<P>antivirs님이 이 게시판에 쓰셨던 글입니다. </P>
<P>저도 이 글 보고 많이 배웠네요..</P>
<P> </P>
<P> </P>
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<P>블랙박스안에 빛을 가둬 뒀을때(내벽에 무한 반사체를 달았다고 가정)</P>
<P>이 블랙박스의 질량은 광자의 개수만큼 증가할까요?</P>
<P> </P>
<P>이에대한 답을 하기는 좀처럼 힘들죠... </P>
<P> </P>
<P>걍 E=mc²으로 단순하게 설명하는 경우는 많이 봤지만</P>
<P>광자의 질량이 0이라는 것과 모순되어 보입니다. </P>
<P> </P>
<P>근데 답은 의외로 간단합니다. 왜냐하면 상대성이론 교과서의 기본문제에 나오더군요... 헐~</P>
<P> </P>
<P align=left><FONT color=#fe2419 size=4><U><STRONG>
<IMG src="http://cafeimg.hanmail.net/cf_img/m_icon/etc_03.gif">참고로 이글에서는 질량은 정지질량 또는 불변질량을 뜻하는 것이고, 상대론적 질량은 "상대론적 질량"이라고 명백히 구분합니다.</STRONG></U></FONT></P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>질량을 구하는 공식이 있는데 E=mc²은 운동량이 없을 때 이고 운동량 p가 있는 경우는</P>
<P> </P>
<P><FONT color=#0000ff>(mc<SUP>2</SUP>)<SUP>2</SUP> = E<SUP>2</SUP> - (<STRONG>p</STRONG>c)<SUP>2</SUP></FONT> </P>
<P> </P>
<P>입니다. 그러니까 에너지가 바로 질량으로 표현되는 것은 아니고 에너지 제곱값에 운동량 제곱 값을 빼 나머지가 질량의 제곱이 되는 거죠...</P>
<P> </P>
<P>즉, 질량을 알고 싶다면, 에너지와 운동량 측정하면 그 입자의 질량을 알 수 있습니다.</P>
<P> </P>
<P>광자의 경우 E = pc 여서 에너지와 운동량을 측정해서 위 식에 대입해 보면 항상 질량은 0입니다.</P>
<P> </P>
<P>자 여기 까지는 단일 광자의 질량이고 광자 두개로 이루어진 시스템의 질량을 생각해 봅니다.</P>
<P>각각의 광자가 다음과 같이 에너지와 운동량을 가진다고 합시다.</P>
<P> </P>
<P>광자1: E<SUB>1</SUB>, <STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> ⇒ E<SUB>1</SUB> = |<STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB>|c </P>
<P>광자2: E<SUB>2</SUB>, <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB> ⇒ E<SUB>2</SUB> = |<STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB>|c
<STYLE>P{margin-top:2px;margin-bottom:2px;}</STYLE>
</P>
<P> </P>
<P>이 광자 두개의 시스템이 가지는 에너지와 운동량은</P>
<P> </P>
<P>시스템: E = E<SUB>1</SUB> + E<SUB>2</SUB> , <STRONG>P</STRONG> = <STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> + <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB> </P>
<P> </P>
<P>가 되고 이 시스템의 질량 M은 마찬가지로 에너지-운동량 공식에 대입해서 얻어집니다.</P>
<P> </P>
<P>(Mc<SUP>2</SUP>)<SUP>2</SUP> = E<SUP>2</SUP> - P<SUP>2</SUP> </P>
<P> = (E<SUB>1</SUB> + E<SUB>2</SUB>)<SUP>2</SUP> - (<STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> + <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB>)<SUP>2</SUP>c<SUP>2</SUP> </P>
<P> </P>
<P>이것이 시스템의 질량이 됩니다. 이 시스템의 상대론적 질량 M<SUB>rel</SUB>을 알고 싶다면 시스템의 속도로 γ 인자를 구해서 곱해 주면 됩니다.</P>
<P> </P>
<P>M<SUB>rel</SUB> = γM</P>
<P> </P>
<P>이번에 특수한 경우를 살펴 봅시다. E₁ = E₂ 같은 경우, 즉, 운동량의 크기가 같은 경우를 봅니다. 운동량은 벡터이므로 시스템의 운동량은 두 운동량의 벡터 합에 따라 0이 될 수도 있고, 두배가 될 수도 있습니다. 이 두경우를 시스템의 질량 수식을 보면</P>
<P> </P>
<P>1. 두 운동량이 나란한 경우(<STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> = <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB> = <STRONG>p</STRONG>) </P>
