해석학 책에 나온 예제인데요 전 이해가 안되요 확인 좀 해주세요 ㅠㅠ

[사무사마]

책명 : Elementary Analysis : The theory of Calculus

저자 : Kenneth A. Ross

출판사 : Springer

Chapter 2 Sequence의 2nd section A Discussion about Proofs

Example 6

Let (s_n) be a convergent sequence of real numbers such that s_n ≠ 0 for all n ∈ N and lim s_n = s ≠ 0.

Prove that inf(|s_n| : n ∈ N } > 0.

중간 설명 생략(생략해도 상관없을듯해서요)

Formal Proof

Let ε = ½|s| > 0. Since lim s_n = s, there exists N in N so that

n > N implies | s_n - s | < |s|/2.

Now

n > N implies |s_n| ≥ |s|/2,   - (1)

since otherwise the triangle inequality would imply

|s| = | s - s_n + s_n | ≤ | s - s_n | + | s_n | < |s|/2 + |s|/2 = |s|    - (2)

which is absurd. If we set m = min{ |s|/2, |s₁|, |s₂|, ...,  |s_N| } ,

then we clearly have m > 0 and |s_n| ≥ m for all n ∈ N in view of (1)

Thus inf(|s_n| : n ∈ N } ≥ m > 0, as desired.

N은 자연수집합입니다 ^^

여기서 제가 이해가 안되는 부분은 (2) 입니다. 분명 (1)에서 나온 결과는 |s_n| ≥ |s|/2인데 (2)에서

| s - s_n | + | s_n | < |s|/2 + |s|/2 이렇게 됩니다 부등식이 잘못되지 않았나요??

그리고 두번째로 마지막에 줄친 부분요

Infimum(하한)은 Minimum보다 작거나 같아야 하는 거 아닌가요? Inf S ≤ min S

그런데 밑줄 친 부분은 안 그러네요.....

정성들여서 썼습니다 잘부탁드려요 ㅠㅠ;;

[종합과학소년]

(2)는 영어 해석을 잘 못하신 듯^^ otherwise라는 단어가 있잖아요. 즉, (1)이 성립하지 않는다면 (2)가 되는데 이는 모순이라는 뜻. 두 번째 질문은... 하한의 정의를 생각해 보세요. 하한은 쉽게 말해서 lower bound 중에서 가장 큰 수입니다. m이 lower bound 중의 하나니까 infimum은 m 이상이 되겠지요.

[사무사마]

우선 고맙습니다 ^^ 집합 S의 max S나 min S는 S에 포함되지만 Inf S나 Sup S는 반드시 포함되지 않아도 되는거면 M보다 SUP가 크거나 같고 m보다 Inf가 작거나 같은거 아닌가요?? 우선 넘 감사드립니다 ^^

[종합과학소년]

inf S <= min S는 맞아요. 하지만 이 문제에서 m은 {|Sn|}의 최소값이 아닙니다. 잘 생각해 보세요. m은 집합 { |s|/2, |s1|, |s2|, ..., |sN| }의 minimum입니다. 이 집합은 {|Sn|}와는 다른 집합이므로 inf {|Sn|} <= min { |s|/2, |s1|, |s2|, ..., |sN| }이 성립한다는 보장이 없습니다. 다시 한 번 강조하자면 infimum과 minimum을 직접 비교하려면 같은 집합에 대해서 해야죠.

[사무사마]

아,,,, 그렇군요 아 정말 고맙습니다 ㅠㅠ