아이디얼 질문입니다.

[요니여니]

R이 단위원을 갖는 가환환이고 P는 R의 아이디얼일때 P가 소아이디얼이 되기 위한 필요충분조건은 상환 R/P가 정역인 것이다.

를 증명하는 것에서 이해가 안가는 부분이 있습니다.


빨간색으로 표시한 부분 1번에서 P=1+P라고 가정했을 때 왜 1번부분이 나오는지

2번에서 P=R 가정했을 때 왜 2번이 나오게되는지

왜 3번부분이 나오는지 이해가 안갑니다ㅠㅠㅠ

[쿨여누]

R이 단위원을 갖는 가환환일때,
P는 R의 소이데알 ⇔ R/P는 정역
의 증명에서

정방향의 경우,
1+P=P 이라 가정하면 1∈P 이고, 따라서 P는 단원을 갖는 R의 이데알 이므로 P=R입니다.(모순)
(∵가정에 의해 P는 R의 소이데알이므로 P≠R입니다.)
따라서 1+P≠P 입니다.)

역방향의 경우,
P=R 이라 가정하면, 1∈R=P 이고,
1∈P ⇔ 1+P=P 이므로(기본정리)

따라서 1+P=P입니다. (모순)
(∵가정에 의해 R/P는 정역이므로 R/P에서의 덧셈항등원:P 와 단위원:1+P는 서로 다릅니다. 즉, P≠1+P입니다.)
따라서 P≠R 입니다.