페르마의 마지막 정리 증명 (싸이클로톰 이용)

[우뇌자극]

(아래의 증명은 뒷부분의 논리가 좀 허술하엿으므로

싸이클로톰을 빌려와서

증명을 시도하였음)

지수 P = 3의 경우, 

A^3 +B^3 = C^3  ------ (1)  은 아래 두 식으로 분리된다

A+B = S^3   ------------  (2)

A^2 - AB + B^2 = T^3  ---(3)

(2), (3) 에서

좌변끼리는 서로소이고 A, B , S, T 는 서로소이고
C=ST 

그리고 A, B, C >> (P =3)

이다.

(여기에서 P | (A+B), C, 혹은 B or A인 경우도 있으나 조금 모양이 복잡해질 뿐

증명방법은 마찬가지이다.

(2) 를 제곱해서 (3)을 빼면,

3AB =  S^6 - T^2  = (S^2 - T)(S^4  + S^2*T  + T^2)  --(4)

여기에서

우변의 S^2 - T = (S^3 -ST)/S = (A+B-C)/S = P^i * Ax * Bx * L)

(왜냐하면,  작은정리 P |  (A^P – A + B^P – B –C^P + C)

에서 A^P + B^P – C^P = 0 을 소거하면

P | (A+B-C) 이므로

A+B = C+P^i*K가 유도됨

그리고 추후

K = Ax*Bx*L*S (S 는 A+B = S^P의 인수임)

도 밝혀짐)

q * Ay * By = (S^4 +S^2*T +T^2) = { (A+B)^2 + (A+B)*C + C^2 } --- (5)

(Let A= Ax * Ay, B= Bx * By 인자들은 서로소) 

(4) 를 다시 정리한

(5) 에서 좌변의 q는 적절한 상수 

C-B = Ax^3 에서

C^2 + CB +BA^2 = Ay^3    --- (6)-1

마찬가지로

C-A = Bx^3 에서

C^2 + CA + A^2 = By^3    --- (6)-2

(5)와 (6)-1, (6)-2를 동치시키면, A+B = S^3 (혹은 P^j * S^P 형태도 무방)

 q * (A+B)^2 *(C^2 + CB + B^2 )*(C^2 + CA + A^2 ) =  { (A+B)^2 + (A+B)*C + C^2 }^3  --- (7)

식 (7)에서

(C^2 + CB + B^2 )

(C^2 + CA + A^2)

{ (A+B)^2 + (A+B)*C + C^2 }

은 각각 싸이클로톰이고 포지티브 싸이클로톰이라고 부른다

(싸이클로톰은 다른 아마추어 수학자 Nico de Jong 이 붙인 명칭임)

네가티브 싸이클로톰은

(C^2 - CB + B^2 )

(C^2 - CA + A^2)

{ (A+B)^2 - (A+B)*C + C^2 }

와 같이 +와 –가 교대로 반복되는 형태를 말한다

쌍대인 네가티브 싸이클로톰과

포지티브 싸이클로톰을 곱하면

또 다른 포지티브 싸이클로톰이 나온다

예;

(C^2 + CA + A^2) * (C^2 - CA + A^2) = C^4 + C^2 * A^2 + A^4 --- (8)

복소수 싸이클로톰의 예; 

(C^2 + CA j  + A^2) * (C^2 – CA j + A^2) = C^4 + 3 *C^2 * A^2 + A^4  ---- (9)

(j 는 j = root( -1)   )

그러나 (9)의 모양은, 사이클로톰이라기보다는 유사 싸이클로톰이다.

따라서,

식 (7)을 다시 보면

  q * (A+B)^2*(C^2 + CB + B^2 )*(C^2 + CA + A^2 ) =  { (A+B)^2 + (A+B)*C + C^2 }^3  --- (7)

 좌측과 우측에 포지티브 싸이클로톰(줄여서 싸이)이 있으므로,

어떤 포지티브 싸이와 네가티브 싸이의 쌍대가 존재해서

(각각을 X, Y라 부름, )

SX  *  SY = { (A+B)^2 + (A+B)*C + C^2 }

C^2 + CB + B^2 = X^3

C^2 + CA + A^2 = Y^3 이 되어야 함을 알 수 있다

 SX  *  SY = { (A+B)^2 + (A+B)*C + C^2 }을 다시 쓰면,

X * Y =  S^4 + S^2*T + T^2  ---- (10)

X, Y 각각은 Ay, By 이고 둘 다 O(S^2) 이므로, (ß (6)-1 & (6)-2 )

X = S^2 – S * T^(1/2) + T 

Y =S^2 + S * T^(1/2) + T   ---- (11)

로 놓는 것이 이상적이다.

