복소수 신호란?

[라디오]

복소수 신호란 도대체 무슨 뜻???

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 갑자기 왠 뜬금없이 복소수를? 이곳이 알고보니 사실은 RF가 아니라 수학전문 사이트였던가!!! 라고 의문을 가지시는 분이 계실지도 모릅니다. 네 맞습니다! 사실 이곳은 수학전공자와 연구자들을 위한 홈페이지 입니다. 여러분들은 지금까지 속으신 겁니다!

... 라구 뻥을 치고 싶지만 불행히도(?) 이곳은 여전히 RF만 죽어라 물고 늘어지는 RF전문 사이트입니다. (죄송합니다. 넝담을.. -_-;)

관련 글.. 특히 전자파 자체에 대한 이론과 스미스 차트 글을 만들다 보니 복소수 신호란 개념에 대해 뭔가.. 명확히 정의를 내릴 필요가 있어서 이런 글을 쓰게 되었습니다. 여러분이 허구헌날 보시는 S 파라미터나 임피던스, 반사계수 등등히 RF신호들은 다 복소수 형태를 가지고 있죠? 그렇다면 아래글을 읽으면서 대체 왜 우리가 복소수 형태의 신호체계를 사용해야 하는지에 대해 알아보도록 하지요.

허수는 과연 존재하는 것일까?

영어로 복소수는 complex라고 부르죠. 말그대로 복잡하다는 의미일 수도... 복소수는 보통 아래와 같이 실수(real)과 허수(imaginary)의 조합으로 되어있습니다.

복소수 = 실수 + j 허수

다 아시겠지만, 허수텀을 나타내는 지표로 공학계에선 +j 를 쓰고 물리학계에선 -i 를 쓰지요. 공학에선 전류 i 와 헷갈리니까 j 를 쓰기로 했다지요. (꼭 보면 수업시간에 j도 전류밀도의 약자인데 뭐하러 j를 쓰냐고 시비거는 사람이 있더군요 -.-)

실수는 말그대로 자연계에 존재하는 실제 수를 말하고, 허수란 가상의 수를 말한다고들 하죠. 앗 그렇다면 허수란 존재하지 않는 수라는 뜻일까요? 만약 허수가 정말로 자연계에 존재하지 않는 어떤 수를 의미한다면, 철저히 실제상황을 응용하는데 집중하는 공학계에서 허수라는 개념을 쓸리가 없겠죠. 허수는 분명히 어딘가에 존재하는 어떤 수를 의미합니다!

내 재산은 얼마일까?

예를 들어서 여러분의 재산을 계산해본다고 가정하죠. 난 마이너스 통장 인생이야! 라구 외치시는 분들도 있을지 모르지만, 마이너스 재산도 재산은 재산입니다. (^^) 이런 경우 자신의 재산을 수중에 있는 돈만 계산하시나요? 대부분 통장에 얼마간의 돈을 넣고 사실테니 여러 은행의 통장잔고를 합해야 한다고 생각하실 것입니다. 또한 누군가에게 빌려준 돈도 따지고 보면 자기의 재산에 포함할 수 있고, 집같은 부동산도 재산입니다. 그렇다면 현재 여러분이 가지신 재산은 이런 공식으로 표현됩니다.

재산 = 주머니돈 + 집에 꿍쳐놓은 돈 + 꿔준돈 + 은행에 있는 돈  + 집값 등등..

여기서 실제로 소유한 재산은 주머니돈 + 집에 꿍쳐놓은 돈 이며, 소유하지는 않았지만 실제로 사용가능할 것으로 예상되는 재산은 은행돈 + 꿔준돈 + 집(또는 전세금)일것입니다. 이 수식은 곧 아래와 같이 다시 표현됩니다.

재산 = [주머니돈 + 집에 꿍쳐놓은돈] + 필요시 가용금액[ 꿔준돈 + 은행돈 + 집값 ]

후훗. 눈치가 빠른 분이라면 이런 얘기를 왜하는지 눈치를 채시겠죠? 바로 그렇습니다. 허수는 존재하지 않는 것이 아니라, 보이지 않는 어딘가에 존재하고 있습니다. 여기서 당장 실제로 사용가능한 돈이 곧 실수(Real)이고 당장 사용할 순 없지만 분명히 사용가능 상태로 존재하는 돈이 허수(Imaginary)가 되죠.

그런데 이것이 공학에서는 돈이 아니라 '에너지'의 개념으로 적용된다는 점!

복소수 신호??

파동방정식 등에서 보면 전자파는 복소수 의 형태로 표현됩니다. 그 복소수를 다시 뜯어볼까요?

여기서     :  크기값 (magnitude)

: 위상 (phase)

이건 다 고등학교 수학에 나오는 내용입니다. 복소수는 보통 삼각함수의 형태로 표현이 가능한데, 그 삼각함수의 파형 자체가 바로 진동수를 가지는 어떤 신호형태를 의미하지요.

Sine 이나 Cosine 파형이란 결국 어떤 주기적인 진동에너지 값을 나타내죠. 이렇게 Sine과 Cosine의 조합으로 표현되는 복소수 신호란 어떤 주기성을 가지는 신호성분을 의미합니다. 주기성을 가진다라는 것은 결국 주파수가 존재하는 신호가 되겠지요!

우리가 RF라고 말하면 그건 이미 '주파수'의 개념을 물고 들어간 것 이기 때문에, RF에서 사용하는 모든 신호성분값은 주파수별로 그 의미가 다르므로 결과적으로 복소수 신호를 사용할 수 밖에 없습니다.

