스크랩 중복순열의 수 : nΠr

[김동석]

중복순열의 수 : _nΠ_r

서로 다른 n개 중에서 중복을 허용하여 r개 뽑아 일렬로 늘어 놓아 만든 순열의 수를 기호 _nΠ_r 로 나타내기로 한다. → _nΠ_r = n^r

예를 들어 1, 2 중에서 중복을 허용하여 세 수를 택하여 만든 순열은 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 의 여덟 개이다. 이것은 세 개의 네모 칸 □□□ 에 1 또는 2 를 써 넣는 방법 2×2×2 = 8 (가지) 또는 ₂Π₃ = 2³ = 8 과 같다.

기호 _nΠ_r = n^r 은 서로 다른 것을 서로 다른 것에 나누어 주는 방법이 몇 가지 있는지를 구할 때 적용할 수 있다.

Problem14-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다섯 통의 편지 1, 2, 3, 4, 5 를 세 개의 우체통 A, B, C 에 넣는 방법의 수를 구하시오.　
   (답) 243 

   편지 1을 우체통 A, B, C에 넣는 방법 → 3 가지
   편지 2를 우체통 A, B, C에 넣는 방법 → 3 가지
   ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
   편지 5를 우체통 A, B, C에 넣는 방법 → 3 가지

   ∴ 3×3×3×3×3 = 3⁵ = 243 (가지)

   A, B, C 중에서 중복을 허용하여 다섯 개 택하여 일렬로 늘어 놓아 만든 순열은 ₃Π₅= 3⁵ = 243개 존재합니다. 이 때의 각 순열은 다섯 개의 편지를 우체통에 넣는 방법에 대응됩니다. 예를 들어 순열 AABCA 는 1, 2, 5번 편지를 A에, 3, 4번 편지를 각각 B와 C에 넣는 경우를 나타냅니다. ^^
2. 여섯 개의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허용하여 네 개의 수를 택하여 만든 네 자리 정수 중에서 1234 보다 큰 것의 개수를 구하시오.　
   (답) 1244

   1) 네 자리 수 전체의 개수는 ₆Π₄ = 6⁴ = 1296 (개) ∙∙∙∙㉠
   2) 1234 보다 작은 네 자리 정수의 개수

   11□□ 꼴 → 6×6 = 36 (개)
   12□□ 꼴 → 121□꼴 6개, 122□꼴 6개, 123□꼴 3개    ∴ 36+(6+6+3)=51 개 ∙∙∙∙㉡

   ㉠, ㉡ 에서 1234 보다 큰 네 자리 정수의 개수는 1296-51-1=1244 (개)

   사건 E가 복잡하여 E가 발생하는 경우의 수를 구하기 어려울 때는, 전체경우의 수에서 여사건 E^C가 발생하는 경우의 수를 빼주면 답을 쉽게 낼 수 있습니다. ^^ 
3. 6층 건물의 엘리베이터에 4명이 타고 1층을 출발하였다. 이들이 각 층에서 내릴 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.　
   (답) 625

   4명의 승객을 A, B, C, D 라고 하면

   A가 내리는 방법 → 2, 3, 4, 5, 6층의 5가지
   B가 내리는 방법 → 2, 3, 4, 5, 6층의 5가지
   C가 내리는 방법 → 2, 3, 4, 5, 6층의 5가지
   D가 내리는 방법 → 2, 3, 4, 5, 6층의 5가지    ∴ 5×5×5×5 = 625 (가지)

   다섯 개의 수 2, 3, 4, 5, 6중에서 중복을 허용하여 네 개의 수를 택하여 일렬로 늘어 놓아 만든 순열은 ₅Π₄ = 5⁴ = 625 (개) 있습니다. 예를 들어 순열 6233은 A가 6층, B가 2층, C와 D가 3층에서 내린 경우에 대응합니다.^^
4. 다섯 개의 수 1, 2, 3, 4, 5 중에서 세 개의 수를 택하여 만든 세 자리 정수의 개수를 구하시오.
   (단, 1과 2는 중복하여 쓸 수 있고 3, 4, 5는 중복하여 쓸 수 없다.)
   (답) 86 

   1) 중복된 수가 없는 경우 → ₅P₃ = 5×4×3 = 60 (개)

   2) 중복된 수가 있는 경우

   1 이 두 번 나오는 경우 → 11□꼴 4개, 1□1꼴 4개, □11꼴 4개    ∴ 3×4 = 12 (개)
   2 가 두 번 나오는 경우 → 22□꼴 4개, 2□2꼴 4개, □22꼴 4개    ∴ 3×4 = 12 (개)
   1과 2가 세 번씩 나오는 경우 → 111, 222 의  2 (개)

   ∴ 60+12+12+2 = 86 (개)

   복잡한 문제는 작은 문제로 나누어 생각하면 경우의 수를 셈하기 쉬울 때가 많이 있습니다.^^