Re:(선대) skew-symmetric 증명 3개

[밝히리]

이런 문제는 '정의에만 충실하면' 풀 수 있는 문제입니다.

스킬도 필요 없고 반짝이는 아이디어도 필요 없지요.

만약에 수학을 전공하신다면 이런류의 문제는 간단히 풀어낼 정도로 연습을 하셔야 합니다.

이런 쉬운 것도 증면 못한다면 다른 것은 더욱 힘들지요.

1. if A is an invertible skew-symmetric matrix, then (A의 역행렬) is symmetric.

A 의 역행렬을 B 라고 하자.

그러면 역행령의 정의에 의해서 AB = E 가 된다.

양 변을 transpose 하면

(AB)^t = E^t

B^t A^t = E     <--------- transpose 의 성질

B^t (-A) = E    <--------- A가 skew-symetric 이므로

- B^t A = E

위 식의 양변의 오른쪽에 A의 역행렬(다시 말하면 B)를 곱하면

- B^t A B = E B

- B^t (A B) = B   <----- 행렬의 곱은 결합법칙이 성립하므로

- B^t  E = B

B^t = -B

따라서 B 는 symetric 이 아니라, skew-symetric 이다.

(문제가 잘 못 된 듯 합니다. 아니면 제가 계산을 틀렸겠지요 뭐.... ^^;)

2. if A and B are skew-symmetric, then so are At , A+B, A-B

A가 skew-symetric 이므로

A^t = -A

위 식의 양변을 transpose 하면

(A^t)^t = (-A)^t

(A^t)^t = - A^t

따라서 A^t 역시 skew-symetric 이다.

위 내용이 잘 이해가 안간다면....

 A^t = C  라고 치환을 해 보면

C^t = -C

를 얻게 됩니다. 그러면 C가 skew-symetric 인 것이 확실히 보이지요?

(A+B)^t

= A^t + B^t   <------- transpose 의 성질

= (-A) + (-B) <-------- A, B 는 skew-symetric 행렬이니까.

= -(A + B)

따라서 A+B 는 skew-symetric 이다.

A-B 는 같은 방법으로 하면 됨.

3. every square matrix A can ne expressed as the sum of  a symmetric matrix and a skew-symmetric matrix.

이건 우함수, 기함수 경우와 비슷합니다.

모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있듯이

모든 정사각행렬은 symetric 과 skew-symetric 행렬의 합으로 나타낼 수 있습니다.

증명 방법도 함수와 행렬 두 경우가 똑같습니다.

(A + A^t)/2 는 symetric 행렬이다.

(위의 두번째 문제의 결과를 그대로 적용하거나, 직접 transpose 해 보면 알 수 있음)

(A - A^t)/2 는 skew-symetric 행렬이다.

자, 그러면 두개를 더해보자.

(A + A^t)/2 + (A - A^t)/2 = A

내가 직접 찾아서 보여줬다.

따라서 어떤 정사각 행렬이든지 symetric 과 skew-symetric 의 합으로 나타낼 수 있다.

두 행렬을 구하는 방법은 증명 과정에 이미 제시 되어 있다.

지금은 행렬의 구성성분이 실수인 것만 배우겠지만...

선형대수를 더 깊이 있게 공부하면

( i     0    )

( 1    1+i )

처럼 구성성분이 복소수인 경우도 배우게 됩니다.

그때 transpose 역할을 하는 것이 Hermitian adjoint 이고(철자가 맞나?? ㅡㅡ;;)

symetric 행렬의 역할을 하는 것이 Hermitian 행렬이이며

skew-symetric 행렬의 역할을 하는 것이 anti-Hermitian 입니다.

증명 과정은 위와 똑같습니다.

참고로 위와 같이 친절하게 증명을 해 주는 곳은 어디에도 없을 것입니다.

어떤 책을 뒤져봐도 이렇게 자세하게 증명해 주지는 않을 것입니다.

두줄 요약.

이런 문제는 매우 초보적이고 기초적인 문제라서 아주 쉬운 문제입니다.

그러니 문제가 어렵다고 탓하지 말고 공부 열심히 하세요.

[멜롱젤리]

저기요-_- 이거 올리거 나서 다 증명했거든요? 너무 뭐라고 하시네요. 어쨋든 이렇게 알려주셔서 감사합니다. 이왕 올리신거 다른 분들이 올린 질문도 다 답해주시죠.

[밝히리]

풀이 안적으려다가 큰 맘 먹고 적었는데......... ^^;