연립하면 다음과 같은 an의 일반항을 얻을 수 있습니다.
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an=(b1*m^(n-1)-c1*k^(n-1))/(m-k)
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p+q+r=/=0 인 다른 경우에도 똑같이 적용할 수 있습니다.
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