<P><STRONG>P</STRONG> = <STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> + <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB> = 2<STRONG>p</STRONG> </P>
<P>E = E<SUB>1</SUB> + E<SUB>2</SUB> = |<STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB>|c + |<STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB>|c = 2|<STRONG>p</STRONG>|c </P>
<P> </P>
<P><FONT color=#0000ff>∴ (Mc<SUP>2</SUP>)<SUP>2</SUP> = (2|<STRONG>p</STRONG>|c)<SUP>2</SUP> - (2<STRONG>p</STRONG>)<SUP>2</SUP>c<SUP>2</SUP> = 0</FONT></P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>2. 두 운동량이 정반대방향인 경우(<STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> = <STRONG>p,</STRONG> <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB> = -<STRONG>p</STRONG>, E<SUB>1</SUB> = E<SUB>2</SUB> = E = |<STRONG>p</STRONG>|c) </P>
<P><STRONG>P</STRONG> = <STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB> + <STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB> = 0 </P>
<P>E = E<SUB>1</SUB> + E<SUB>2</SUB> = |<STRONG>p</STRONG><SUB>1</SUB>|c + |<STRONG>p</STRONG><SUB>2</SUB>|c = 2|<STRONG>p</STRONG>|c </P>
<P> </P>
<P><FONT color=#0000ff>∴ (Mc<SUP>2</SUP>)<SUP>2</SUP> = (2|<STRONG>p</STRONG>|c)<SUP>2</SUP> - (0)<SUP>2</SUP>c<SUP>2</SUP> = 2|<STRONG>p</STRONG>|c </FONT></P>
<P><FONT color=#0000ff> = 2 E </FONT> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>따라서, 두 광자가 나란한 방향으로 날아갈 경우 시스템의 질량은 없어지지만 두 광자가 정반대 방향으로 날아 가 총 운동량이 없어지면 시스템의 질량은 두 광자의 에너지에 비례합니다.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>다시 블랙박스 문제로 돌아가서...</P>
<P>블랙박스 안에 에너지가 같은 광자가 N개 들어 있다면, 분명히, 광자들의 운동량들은 무작위적일 것이므로, 총 운동량이 0이 될 것입니다.</P>
<P>그러면, 블랙박스의 질량은 광자 개수 만큼 늘어 나겠죠...</P>
<P> </P>
<P>좀더 일반화 시키면, 광자의 에너지가 다 다르더라도, 블랙박스안의 광자들의 총 운동량의 합은 평균적으로 0이 될 것이므로, 블랙박스의 질량은 단순히 E=Mc² 으로 구한 것과 같아 집니다.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>반대로, 레이저는 같은 파장의 빛이 같은 방향으로 꽤 멀리까지 직진성을 유지하므로</P>
<P>레이저의 빛줄기의 질량은 없다고 할 수 있습니다.</P>
<P> </P>
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<P> </P>
<P> </P>
<P>여기서 이걸 참고로 미적분님이 쓰신 글의 요지로 되돌아 가 보죠..</P>
<P>(이것에 대한 더 많은 정성적, 정량적 논의는 baiser6판 현대물리학이나 상대론책에 나와있습니다.)</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>K.E. 는 물체가 가지는 총 에너지량과 관련 없이 순수하게 </P>
<P> </P>
<P>일-운동에너지 정리에 의한 정적분으로써 그 양이 구해질 수 있습니다.</P>
<P> </P>
<P>총에너지에 대한 정의는 그것보다 상당히 임의적으로 보이는데, </P>
<P> </P>
<P>E = K.E. + mc² </P>
<P> </P>
<P>라는 것입니다. mc² 항은 정지질량에너지라 하는데 이 정지질량에너지란 말도, </P>
<P>총에너지E가 정의된 후에야 쓸 수 있는 말이겠죠?</P>