(혹시 정확하게 이렇게 인수분해가 되지 않더라도

그 결과는, 즉 Ay+By 값은 위의 경우와 거의 같다)

두 식을 합하면

Ay + By = 2(T+ S^2)

S (Ay+ By) = 2 (A + B + C)

S(Ay + By) = 2 (Ax*Ay + Bx*By +C ) ---- (12)

가 나온다.

(12)에서

Ax < Ay, Bx < By 이고

Ax=Ay=1, C= 0, S=2 가 가능한 솔루션으로서

3차의 경우 (P=3), Ax , Bx 가 둘 다 1이면 페르마식의

성립이 불가하다.

(Bx^3 = C- A, Ax^3 = C-B 에서 둘 중 하나는 반드시 1보다 커야 함)

(증명 끝) P=3

P=5 혹은 그 이상인 경우에도 (12)와 유사한 식이 나온다

(다시 정리)

(P=5à A+B = S^5 , T= A^4 – A^3*B + ~  + B^4)

(

A+B)^4 = S^20 = (S^5)^4

A^4 – A^3 B + A^2B^2 – AB^3 +B^4 = T^5

두식을 빼면

5(AB)(A^2+AB+B^2) = S^20 – T^5

                  = (S^4 –T) (S^16 + S^12*T + S^8*T^2 + S^4*T^3 + T^4)

S^4 – T = PAxBxL 로 놓음

Ay By (A^2+AB +B^2) = L (S^16 ~~~  +T^4)

Ay By = L1 *(S^8  + S^6*(T)^(1/2) +  S^4*T + S^2*T^(3/2) + T^2)

A^2 + AB + B^2 = L2 * (S^8 - ~ +  S^4*T - ~ + T^2)

로 놓음 (Ay, By >> Ax, Bx)

다시 P=3 경우와 유사한 방법으로,

Ay +  By =  (L3*S^4 + L3*T + r)

S (Ay + By) = (L3*S^5 + L3*ST + rS)

= (L3*A + L3*B + L3*C + rS)

과 같이 되어서

P=3과 유사하게 나온다.

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밝히리

이건 이미 증명 되었다는 것 아시잖아요~~ ㅎㅎ 09.07.14 20:53

답글

우뇌자극

아,,, 아는데요 ,, 타원곡선 이론을 적용하면 수백 페이지인데 보다 짧은 버전을 시도해 보는 것이지요,, 여태까지 제가 시도해 본 방법은 결국 페르마 안에 타원곡선이 나타나더군요 (앤드루 와일즈 교수의 방법은 타원곡선 안에 페르마 문제를 내포) 09.07.15 07:39

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예수믿음

네가티브 싸이와 쌍대인 파지티브 싸이의 곱이 파지티브 싸이라고해서 임의의 파지티브 싸이가 쌍대인 싸이의 곱으로 정수범위에서 인수분해된다고 말할 수 있나요? 그리고 (11)식에서 X=S^2-S*T^(1/2)+T의 좌변은 정수인데 우변은 정수라는 보장이 없습니다... 09.07.15 11:53

답글

우뇌자극

T^(1/2) 이 정수가 아니라면 그에 가까운 정수로 간주 09.07.15 12:14

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우뇌자극

인수분해 부분은 big O of Ay, By 와 관련이잇습니다. O(Ay^3)= O(C^2 +CB +B^2) = O(S^6) --> O(Ay) = O(S^2) , O(By) = O(S^2) 따라서 (11)과 같은 인수분해가 가능 , 여기서 Ay, By 는 서로소 09.07.15 13:15

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예수믿음

(11)에서는 충분히 큰 수에서 근사적으로 같은 식을 세워놓고 마지막 부분에서는 완전히 같은 식으로 사용하는 것은 논리적으로 납득할수 없네요.. 09.07.15 17:07

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우뇌자극

P=3 인 경우를 말씀하시는지요? 질문을 좀 더 구체적으로 부탁드림. 09.07.15 17:21

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하얀마음v

저... 죄송한데 이 글이 자유게시판에 올려져 있는 이유를 모르겠습니다. [대학생, 일반]으로 옮김이 맞지 않을까 싶어요.