복소 임피던스

이번엔 임피던스의 관점에서 복소수를 들여다보도록 하지요. 아다시피 전압과 전류의 비로 정의되는 임피던스는 아래와 같은 형태의 기본적인 수식으로 되어 있습니다.

 (  )

여기서 한가지 확실히 알 수 있는 것이, 실수부는 저항 R, 허수부는 L과  C의 조합으로 이루어져 있습니다. 어찌하여 L과 C는 허수부로 표현될까요? 또한 왜 L과 C에만 주파수 f 가 곱해져 있을까요?

L(Inductance)는 원래 자기장성분으로 에너지를 축적하고, C(Capacitance)는 전기장 성분으로 에너지를 축적합니다. 여기서 에너지가 축적된다는 의미는, 도선을 따라 흐르던 주파수 에너지가 선로를 통과하지 못하고 L과 C 성분에 의해 주변장에 축적됨으로써 결과적으로 최종적으로 도달되는 에너지가 다르게 되는 현상입니다. 결과쪽 입장에선 분명히 원하는 만큼의 에너지가 전달되지 못하였지만, 그렇다고 어디로 사라진 에너지는 아닙니다. 만약 신호가 주기성을 가지고 크기가 변하는 AC(교류)라면, 그 주파수의 크기에 대해 L과 C의 에너지 축적정도가 바뀌게 되고, 결과적으로 신호의 성질에 따라 C와 L에는 에너지가 축적되었다 방출하였다를 반복하게 됩니다.

다소 난해한 원리적 설명이지만, 여기서 중요한 것은 L과 C는 에너지 축적성 소자, 즉 당장 사라진 듯한 에너지를 보유하고 있는 성분입니다. (위에서 돈을 은행에 넣어둔 경우를 생각하시라!) 일정 순간 전송로 끝단에선 사라진듯한, 마치 없어진 듯한 에너지이지만 분명히 존재하는 허수형태의 에너지입니다. 이제 조금 이해가 가시지 않나요?

어디선가 임피던스는 '전류의 흐름을 방해하는 성분' 으로 정의되기도 한다고 언급했습니다. 바로 이렇게 전류의 흐름을 방해하여 일정 에너지 성분을 특정주파수에 맞게 잡았다 풀었다 해주는 부분이 허수부 L과 C입니다. 그리고 L과 C는 주파수 f 와 곱해져 있어서 주파수가 올라갈수록 그 영향이 커집니다. 그래서 RF에서 L과 C라는 요소가 크게 부각되는 것이지요. 반면 실수부 R은 주파수와 무관하게 늘 상존하는 소모/부하성 저항을 의미하지요.

위에서 언급한 '당신의 재산은 얼마?'와 거의 일맥 상통하는 개념입니다. L과  C는 철저하게 주파수에 의존하여 그 영향이 나타나기 때문에, 실제로 우리가 RF 고주파회로라고 부르는 것은 이러한 주파수 의존성 임피던스 성분을 조절함으로써, 소기의 목적을 수행하도록 만드는 것입니다.

S파라미터

그렇다면 S파라미터는 왜 복소수로 나타낼까요? 어쩌면 S 파라미터가 복소수였다는 사실을 모르셨던 분도 계시겠죠. 우리가 보통 말할 때 S파라미터를 복소수로 나타내진 않을겁니다. 10dB니, 20dB니 하는 말들은 그 복소수를 통칭하는 것일까요?

그것들의 복소 S 파라미터의 크기값(magnitude)를 말하는 것 입니다. 자, 상기해보십시요. S 파라미터는 보통 크기만 말하는게 아니라 위상(phase)도 분명히 존재합니다. S파라미터의 크기는 입력대 출력의 전압비를 말하는 것이고, 위상은 입력-출력을 지나면서 발생하는 신호의 위상차를 의미합니다.

위의 복소수 표현법에 나왔듯이, 크기(magnitude : A)와 위상값(phase : Φ)으로 나타낸 것은 phasor 형태라 불리우며, 역으로 아래와 같이 일반적 형태의 복소수로 나타낼수 있습니다!

그렇다면 S파라미터의 실수부와 허수부가 각각 의미하는 것은? 실제 S 파라미터는 어떤 특정 크기값지표로 사용되기 때문에 실수부와 허수부의 물리적 의미를 따지기 힘들며, 그것들의 root square값인 크기값(magnitude)을 의미있는 지표로 따집니다. 또한 보통은 그 크기값에 log를 씌워서 dB스케일로 보게 되구요. S파라미터의 실수부와 허수부를 따로 논해서 적용하는 경우는 별로 없다고 보셔도 됩니다.

정리해서...

공학에서의 복소수의 의미와 개념에 대해 정리해보지요.

- 실수부는 모든 상태에서 상존하는 에너지 개념이다.
- 허수부는 static(정적) 상태에서 보이지 않고, 신호가 주기적으로 변하는 dynamic(동적)상태에 발현되는 축적된 에너지 성분을 의미한다.
- 실제 주기적 진동을 하는 신호는 이러한 실수와 허수부 신호의 에너지 교환에 의한 반복형태를 가지게 된다.
- 결과적으로, 주파수 성분을 가지는 주기적 신호와 관련된 모든 수치는 복소수로 나타내게 된다.

다시 정리 >>>>>>>>>>>>

> RF에서 복소수라는 개념은 주기성을 가진 신호를 표현하기 위한 수단이다.

너무 뜬구름 잡는 말 같은가요? 사실 이런 개념들은 계속 공부하고 보고 익혀야 몸에 와닿겠지만, 복소수의 의미란 것에 대해 진지하게 들여다볼 기회를 가지는 것은 스미스차트 등의 활용에 많은 도움이 될것이라 기대합니다!

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