<P>(정지해 있을 때의 총에너지라 할 수 있을 테니...)</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>E라는 양은 입자가 여러 개 있는 system의 경우에서 왔다고도 할 수 있습니다.</P>
<P>(또는 더욱 더 고도의 수학적 테크닉에서 유도될 수도 있으나, 중요하진 않다고 생각되네요...</P>
<P> 자세한 걸 더 알고 싶으시면, 역시 책을 보시는 게...)</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>E는 "일반적으로 N개의 입자가 있는 system에서 절대로 변하지 않는 불변량" 입니다.</P>
<P>(에너지 출입이 없는 고립계)</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>계의 정지질량은 입자들의 운동량분포에 따라 달라지게 되어있습니다.</P>
<P>(위의 두 예에서 확실히 알 수 있죠.)</P>
<P> </P>
<P>또한 E = γmc² 라 하였을 때, 단순한 대수적 계산으로부터</P>
<P> </P>
<P>E² = (mc²)² + (pc)² </P>
<P> </P>
<P>라는 식을 얻을 수가 있는데,</P>
<P> </P>
<P>계의 총 운동량 p의 절대값이 적어질수록, 계의 총 정지질량m 은 커지기 시작합니다.</P>
<P>(주의 : 상대론적질량때문에 커진다는 소리가 아님! (윗글에서도 위에 빨간글씨 압박 보이죠;;) )</P>
<P> </P>
<P>(상대론적 질량은 계에 일을 해주기 때문에 증가하는 것이고, 일을 해줄 수 없는 닫힌 계에서도</P>
<P>정지질량이 변화할 때가 있다는 것이지요.)</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>결국 운동량 p1, p2, .... pN 들의 분포에 따라서 (이들의 총합인 p는 모든 운동량의 벡터합)</P>
<P> </P>
<P>(pc)² 항이 커지면, (mc²)² 항은 작아지고,</P>
<P>(mc²)² 항이 커지면, (pc)² 항은 작아집니다.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>결국 system은 총 에너지 E를 보존한다! (= 그 유명한 에너지보존법칙을 만족.)</P>
<P> </P>
<P>라고 할 수 있는 것이죠.</P>
<P>(딱 뉘앙스를 봐도 보존되는 것 같이 보이는 어감이죠.. "총" 에너지.. ㅋㅋ)</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>특별하게 N=1인 경우도 당연히 알 수 있죠.. 위에서 일반화해서 생각했으니....</P>
<P>이 경우에는 정지질량m은 변하지 않습니다. p의 절대값이 변할 수 없기 때문이죠.</P>
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p.s. 이러한 경우가 종종 보이는 경우가 있는데... 바로 '핵'의 경우입니다. 쿼크3개의 질량 다 합쳐봤자 양성자의 질량이 나올 턱이 없습니다;;; 이것의 비밀도 바로 (mc)² = E² - (pc)² 죠. 운동량이 서로 상쇄되어 0이 되고, 운동에너지가 커서 총에너지 E가 무진장 커지면 정지질량도 큰 것처럼 보입니다.
음.. 저것이 유도과정인가요? 으흠..대수적 관계로 풀수 있는것이 저것인가요? 책을 볼수 있는 처지는 아니라서 ㅡㅡ 혹 저것말고도 대수적관계로만으로도 저 공식을 유도하는 과정이 있다면 좀 부탁드립니다. 제가 저 공식 유도하는것을 학원 과학선생님께 잘못알려드려서 얼른 다시 알려줘야 할것 같아서..
첫댓글 물리학자들은 어딘가에 숨어있는 '물리량'을 구해온 것이 아니라, 보존되는 원리를 '세우기'위해 보존되는 양을 '정의'한 것이죠.
물리법칙은 때로는 '찾아낸다'라기 보다는, '만들어낸다'라는 표현이 더 정확할 경우도 있습니다.
p.s. 이러한 경우가 종종 보이는 경우가 있는데... 바로 '핵'의 경우입니다. 쿼크3개의 질량 다 합쳐봤자 양성자의 질량이 나올 턱이 없습니다;;; 이것의 비밀도 바로 (mc)² = E² - (pc)² 죠. 운동량이 서로 상쇄되어 0이 되고, 운동에너지가 커서 총에너지 E가 무진장 커지면 정지질량도 큰 것처럼 보입니다.
결과적으로 양성자나 중성자의 질량은 그걸 구성하는 쿼크 자체의 정지질량의 수십배정도가 됩니다.
음.. 저것이 유도과정인가요? 으흠..대수적 관계로 풀수 있는것이 저것인가요? 책을 볼수 있는 처지는 아니라서 ㅡㅡ 혹 저것말고도 대수적관계로만으로도 저 공식을 유도하는 과정이 있다면 좀 부탁드립니다. 제가 저 공식 유도하는것을 학원 과학선생님께 잘못알려드려서 얼른 다시 알려줘야 할것 같아서..
r²m²c⁴= m²c⁴ + r²m²v²c² -----> r²c² = c² + r²v² -------> r² (c² - v² ) = c² ----> r² = c²/(c² - v²)
------> r = c/sqrt{c² - v²} -------> r = 1/sqrt{1-β²} (q.e.d. - 단순히 감마의 정의식이 유도되죠..)
감마의 유도과정이 아니구요 ㅡㅡ E² = (mc²)² + (pc)² 유도과정요
--;; E² = (mc²)² + (pc)² 와 감마의 정의식은 필요충분조건이니까, E² = (mc²)² + (pc)² 란 식도 참이 되는 것이죠;;