천정＜ceil＞과 바닥[floor]

[재후]

정수 집합 Z의 원소

즉

정수에 대한 이야기입니다.

2 + 3 = 5

5 - 1 = 4

이 정도는 다 아시겠지요?

소위 정수의 사칙연산에 관한 내용입니다.

기본적인 덧셈, 뺄셈은

사실 10진법 연산을 하고 있는 셈인데

10으로 나눈 몫과 나머지에 대한

나눗셈 계산을 적용하고 있는 셈입니다.

따라서...

나눗셈은 아주 중요합니다.

나눗셈을 위해

정수에 대하여 알아야 할 가장 기본은...

천정(ceil)과 바닥(floor)에 대한 이해입니다.

이것의 쓰임새는 아주 아주 많으므로

정확하게 알아두어야 합니다.

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정수값을 찾아서...

x가 정수라면

(x∈Z)
ceil(x) = x

floor(x) = x

입니다.

정수일 때는

천정값이나 바닥값이나

무척 쉽다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면

x가 정수가 아닐 경우에는 어떻게 될까요?

x가 정수가 아니라면

(x∉Z)

x의 근처에 있는 정수값을 취하는 것이

가장 합리적 선택일 것입니다.

x가 정수가 아니라면

(x∉Z)

연속된 두 정수 y, y+1 사이에

끼어 있을 것입니다.

(y, y+1 ∈ Z)

y+1	x의 천정
x	x∉Z
y	x의 바닥

x의 바로 위쪽에 있는 정수값을 x의 천정값이라 하고

x의 바로 아래쪽에 있는 정수값을 x의 바닥값이라 하는데...

x가 정수가 아닐 경우

두 가지 선택이 있을 수 있습니다.

하나는 x보다 위에 있는 천정값 즉, 정수 y+1을 취하는 것입니다.

즉 정수 y+1은 x의 천정값입니다.

y+1 = ceil(x)

또 하나는 x보다 아래에 있는 바닥값 즉, 정수 y를 취하는 것입니다.

즉 정수 y는 x의 바닥값입니다.

y = floor(x)

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'가우스'의

[최대정수함수]

바닥값에 대한 수학적 표기법으로 잘 알려져 있는 것은

[가우스]의 최대정수함수 입니다.

다음과 같이 표기합니다.

[x]

즉

y = floor(x) = [x]

바닥값에 대한 정확한 정의는...

[x] : x보다 작거나 같은 정수값 중 최대 정수값인 셈입니다.

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<최소정수함수>

그렇다면 

'가우스'의 [최대정수함수]에 대응되는...

천정값에 대한 수학적 표기법도 있어야겠지요?

그런데 저는 아직 본 적이 없으므로...

다음과 같이 표기하기로 하겠습니다.

y+1 = ceil(x) = <x> 

천정값에 대한 정확한 정의는...

<x> : x보다 크거나 같은 정수값 중 최소 정수값인 셈입니다.

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요약 정리

최소정수함수: ceil(x) = <x> = x 이상의 최소정수

최대정수함수: floor(x) = [x] = x 이하의 최대정수

①: 만약 x가 정수라면

(x∈Z)

ceil(x) = <x> = x

floor(x) = [x] = x

∴<x> = [x]

②: 만약 x가 정수가 아니라면

(x∉Z)

x는 어떤 두 정수 y, y+1 사이에 있게 되므로

y < x < y + 1

ceil(x) = <x> = y + 1

floor(x) = [x] = y

∴<x> = [x] + 1

혹은

∴<x> - [x] = 1

[서흠]

인류의 복지와 번영에 기여하는 많은 학문적 연구성과를 이룩하시기를 성원합니다. 재미있고 유익한 글을 올려 주셔서 고맙습니다.