<P>부분수열(subsequence)에 관한 질문입니다..</P>
<P> </P>
<P>정리는 (5번 질문)을 제외하고는 다 같은 정리로서, 보기 쉬우시라고 붙였어요.</P>
<P> </P>
<P>(1번질문)(이렇게 증명해도 되는 건가요?)</P>
<P>(정리) <an>:수렴 <-><an>의 모든 부분 수열이 같은 점에 수렴</P>
<P><- )) 역증명에서요</P>
<P><an>이 수렴하지 않는다고 가정하자.</P>
<P>본 가정에 의해 모든 <an>의 부분수열이 같은 점에 수렴한다.</P>
<P><an> 자신이 <an>의 부분수열이기도 하다 (즉 <an>: <an>의 부분 수열로서 수렴한다)</P>
<P>이는 <an>이 수렴하지 않는다는 가정에 모순이다.</P>
<P>따라서 <an>은 수렴한다. </P>
<P> </P>
<P>(2번질문)(어떤 책에서 봤는데요 중간과정이 생략 된것 같은데 구체적으로 어떻게 된 건지 궁금하네요. </P>
<P> 첨자만 바꾸어 ank 가 a로 수렴하지 않는 다고 가정하는 건가요?)</P>
<P>(정리) <an>:수렴 <-><an>의 모든 부분 수열이 같은 점에 수렴</P>
<P><-)) 마찬가지 역증명에서요 </P>
<P><an>이 수렴하지 않는 다고 가정하자.</P>
<P>적당한 E0>0 가 존재하여 임의의 N에 관해 nk >= N 이고 ㅣank - a l >= E0 인 nk 가 존재한다.</P>
<P>그러므로 <an>의 수렴하지 않는 부분수열 <ank> 가 존재하므로 모순이다.</P>
<P> </P>
<P>(3번질문)(제가 또 다르게 해본건데 어디서 문제가 생기는지 봐주세요. </P>
<P> 정증명이랑 다를게 없어서 뭔가 이상한건 분명한데 저는 잘못된점을 모르겠어요)</P>
<P>(정리) <an>:수렴 <-><an>의 모든 부분 수열이 같은 점에 수렴</P>
<P><-)) 마찬가지 역증명에서요 </P>
<P><ank>:<an>의 모든 부분수열 이므로 임의의 k에 관해 nk >= k 이다.</P>
<P>또한 lim(k->무한대)ank = a 로부터, 임의의 E>0 에 관해 k>=N 을 만족하는 적당한 N에 관해 </P>
<P>ㅣank-a l < E 이다.</P>
<P>그러면 nk >= k >= N 인 적당한 N 에 관해 ㅣank - a l < E 이다.</P>
<P>그러면 nk>=N 인 적당한 N에 관해 ㅣank-a l<E 이다.</P>
<P>따라서 lim(nk->무한대) ank = a 이다. 이제 첨자를 nk 에서 n으로 바꾸어도 무방하므로</P>
<P>lim(n->무한대) an = a 이다.</P>
<P> </P>
<P>(4번질문)</P>
<P>6월 모의평가 24번 문항의 ㄷ. 부분수열 <a2n>과 <a2n-1>이 같은 실수로 수렴하면 <an>은 수렴한다</P>
<P>라는 명제에서요. 위의 정리를 쓰면 풀린다는데 "모든" 부분수열에 관하여 다 조사하여 a라는 실수로 수렴했을 경우에 비로소</P>
<P><an>이 a에 수렴한다는 이야기 아닌가요? 그러니까 위의 두 경우만 가지고 <an>의 모든 부분수열에 관한 정보를</P>
<P> 다 말할수 없다라는 생각이 드는데요. 혹시 저 두 부분 수열만으로도 <an>의 모든 부분 수열임을 커버 할 수 있는 까닭인가요?</P>
<P> </P>
<P>(5번질문)</P>
<P>(코쉬판정법) <an>이 R 상의 수열일때,</P>
<P> <an>:수렴 <-> <an>:코쉬수열</P>
<P>의 역증명에서요, </P>
<P>(1) 어떻게 엘>=N 을 만족하는 엘이 집합 {nk l k인 N}에 포함되는 그런 엘을 택하자 라는 사실에서</P>
<P>어떻게 이것이 가능하죠? 부분수열의 수렴 정의와는 첨자가 다른 것 같은데요..</P>
<P>(2) 역증명에서 코쉬이면 유계 와 B-W를 쓴 다음 그런 부분 수열이 a 에 수렴한다고 하면 제가 질문한 위의 (정리)의</P>
<P>역을 이용해서 바로 an 이 a에 수렴한다를 사용해도 되는 것인지요? 안될것 같은데 어떤 교재에서는 가능하다고 되있어서..ㅜ </P>
<P> </P>
<P>귀찮고 힘드시겠지만,, </P>
<P>답변해주시면 정말 감사하겠어요..ㅠㅡㅠ 고민한 몇 시간들이 너무 아까워서 분노의 마음에 글을 올립니다...</P>
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첫댓글우선 1번은 그렇게 해도 된다고 생각합니다. 저도 그렇게 했거든요. 그리고 2번은 정동명 책을 보면 유계이고 수렴하지 않는 수열이 서로 다른 값으로 수렴하는 부분 수열을 최소한 2개 가지고 있음을 증명하는 문제가 있거든요. 그 문제를 풀어보시면 자연스레 아시게 될 것 같네요^^ 그리고 3번은 간결하게 쓰셔서 그런지 잘 이해가 안가는데 마지막 줄에 따라서부터 nk가 어떻게 n으로 바꿔도 무방한지 이해가 안가네요~ 혹 시작을 임의의 ank 에 대해서 라고 증명을 하시건라면 본질적으로 마지막 줄은 명제와 다를 바가 없는 것 같아요. 그러니깐 명제를 이용해 명제를 증명했다고나 할까요? 뭐 제가 잘못이해한 거라면 그냥 넘어가고요. ㅎ
첫댓글 우선 1번은 그렇게 해도 된다고 생각합니다. 저도 그렇게 했거든요. 그리고 2번은 정동명 책을 보면 유계이고 수렴하지 않는 수열이 서로 다른 값으로 수렴하는 부분 수열을 최소한 2개 가지고 있음을 증명하는 문제가 있거든요. 그 문제를 풀어보시면 자연스레 아시게 될 것 같네요^^ 그리고 3번은 간결하게 쓰셔서 그런지 잘 이해가 안가는데 마지막 줄에 따라서부터 nk가 어떻게 n으로 바꿔도 무방한지 이해가 안가네요~ 혹 시작을 임의의 ank 에 대해서 라고 증명을 하시건라면 본질적으로 마지막 줄은 명제와 다를 바가 없는 것 같아요. 그러니깐 명제를 이용해 명제를 증명했다고나 할까요? 뭐 제가 잘못이해한 거라면 그냥 넘어가고요. ㅎ
암튼 한 문제에 대해서도 이렇게 깊이있게 공부하시는 모습 보기 좋네요. 열공하세요^^ 오늘은 여기까지 ㅎ