균등수렴, 균등연속 질문입니다.

[당근당근]

함수열 fn이 어떤 구간에서 균등연속이고 어떤 함수 f로 균등수렴된다고 하면 극한함수 f도 균등수렴이라고 말할 수 있나요?
증명은 사진과 같이 생각해봤습니다. 오류가 있는지 궁금합니다.

[김성희]

네, 내용은 맞습니다.
증명 세번째 줄 ⇒ 이후에서 |f(x)-f(y)|가 쪼개진 세 값보다 작거나 같다고 써줘야 합니다.

[당근당근]

앗 그부분을 빠트렸네요. 감사합니다!