부등식문제 제가 푼 방법.

[이성곤]

(a+b+c+d)/(1+a²)(1+b²)(1+c²)(1+d²)>1임을 증명하는 문제.

i) a=b=c=d=0일때

0/1=0>1 ∴ 옳음.

ii) a≠0 and b≠0 and c≠o and d≠0일때

준식의 분자에 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면

(1+1+1+1)(a²+b²+c²+d²)≥(a+b+c+d)². (a+b+c+d)²≤4(a²+b²+c²+d²). (a+b+c+d)≤2√(a²+b²+c²+d²)

√(a²+b²+c²+d²)=A라 하면, (a+b+c+d)≤2A.

분모를 전개하면

(abcd)²+(abc)²+(abd)²+(acd)²+(bcd)²+...+(cd)²+a²+b²+c²+d²+1.

(abcd)²+(abc)²+(abd)²+(acd)²+(bcd)²+...+(cd)²=B라 하면, (준식)=B+A²+1

B+A²+1-2A=B+(A-1)²>0. ∴B+A²+1>2A. a+b+c+d≤2A<B+A²+1=(1+a²)(1+b²)(1+c²)(1+d²).

∴ (a+b+c+d)<(1+a²)(1+b²)(1+c²)(1+d²), (a+b+c+d)/(1+a²)(1+b²)(1+c²)(1+d²)>1

(i), (ii)에서 모든 실수 a,b,c,d에 대해 (a+b+c+d)/(1+a²)(1+b²)(1+c²)(1+d²)>1가 항상 참임을 증명.

[김지태]

부등호 방향 바뀌셨어요

[-_-이런]

a=0 b,c,d 가 0이 아니면요?

[rmath]

지태// 그거 코시 슈바르츠 부등식 아니야?

[김지태]

아.. 뭔가 착각을 했었어요 ㅠ

[내가 누구냐aaa]

-_-이런 님이 맞습니다 맞고요 각 경우에 대해서 해주면 증명 완성 되네요 그냥 유레카님이 올리신 풀이가 더 편한듯

[내가 누구냐aaa]

아니다 코시 슈바르츠가 모든 실수에 대해서 성립해요 1의 경우는 괜히 해서 감점요인이 될수도